Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.4. Thực trạng vận dụng phƣơng phỏp hàm số để giải một số dạng toỏn
PT và BPT của HS phổ thụng
Xuất phỏt từ yờu cầu nõng cao chất lƣợng đào tạo, trong những
đõy, việc vận dụng phƣơng phỏp hàm số để giải một số dạng toỏn về PT và BPT đang đƣợc ỏp dụng rộng rói. Trong cỏc đề thi Đại học, Cao đẳng hay cỏc đề thi HS giỏi của cỏc tỉnh những năm gần đõy luụn cú những bài toỏn vận dụng phƣơng phỏp hàm số.
Đõy là một phƣơng phỏp khụng mới đối với những GV đó ra trƣờng khoảng 6, 7 năm trở lại đõy nờn đại đa số cỏc GV này đều sử dụng phƣơng phỏp hàm số khi dạy HS lớp 12 nếu bài toỏn đú cú thể sử dụng đƣợc vỡ những ƣu điểm nổi bật của nú: đơn giản, an toàn trong quỏ trỡnh tớnh toỏn và khụng cần phải sử dụng tƣ duy quỏ cao, nờn phƣơng phỏp này phự hợp cho cả những đối tƣợng HS trung bỡnh mà nếu sử dụng phƣơng phỏp thụng thƣờng sẽ khú giải đƣợc.
Qua trao đổi, tỡm hiểu từ 23 GV toỏn của 3 trƣờng THPT Sỏng Sơn, THPT Bỡnh Sơn và THPT Ngụ Gia Tự, chỳng tụi nhận thấy: cú 12/23 GV thƣờng xuyờn
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
sử dụng phƣơng phỏp hàm số, 5/23 GV ớt khi sử dụng phƣơng phỏp hàm số cũn 6/23 GV khụng sử dụng phƣơng phỏp này. 12 GV thƣờng xuyờn sử dụng phƣơng phỏp này cho HS đều là những GV cốt cỏn của cỏc trƣờng, thƣờng dạy những lớp chọn, ụn thi đại học và HS giỏi. Cỏc GV ớt hoặc khụng sử dụng phƣơng phỏp này cho HS thƣờng là mới ra trƣờng chủ yếu dạy cỏc lớp đại trà.
Qua trao đổi đối với 35 HS của hai lớp 12A2, 12A3 của trƣờng THPT Sỏng Sơn, khi gặp một bài toỏn mà ngoài cỏch giải thụng thƣờng cú thể sử dụng phƣơng phỏp hàm số, 15/35 HS nghĩ đến sử dụng phƣơng phỏp hàm số, 20/35 HS cũn lại khụng biết định hƣớng giải bài toỏn theo phƣơng phỏp nào hay sử dụng cỏc phƣơng phỏp thụng thƣờng.
Một rào cản cũng khiến GV và HS gặp khú khăn khi sử dụng phƣơng phỏp hàm số đú là làm sao để cú thể chọn đƣợc đỳng hàm số cần xột, khi nào, gặp bài toỏn nào thỡ cú thể sử dụng đƣợc phƣơng phỏp hàm số? GV thƣờng gặp nhiều khú khăn khi mới bắt đầu giảng về phƣơng phỏp này vỡ đối với HS, việc chuyển đổi từ tƣ duy giải toỏn thụng thƣờng sang tƣ duy hàm là tƣơng đối khú khăn. Nhƣng thực tế nhiều năm giảng dạy cho thấy, khi đó tiếp cận phƣơng phỏp hàm số, HS rất cú hứng thỳ học và điểm thi đại học của trƣờng THPT Sỏng Sơn cũng đó đƣợc cải thiện đỏng kể.
1.5. Kết luận chƣơng 1
Từ nghiờn cứu, phõn tớch và tổng hợp cỏc quan điểm khỏc nhau của nhiều tỏc giả, Chƣơng 1 của luận văn, chỳng tụi đó trỡnh bày một cỏch khỏi quỏt đƣợc cỏc vấn đề nhƣ: Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng phổ thụng; nội dung dạy học PT, BPT ở trƣờng phổ thụng; một số sai lầm thƣờng gặp khi giải toỏn PT và BPT bằng phƣơng phỏp hàm số; thực trạng vận dụng phƣơng phỏp hàm số để giải một số dạng toỏn về PT và BPT của HS phổ thụng.
c
ứu việc dạy học giải toỏn PT, BPT bằng phƣơng phỏp hàm số ở Chƣơng 2.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
CHƢƠNG 2
DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRèNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRèNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT
2.1. Một số kiến thức liờn quan giữa hàm số, PT và BPT
Trƣớc hết ta nhắc lại một số kiến thức về hàm số và PT, BPT thƣờng đƣợc sử dụng khi ỏp dụng phƣơng phỏp hàm số để giải cỏc bài toỏn về PT và BPT. Cỏc kiến thức này đó đƣợc nờu trong sỏch giỏo khoa và một số tài liệu tham khảo. Ở đõy, chỳng tụi hệ thống lại một số kiến thức cú liờn quan đến vấn đề nghiờn cứu và cú chứng minh một số mệnh đề sẽ đƣợc sử dụng.
