Bài toán động học trong Robot bao gồm bài tốn về vị trí, bài tốn về vận tốc, bài tốn về gia tốc nhưng trong đề tài này chỉ đề cập tới bài tốn về vị trí. Trong bài tốn về vị trí thì việc xác định được vị trí và hướng của điểm cuối Robot tại những thời điểm
khác nhau là vần đề cốt lõi trong phần này. Để có thể giải quyết được bài tốn, thì như ta đã biết Robot là một hệ nhiều vật rắn được ghép nối với nhau bằng các khớp xoay hoặc các khớp tịnh tiến do vậy cần phải xác định được hệ tọa độ gắn với các khớp của Robot. Nội dung phần này sẽ đưa ra các lý thuyết cơ bản của động học và cách vận dụng chúng để giải bài tốn động học.
ROBOT CƠNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
khiển phải đưa đầu phun hướng vào vật cần được sơn và ma trận xoay sẽ làm nhiệm vụ này.
Để hiểu được ma trận xoay được hình thành như thế nào ta cần hiểu khái quát về vector trong khơng gian.
Giả sử ta có một vector V nằm trong hệ tọa độ khơng gian 2 chiều như hình dưới. Gọi a là hình chiếu của vector V trên trục X và b là hình chiếu của vector V lên trục b.
Ta có thể miêu tả hướng của Vbằng góc θ hợp bởi vector V và trục X và ta có thể tính được giá trị của góc θ qua cơng thức
ℎ ế
như sau:
Trong mơ hình Robot ta sẽ làm việc với hệ tọa độ không gian 3 chiều nên tương tự như trên ta cũng sẽ chiếu vector V lên các trục tương ứng để biết được hướng của vector V.
ROBOT CÔNG NGHIỆP
xoay hệ t ọa độ
Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu cách để tính ma trận góc xoay trong khơng gian. Giả sử ta có một hệ tọa độ gồm các trục
như hình.
như sau:
1
Theo như hình trên ta có thể miêu tả góc xoay của hệ như cách chiếu các vector đã trình bày ở phần trên. Ta miêu tả
Chiếu lên X0
Chiếu lên Y0
. Chiếu lên Z0
Ma trận 3x3 trên được gọi là ma trận xoay và được kí hiệu là
hệ 1 1 1 xoay một góc bao nhiêu so với hệ
0 0 0
Đây chỉ là một ma trận tổng quát thể hiện góc xoay tiếp theo ta sẽ đi tính cụ thể các giá trị của từng thành phần trong ma trận này.
Giả định rằng độ dài của các trục 1, 1, 1
ROBOT CÔNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
1
Tương tự như vậy ta có
lên 0nằm ở phần âm của trục
Vậy ta có ma trận xoay trong trường hợp này như sau
,
0
Ma trận trên cho ta biết được hình chiếu của các trục
0 khi ta xoay góc θ bất kỳ theo cách mà trục 1 không
ma trận xoay quanh trục Z.
ROBOT CÔNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
và là
Với là tọa độ của điểm đang xét khi chiếu lên khi chiếu lên
và 1 1 1
Như hình trên ta thấy được rằng khi chiếu gốc tọa độ của hệ thì hệ
là 0. Ta biểu diễn ma trận chuyển vị như sau:
Ma trận biến đổi thuần nhất:
Ma trận biến đổi thuần nhất dùng để tính tốn giá trị tọa độ mới cho các khớp trong
Robot còn được gọi là ma trận chuyển vị. Dạng ma trận được mơ tả trong hình dưới.
ROBOT CƠNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
Hình 2.12 Ma trận tọa độ tuần nhất
Trong đó ma trận xoay thể hiện sự thay đổi về hướng của vector điểm cuối so với điềm đầu và vector tịnh tiến thể hiện sự thay đổi về vị trí.
Quy tắc bàn tay phải:
Trong quy tắc bàn tay phải khi ta đã biết được hướng của hai trong ba trục tạo độ trong khơng gian thì ta có thể tìm được hướng của trục cịn lại. Ví dụ sau sẽ cho ta hiểu rõ về quy tắc bàn tay phải.
Giả định rằng trục X có hướng từ phải sang trái và trục Y hướng ra ngoài trang giấy, chúng ta cần xác định trục Z còn lại. Để làm được điều này ta áp dụng quy tắc bàn tay phải như sau. Để tay phải sao cho hướng của các ngón tay chỉ theo hướng của trục X hướng từ lòng bàn tay đi ra theo hướng của trục Y lúc này đồng thời đưa ngón giữa
theo hướng lịng bàn tay đi ra và giơ ngón cái lên, hướng của ngón cái bây giờ là hướng của trục Z.
