Tổng hợp dao động

III. Giải pháp

3.2 Nội dung kiến thức “Dao động cơ học” trong chương trình Vật lí THPT

3.2.2.5 Tổng hợp dao động

a) Tổng hợp các dao động cùng phương cùng tần số.

Giả sử một dao động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số cho bởi các phương trìnhsau:

x1  A1 sin(t  1) và x2  A2 sin(t  2)

Phương trình của dao động tổng hợp cần tìm là x = x1 + x2

Sử dụng biến đổi lượng giác hoặc phương pháp vecto quay ta có phương trình dao động tổng hợp dạng x = Asin(t  ) ,

trong đó: A 

tg  b  A

1 sin 1  A2 sin 2

a A1 cos1  A2 cos2

Mở rộng cho trường hợp tổng hợp N dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:

x  x1  x2  ...  xN , với xi  Ai sin(t  i ) , i = 1, 2, …, N.

Dùng phương pháp giản đồ véc tơ, mỗi dao động thành phần được biểu diễn bằng véc tơ quay tương ứng, và dao động tổng hợp sẽ được biểu diễn bằng véc tơ:

A  A1  A2  ...  AN , trong đó Ai biểu diễn dao động xi. Dao động tổng hợp có dạng:

biểu thức sau: x  Asin(t  ) , trong đó A và  có thể tính theo các

 Ai sin i A  ; tg  i 1  Aico si i1 0 N N

b. Tổng hợp các dao động cùng phương có tần số khác nhau chút ít.

Giả sử một dao động là tổng hợp của hai dao động điều hịa cùng phương với phương trình:

x 2A

0

t 2A

Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử 1  2 . Tần số hai dao động này khác nhau

chút ít nghĩa là   1  2  1,2 .

Để tìm phương trình của dao động tổng hợp: x = x1 + x2, ta thực hiện phép biến đổi sau:

x  x1  x2  A1 sin 1t  1   A2 sin 2t  2 

 A1 sin 1t  1   A1 sin 2t  2    A2  A1 sin 2t  2 

 2 A cos 1  2 t 1 2 sin  1  2 t 1  2   A  A sin  t    1  2 2  2 2  2 1 2 2      2 A cos  t    sin t      A  A  sin  t   (1) 1  2 2  2 1 2 2   Trên đây ta đã đặt     ;  1  2 ;  1  2 . 1 2 2 2

Nếu A1 = A2 = A thì số hạng thứ hai triệt tiêu và như vậy:

x  2 A cos 

t   

sin t    1  2 2 

 

Biểu thức trên cho thấy dao động tổng hợp khơng phải là điều hịa. Nhưng vì    nên hàm số cos  t   

biến đổi rất chậm so với hàm số sin t    nên  2 2 

 

có thể xem rằng dao động tổng hợp là gần điều hịa, với tần số góc , và biên độ thay đổi rất chậm theo thời gian. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của li độ dao động tổng hợp có dạng như hình vẽ.

Trên hình vẽ, đường liền nét biểu diễn x(t) còn đường nét đứt biểu diễn

2 A cos 

t    .

 2 2 