1. Nếu hàm số y f x( ) liờn tục trờn đoạn a b; thỡ hàm số đú đạt GTLN; GTNN trờn đoạn a b; . GTLN và GTNN của hàm số y f x( ) trờn đoạn a b; kớ hiệu là: ; ax ( ) a b m f x và ; min ( ) a b f x .
2. Nếu hàm số y f x( ) đơn điệu tăng trờn đoạn a b; thỡ
; min ( ) ( ) a b f x f a và ; ax ( ) ( ) a b
m f x f b . Nếu hàm số y f x( ) đơn điệu giảm trờn đoạn a b; thỡ ; min ( ) ( ) a b f x f b và ; ax ( ) ( ) a b m f x f a .
3. Giả sử hàm số y f x( ) liờn tục và chỉ cú một số hữu hạn điểm tới hạn trờn đoạn a b; thỡ: 1 2 ; ax ( ) ax ( ); ( );...; ( n); ( ); ( ) a b m f x m f x f x f x f a f b 1 2 ; in ( ) min ( ); ( );...; ( n); ( ); ( ) a b m f x f x f x f x f a f b
Cỏc điểm x x1; ;...;2 xn là cỏc điểm tới hạn của hàm số y f x( ) trờn đoạn
;
a b .
4. Nếu hàm số y f x( ) liờn tục trờn đoạn a b; và f a f b( ). ( ) 0 thỡ
0 ;
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
5. Nếu hàm số y f x( ) liờn tục trờn đoạn a b; và cú đạo hàm trờn khoảng a b; thỡ tồn tại điểm c a b; sao cho ( )f b f a( ) f c'( ).(b a).
6. Nếu hàm số y f x( ) liờn tục trờn đoạn a b; , cú đạo hàm trờn
khoảng a b; và ( )f a f b( )thỡ tồn tại điểm c a b; sao cho f c'( ) 0.
7. Nếu hàm số y f x( ) cú đạo hàm trờn a b; và PT f x'( ) 0 cú nghiệm duy nhất trờn đoạn a b; thỡ trờn đoạn a b; , PT ( )f x 0 khụng thể cú quỏ hai nghiệm.
8. Giả sử cỏc hàm số y f x( ) và y g x( ) liờn tục trờn miền D và giả thiết rằng tồn tại cỏc GTLN và GTNN của cỏc hàm số trờn miền đú. Khi đú, ta cú cỏc mệnh đề sau:
Mệnh đề 1. PT ( )f x cú nghiệm trờn D khi và chỉ khi
min ( ) max ( )
D D
m f x f x M .
Chứng minh:
+) Giả sử PT ( )f x cú nghiệm trờn D. Ta chứng minh m M . Thật vậy, do ( )f x cú nghiệm trờn D nờn x0 D f x: ( )0
Mặt khỏc, ta cú x D m: f x( ) M. Vậy m f x( )0 M hay m M .
+) Giả sử m M . Ta chứng minh PT ( )f x cú nghiệm trờn D. Thật vậy, giả sử PT f x( ) vụ nghiệm trờn D. Khi đú, ta cú
: ( )
x D f x , tức là khụng thuộc tập giỏ trị m M; của hàm số f x( ), cú nghĩa là m hoặc M , trỏi với giả thiết m M .
Vậy PT ( )f x cú nghiệm trờn D.