ROBOT CÔNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
D-H) là cách biểu diễn đơn giản mơ hình các khâu và khớp của robot và có thể sử dụng cho bất cứ cấu hình robot nào. Chúng ta cịn có thể dùng phương pháp này để biểu diễn cho bất kì hệ trục toại độ nào như: Dercartes, trụ, cầu, Euler, RPY… Thêm vào đó, nó có thể biểu diễn cho tác cả robot mà chúng ta có thể gặp trong cơng nghiệp, robot dịch vụ, robot biến hình… Chúng ta cịn có thể sử dụng kết quả của phương pháp D-H cho các bài toán như bài toán Jacobi, phân tích lực, độ cứng…
Giả sử robot là một chuỗi các khâu và các khớp nối tiếp, các khớp nối này có thể là khớp trượt (tịnh tiến) hay các khớp xoay và chúng có thể sắp xếp theo bất kì thức tự nào và có thể nằm trong bất kì mặt phẳng nào. Các khâu cũng có chiều dài bất kì kể các khi bằng 0, có thể xoắn hoặc cong. Vì vậy, bất kì một tập hợp các khâu, các khớp đều có thể tạo thành một cấu hình robot và chúng ta đều có thể giải quyết các vấn đề với nó thơng qua mơ hình hóa.
Để làm được việc này, cần phải gắn một hệ trục tham chiếu tới mỗi khớp và sau đó xác định sự chuyển vị từ khớp này đến khớp kế tiếp. Nếu kết hợp tất các các chuyển vị từ đế đến các khớp tiếp theo rồi đến khâu chấp hành (khớp cuối cùng), ta sẽ có ma trận chuyển vị toàn phần. Ở phần dưới này, chúng ta sẽ xác định giải thuật tổng quát dựa vào biểu diễn D-H để gắn các hệ trục tham chiếu lên các khớp. Sau đó xác định chuyển vị giữa 2 hệ trục kết tiếp nhau. Cuối cùng ta sẽ có được ma trận chuyển vị của robot.
Hình 2.14 Khâu mơ hình hóa và khớp theo phương pháp D-H
Giả sử robot được thiết kế với một số lượng các khâu và khớp tùy ý và có thể bố trí bất kì. Hình trên biểu diễn ba khâu kế tiếp nhau với hai khớp. Các khớp này có thể
ROBOT CƠNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
là khớp tịnh tiến hoặc khớp xoay hoặc có thể cả hai. Trong thực tế, việc thiết kế robot thường là khớp bậc 5 để dễ dàng điều khiển nhưng trong hình vẽ thường biểu diễn các khớp này có hai bậc tự do. Mỗi khớp trong mơ hình hóa có thể xoay và tịnh tiến, giả sử ta đánh số n cho khớp thứ nhất trong hình trên, i+1 cho khớp thứ gau và i+2 cho khớp thứ ba. Như vậy có thể hiểu được rằng, trước và sau ba khớp này cịn có thể có rất nhiều khớp khác tác động và gắn lên hệ thống robot. Mỗi khâu cũng sẽ được đánh số, khâu i nằm giữa khớp i và i+1, khâu i+1 nằm giữa khớp i+1 và i+2.
Để mơ hình hóa robot với phương pháp D-H, đầu tiên cần phải gắn một hệ trục tham chiếu địa phương lên mỗi khớp. Vì vậy, mỗi khớp chung ta sẽ phải gắn trục Z và trục X. Chúng ta khơng nhất thiết phải gắn trục Y vì chúng ta có thể xác định trục Y theo tam diện thuận mà hệ trục tham chiết có được. Ngồi ra vì biểu diễn D-H khơng cần thiết sử dụng trục Y. Quá trình gắn hệ trục tham chiếu như sau:
Tất cả mọi khớp đều phải có trục Z. Nếu khớp là khớp xoay, trục Z được xác định theo hướng dịch chuyển tại ra do sự quay theo quy tác bàn tay phải. Nếu là khớp tịnh tiến, trục Z sẽ dọc theo hướng di chuyển. Và cách đánh số trục của khớp i sẽ là i-
1.Như vậy, trục Z biểu diễn khớp i+1 và Zi. Với quy tắc đơn giản này sẽ giúp chúng ta nhanh chóng gắn trục Z lên mọi khớp. Như vậy khi khớp quay, góc quay quanh trục Z sẽ là mốt biến khớp (θ hoặc α hoặc β) còn đối với khớp tịnh tiến thì chiều dài của khâu dọc theo trục Z biểu diễn bới thông số d sẽ là biến khớp.
Với việc mơ hình hóa khơng nhất thiết là các khớp phải song song hay giao nhau. Trong mơ hình đưa ra, trục Z là những đường thẳng chéo nhau. Như vậy ln tồn tại một đường thẳng vng góc chung giữa các truc Z này, đây chính là khoảng cách ngắn nhất giữa hai trục Z. Hệ trục tham chiếu địa phương phải ln được gắn theo hướng đường vng góc chung giữa trục Zi-1 và trục Zi thì hướng của trục Xi sẽ dọc theo hướng của đoạn ai. Tương tự như vậy, nếu đường vng góc chung giửa Zi và Zi+1 là ai+1, hướng của trục Xi+1 sẽ dọc theo ai+1. Đường vng góc chung của các khớp kế tiếp nhau khơng nhất thiết phải giao nhau hay trùng nhau. Các gốc tọa độ các hệ trục không cần trùng nhau. Ngoại trừ những trường hợp đặc biệt, ta có thể gắn hệ trục tọa độ lên mọi khớp. Nếu hai trục Z song song nhau, có vơ số đường vng góc chung thì chúng ta sẽ lấy đường vng góc chung của khớp trước. Cịn nếu trục Z của hai khớp
ROBOT CÔNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
Như vậy, θ biểu diễn sự quay xung quanh trục Z, d biểu diễn khoảng cách trên trục Z giữa hai đường vng góc chung, a biểu diễn chiều dài đoạn vng góc chung cịn gọi là đoạn dịch chuyển của khớp (joint offset), α biểu diễn góc giữa hai truc Z kế tiếp nhau (góc xoắn). Thường chỉ có d và θ là biến khớp.
Bước kế tiếp cần di chuyển các sự chuyển vị từ hệ trục tọa đồ này đến hệ trục tọa độ kế tiếp. Giả sử ở hệ trục toạ độ địa phương i-1 chúng ta sẽ tạo ra bốn dịch chuyển tiêu chuẩn để di chuyển hệ trục này tới hệ trục i là:
Quay xung quanh trục Zi-1 một góc θi, sau khi quay xong các trục Xi-1 và Xi song song với nhau vì ai-1 và ai đều vng góc Zi-1 và quay quanh Zi-1 một góc θi sẽ làm chúng song song.
Tịnh tiến dọc trục Zi-1 một đoạn di làm cho Xi-1 và Xi trùng nhau. Rõ ràng khi Xi-1 và Xi song song và vng góc Zi-1, như vậy, khi di chuyển dọc theo Zi-1 thì chúng trùng với nhau.
Di chuyển dọc theo trục Xi-1 một khoảng a1 để Zi-1 nằm thẳng với trục Zi. Ở điểm này, hai gốc tọa độ của hai hệ trũc tham chiếu sẽ ở cùng một điểm. Quay trục Zi-1 xung quanh trục Xi một góc αi để trục Zi-1 nằm thẳng với trục Zi. Ở điểm này, hệ trục i-1 và i sẽ hoàn toàn trung nhau. Và chúng ta sẽ tiếp túc di chuyển từ hệ trục này đến hệ trục tiếp theo.
Tương tự bốn chuyển động giữa hệ trục i và i+1 sẽ tạo nên chuyển vị tiếp theo. Bắt đầu từ hệ trục tham chiếu, ta sẽ tạo nên chuyển vị từ đế robot, sau đó, tới khớp thứ nhất, thứ hai và cuối cùng tới cơ cấu chấp hành.
Ma trận A biểu diễn bốn di chuyển bằng cách nhân bốn ma trận biểu diễn từng chuyển động, kết quả như sau:
ROBOT CÔNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
Với mỗi hệ robot, ta có thể bắt đầu từ khớp thứ nhất tới khớp thứ hai rồi khớp thứ ba… cho tới cơ cấu chấp hành của robot. Mỗi ma trận chuyển vị là Ai+n. Như vậy, ma trận chuyển vị tổng giữa đế và cơ cấu chấp hành là
Với n là số khớp. Với robot có sáu bậc tự do thì có sáu ma trận. Để tính tốn được ma trận A chúng ta phẩn lập ra bản tham số khớp và khâu với các giá trị để biểu diễn khớp và khâu được xác định từ bản vẽ hay cấu hính robot.