Mệnh đề 2.
a) Nếu hàm số f x( ) đồng biến (nghịch biến) trờn D thỡ nghiệm của PT ( )
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
b) Nếu hàm số ( )f x đồng biến (nghịch biến) trờn D và hàm ( )g x nghịch biến (đồng biến) trờn D thỡ nghiệm của PT ( )f x g x( ) (nếu cú) là duy nhất.
c) Nếu max ( ) min ( )
D
D f x g x hoặc min ( ) max ( )
D f x D g x và tồn tại
0
x D thỏa món f x( )0 g x( )0 thỡ x0 là nghiệm duy nhất của PT ( )f x g x( ), hơn nữa, ta cú
0
max ( ) min ( ) ( )
D
D f x g x f x hoặc min ( ) max ( ) ( )0
D f x D g x f x
Mệnh đề 3.
a) BPT ( )f x cú nghiệm trờn D khi và chỉ khi max ( )
D
M f x .
b) BPT ( )f x nghiệm đỳng x D khi và chỉ khi min ( )
D
m f x .
c) BPT ( )f x cú nghiệm trờn D khi và chỉ khi min ( )
D
m f x .
d) BPT f x( ) nghiệm đỳng x D khi và chỉ khi
max ( )
D
M f x .
Chứng minh.
a) Giả sử BPT ( )f x cú nghiệm trờn D. Ta chứng minh M . Thật vậy, do ( )f x cú nghiệm trờn D nờn x0 D f x: ( )0 . Mặt khỏc, ta cú x D M, f x( ).
Do đú M f x( )0 (đpcm).
Đảo lại, giả sử M . Ta chứng minh BPT ( )f x cú nghiệm trờn D. Thật vậy, giả sử BPT f x( ) vụ nghiệm trờn D, suy ra
, ( )
x D f x M (Trỏi với giả thiết). Vậy BPT ( )f x cú nghiệm trờn D. b) Hiển nhiờn.
c) Giả sử BPT ( )f x cú nghiệm trờn D. Ta chứng minh m
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Mặt khỏc, ta cú x D m, f x( ). Do đú m f x( )0 (đpcm).
Đảo lại, giả sử m . Ta chứng minh BPT ( )f x cú nghiệm trờn D. Thật vậy, giả sử BPT f x( ) vụ nghiệm trờn D, suy ra
, ( )
x D f x m (Trỏi với giả thiết). Vậy BPT ( )f x cú nghiệm trờn D. d) Hiển nhiờn.
Mệnh đề 4. Nếu (C ) và (C’) lần lƣợt là đồ thị của cỏc hàm số y f x( ) và y g x( ) thỡ số nghiệm của PT f x( ) g x( ) bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số (C ) và (C’).
Mệnh đề 5. Giả sử x x1, 2, ...,xn là cỏc điểm tới hạn của hàm số y f x( ). Cỏc điểm tới hạn x ii ( 1, 2, ..., )n sắp thứ tự chia tập xỏc định của hàm số thành cỏc khoảng, trờn mỗi khoảng đú đạo hàm f x'( ) khụng đổi dấu.
Chỳ ý: Cho BPT ( )f x g x( ) với tập xỏc định của BPT là D. Trờn cựng hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hai hàm số y f x( ) và y g x( ). Sau đú tỡm những phần mà đồ thị hàm số y f x( ) nằm trờn đồ thị hàm số y g x( ), lấy hỡnh chiếu của phần đồ thị ấy trờn trục hoành thỡ giao của nú với tập D là nghiệm của BPT.
Định lý: BPT ( )f x g x( ) nghiệm đỳng x D khi và chỉ khi trờn miền D đồ thị hàm số y f x( ) luụn nằm trờn đồ thị hàm số y g x( ).
Sau này ta thƣờng ỏp dụng mệnh đề 5 để xột dấu của đạo hàm '( )f x . Chẳng hạn, muốn xột dấu f x'( ) trờn khoảng x xi; i 1 với xi xi 1 là hai điểm tới hạn kề nhau của hàm số f x( ), ta lấy bất kỡ x0 x xi; i 1 , dấu của f x'( ) trong khoảng x xi; i 1 là dấu của f x'( )0 . Trong trƣờng hợp '( )f x là tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất thỡ việc xột dấu f x'( ) dựa vào quy tắc xột dấu
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
tam thức bậc hai và dấu nhị thức bậc nhất. Nếu f x'( )khụng phải là tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất thỡ việc xột dấu f x'( ) dựa vào mệnh đề 5 sẽ thuận tiện hơn. Ngoài ra, ta cú thể xột dấu f x'( ) bằng cỏch giải BPT.