2.6.3. Giải thuật gắn hệ trục tọa độ cho Robot
Bắt đầu đánh số từ 0 đến n (n là số khâu của robot) và đế robot được đánh số 0. Mỗi hệ trục tọa độ của đế được gắn song song với hệ trục tham chiếu. Gốc của hệ
trục tọa độ này được gắn trùng với gốc của khớp 1. Với giả thiết là trục khớp 1 vng góc với mặt phẳng xy.
Hệ trục tọa đọ gắn trên khâu robot được gắn tại khớp xa hơn so với đế. Vì vậy chúng ta sẽ thấy hệ trục tọa độ số 1 sẽ gắn tại khớp số 2 (khớp này nối giữa khâu 1 và khâu 2).
Gốc của hệ trục tọa độ đặt tại giao điểm của đường vng góc chung của các trục khớp với nhau. Nếu các trục khớp song song với nhau thì vị trí của gốc của hệ trục tọa độ được lựa chọn sao cho khoảng cách giữa các khâu bằng 0 hoặc nhỏ nhất nếu có một khoảng dịch chuyển giữa các khâu. Nếu các trục khớp giao nhau thì gốc toại độ sẽ đặt tại điểm giao nhau của các trục.
Trục Z trùng với trục khớp. Nếu khớp tịnh tiến thì hướng trục Z sẽ là hướng di chuyển đi xa từ khớp. Nếu khớp trụ, hướng của trục Z xác định là hướng dương theo hướng quay trục Z (theo người thiết kế) hoặc theo hướng lựa chọn sao cho góc xoắn nhỏ nhất.
Trục X sẽ song song với đường vng góc chung giữa các trục khớp của khâu. Trong trường hợp các trục khớp song song với nhau, trục X sẽ trùng với đường tâm của khấu. Nếu các trục giao nhau khơng có đường vng góc chung trục X sẽ là tích vector của hai vector Zn-1 và Zn. Trong nhiều trường hợp trục X sẽ có hướng như trục X của khâu trước.
ROBOT CƠNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
cùng của cánh tay robot với hệ trục của tay gắp/ Trục Z của hệ trục này cùng hường với khớp cuối cùng.
Từ đó ta có thể rút ra được bốn quy tắc để gắn hệ trục tọa độ theo phương pháp D-H:
Chọn trục Z sao cho trục Z là trục của động cơ.
Chọn trục X là sao cho trục Xi phải cùng vng góc với Zi và Zi-1. Trục Y là trục còn lại của quy tác bàn tay phải.
Trục X phải cắt phương của trục Zi-1, nếu trục X khơng cắt phương của Zi-1, ta có thể dời tâm của trục tọa độ i theo phương của trục Z sao cho thỏa điều kiện trên.
2.7. Động học thuận – nghịch cho mơ hình cánh tay robot 5 bậc tự do 2.7.1. Động học thuận
Sau khi đợn giản hóa mơ hình robot và gắn hệ trục tọa độ ta thành lập được bảng D-H như sau: Khâu 1 2 3 4 5
Bảng 2 Bảng DH Robot Arm 5 DOF.
Ta có ma trận chuyển vị dạng tổng quát như sau:
Đặt:
Dựa vào bảng D-H trên ta tính được các ma trận chuyển vị sau:
ROBOT CÔNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
Ma trận chuyển vị cuối:
ROBOT CÔNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
2.7.2. Động học nghịch
Tính các góc dựa vào hình ảnh minh họa robot trong khơng gian như hình bên dưới:
Hình 2.15. Robot 5 bậc tự do biểu diễn trong khơng gian
ROBOT CƠNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo
Dựa vào hình vẽ, ta có: Tính góc :
Tính góc :
Xét tam giác :
Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:
11\* MER GEFO RMA T () Mà: Xét tam giác , ta có: Ta có: Với: Suy ra: 22\* MER GEFO RMA T () Ta lại có: Với:
ROBOT CƠNG NGHIỆP GVHD: ThS. Trương Ngọc Bảo Từ (1) và (2) ta suy ra: 44\* MER GEFO RMA