2.2. Vận dụng kết quả nghiờn cứu hàm số để giải cỏc bài toỏn về phƣơng trỡnh và Bất phƣơng trỡnh
Khi hƣớng dẫn HS giải cỏc bài toỏn về PT ta thƣờng gặp cỏc PT mà ta khụng thể trực tiếp ỏp dụng cỏc phộp biến đổi đồng nhất hoặc nếu biến đổi thỡ rất phức tạp. Những PT này ta thƣờng gọi là “PT khụng mẫu mực”. Với những PT dạng này thỡ phƣơng phỏp hàm số tỏ ra cú hiệu quả. í tƣởng chung của phƣơng phỏp này cú thể túm tắt nhƣ sau: Chỳng ta quy bài toỏn đó cho về việc xột một hàm số y f x( ) trờn một tập D nào đú. Dựa vào việc khảo sỏt một vài tớnh chất đặc biệt nào đú của hàm số y f x( ) để dẫn đến kết luận nghiệm cho PT, hệ PT đang xột. Để thấy rừ nội dung phƣơng phỏp này với hiệu quả của nú trong việc giải PT, hệ PT và BPT ta xột một số bài toỏn sau:
2.2.1. Sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải PT, hệ PT, BPT
Sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải PT, hệ PT, BPT, chỳng ta thƣờng sử dụng cỏc kết quả sau:
1) Định lớ 1: Nếu hàm số y f x( ) luụn đồng biến (hoặc luụn nghịch biến) và liờn tục trờn D thỡ số nghiệm của PT ( )f x k trờn D khụng nhiều hơn một và f(x) = f(y) x = y với mọi x, y D.
Chứng minh.
a) Giả sử PT ( )f x k cú nghiệm x a tức là ( )f a k . Nếu x a thỡ ( )f x f a( ) k suy ra PT vụ nghiệm. Nếu x a thỡ ( )f x f a( ) k suy ra PT vụ nghiệm. Vậy PT ( )f x k cú nghiệm duy nhất x a.
b) Nếu x > y thỡ f(x) > f(y) suy ra PT f(x) = f(y) vụ nghiệm. Nếu x < y thỡ f(x) < f(y) suy ra PT f(x) = f(y) vụ nghiệm.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
2) Định lớ 2: Nếu hàm số y = f(x) luụn đồng biến (hoặc luụn nghịch biến)
và hàm số y = g(x) luụn nghịch biến (hoặc luụn đồng biến) và liờn tục trờn D
thỡ số nghiệm của PT f(x) = g(x) khụng nhiều hơn một.
Chứng minh. Giả sử PT f(x) = g(x) cú nghiệm x = a tức là f(a) = g(a).
Nếu x > a thỡ f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra PT vụ nghiệm. Nếu x < a thỡ f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra PT vụ nghiệm. Vậy PT f(x) = g(x) cú nghiệm duy nhất x = a.
3) Định lớ 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lừm) trờn khoảng (a;b) thỡ PT f(x) = 0 nếu cú nghiệm thỡ cú tối đa 2 nghiệm.
Khi sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số để giải PT (hệ PT và BPT được
làm tương tự), chỳng ta thường đưa về ba dạng sau:
a) Dạng 1. ( )f x , là hằng số
Thực hiện theo cỏc bƣớc sau:
+ Bƣớc 1. Chuyển PT đó cho về dạng: ( )f x , là hằng số (1)
+ Bƣớc 2. Xột hàm số y f x( ). Dựng lập luận khẳng định hàm số ( )
y f x là hàm số đơn điệu, sau đú suy ra PT (1) cú khụng quỏ 1 nghiệm. + Bƣớc 3. Nhận xột f x( )0 , sau đú kết luận PT (1) cú nghiệm duy nhất x x0.
Vớ dụ 2.1: Giải PT: 5x3 1 3 2x 1 x 4 (2)
Nhận xột. Quan sỏt vế trỏi của PT (2), ta thấy khi x tăng thỡ giỏ trị của biểu
thức trong căn bậc hai cũng tăng. Từ đú, ta thấy vế trỏi là hàm đồng biến và vế phải bằng 4 là hàm hằng. Đõy là điều kiện thớch hợp để sử dụng tớnh đơn điệu.
Lời giải: TXĐ: D = 3 1 [ , ) 5 . Xột hàm số f(x) = 5x3 1 3 2x 1 x trờn D. Ta cú 2 3 3 2 15 2 f ' x 1 0 2 5 1 3 (2 1) x x x , 3 1 x ; 5 .
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trờn
3
1 ;
5 .
Mặt khỏc, ta cú f 1 4 .
Do đú, x 1 là nghiệm duy nhất của PT (2).
Vớ dụ 2.2. Giải PT x5 x3 1 3x 4 0 (3). Lời giải. TXĐ: D = ( ; 1] 3 . Xột hàm số f x( ) x5 x3 1 3x 4 trờn tập D. Ta cú '( ) 5 4 3 2 3 0; 1 3 2 1 3 f x x x x x .
Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trờn D. Mặt khỏc, ta cú f 1 0.
Do đú, x 1 là nghiệm duy nhất của PT (3).
Vớ dụ 2.3. Giải PT: 3x 2 x 1 (6) Lời giải. TXĐ: D Ă Ta cú (6) 3x 2x 1 0. Xột hàm số f x 3x 2x 1 trờn tập D. Ta cú ’ 3x 3 2 f x ln và ’’ 3x 3 2 0, f x ln x Ă Mặt khỏc, PT (6) cú hai nghiệm x = 0 và x = 1. Vậy, PT (6) cú đỳng hai nghiệm x = 0 và x = 1.
Vớ dụ 2.4: Giải BPT: x 6 7 x 1 Lời giải: TXĐ: D [ 6; 7]. Xột hàm số f x x 6 7 x trờn tập D. Ta cú '( ) 1 1 0 2 6 2 7 f x x x , x 6; 7 .
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Mặt khỏc, ta cú f(3) = 1.
Do đú, BPT tƣơng đƣơng với f x f 3 , x 3. Vậy, BPT cú tập nghiệm S [3; 7] .
b) Dạng 2. f x( ) g x( ), trong đú f(x) và g(x) khụng cựng tớnh đơn điệu
Thực hiện theo cỏc bƣớc sau:
+ Bƣớc 1. Chuyển PT đó cho về dạng: ( )f x g x( ) (2)
+ Bƣớc 2. Xột hàm số y f x( ), y g x( ). Dựng lập luận khẳng định hàm số y f x( ) đồng biến (nghịch biến), cũn hàm số y g x( ) nghịch biến (đồng biến). Xỏc định x0 sao cho f x( )0 g x( )0 .
+ Bƣớc 3. Kết luận PT (2) cú nghiệm duy nhất x x0.
Vớ dụ 2.5. Giải PT: 3x 4 x (4).
Lời giải: TXĐ: D Ă
Ta cú f x 3 x là hàm số đồng biến trờn Ă và ( )g x 4 x là hàm số nghịch biến trờn Ă .
Mặt khỏc, PT (4) cú một nghiệm x = 1. Vậy PT (4) cú nghiệm duy nhất x 1.
c) Dạng 3. ( )f u f v( ), u, v là cỏc hàm số của ẩn x
Thực hiện theo cỏc bƣớc sau:
+ Bƣớc 1. Chuyển PT đó cho về dạng: ( )f u f v( ) (3) (u, v là cỏc hàm số của ẩn x)
+ Bƣớc 2. Xột hàm số đại diện y f t( ). Dựng lập luận khẳng định hàm số y f t( ) là hàm số đơn điệu.
+ Bƣớc 3. Khi đú (3) u v.
Vớ dụ 2.6: Giải PT: 3 (2x 9x2 3) (4x 2)(1 1 x x2) 0 (1)
Số húa bởi Trung tõm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Cỏch 1. (Sử dụng phƣơng phỏp đoỏn nghiệm và chứng minh nghiệm duy
nhất).
Ta cú (1) 3 (2x (3 )x 2 3) (2x 1)(2 [ (2x 1) ] 32
Nếu PT (3) cú nghiệm thỡ nghiệm thoả món 3x 2x 1 0 hay
1 ;0 2 x . Mặt khỏc, ta cú, nếu 3x 2x 1 1 5 x thỡ hai vế của PT
(1) bằng nhau. Hơn nữa, ta thấy 1 1;0
5 2 x . Vậy 1 5 x là nghiệm của PT (1). Ta cần chứng minh 1 5
x là nghiệm duy nhất của PT (1).
- Với 1 1 3 2 1 0 3 2 2 1 2 2 x 5 x x x x nờn ta cú 2 2 2 (3 )x 3) 2 (2x 1) 3 2 2 3 (2x (3 )x 3) (2x 1)(2 [ (2x 1) ] 3 => 3 (2x (3 )x 2 3) (2x 1)(2 [ (2x 1) ] 32 0 Suy ra, PT vụ nghiệm trờn khoảng 1; 1
2 5 .
- Với 1 0
5 x làm tƣơng tự nhƣ trờn ta thấy PT vụ nghiệm trờn 1
;0
5 .
Vậy, nghiệm của PT (1) là 1
5
x .
Cỏch 2. (Sử dụng phƣơng phỏp hàm số)
Ta cú (1) 3 (2x (3 )x 2 3) (2x 1)(2 [ (2x 1) ] 32 Xột hàm số f t( ) t(2 t2 3) trờn Ă
