Trong đó các tam thức (x2 + px + q),Ầ.,(x2 + pỖx + qỖ) khơng có nghiệm thực. Khi ấy phân thức hữu tỉ có thể phân tắch thành tổng của các phân thức đõn giản hõn nhý sau:
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
Trong đó các hệ số A1, Ầ, Am, B1,Ầ., Bk, M1, N1,Ầ., Ml, Nl,Ầ Ầ, R1,
S1,Ầ..,RlỖ,SlỖlà các hằng số, và ta có thể tắnh đýợc các hằng số này bằng phýõng pháp hệ số bất định, phýõng pháp trị riêng hay phýõng pháp phân tắch từng býớc. (Các phýõng pháp này sẽ đýợc minh họa qua các vắ dụ bên dýới).
Nhý vậy việc tắnh tắch phân đýợc đýa về việc tắnh 2 loại tắch phân sau :
Và:
với p2 - 4q < 0 ( Tức là x2 + px + q khơng có nghiệm thực).
Để tắnh I1 ta chỉ cần đặt u = x Ờ a
Để tắnh I2 ta có thể phân tắch I2 dýới dạng:
Tắch phân đýợc tắnh dễ dàng bằng cách đặt: u = x2 + px + q.
Đối với . Ta biến đổi x2 + px + q = (x-b)2 + c2 và đặt u = x Ờ b để
đýa về dạng: mà ta đã biết cách tắnh trong vắ dụ 6 ), Mục II.3.
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
1) Tắnh
x5 - x2 = x2(x3 Ờ 1) = x2 (x Ờ 1) (x2 + x + 1)
Do đó:
Nhân 2 vế cho x5 Ờ x2 ta đýợc:
Thay x = 0, rồi x = 1 vào ta đýợc :1 = -B và 1 = 3c
B=-1; C =
Đồng nhất các hệ số của x4, x3, x2ở 2 vế của đẳng thức trên (đúng với mọi x) ta đýợc:
Thay B= -1 và C= vào, rồi giải hệ này sẽ đýợc:
Vậy:
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1
Suy ra:
2) Tắnh
Phân tắch phân thức ta đýợc:
Ta có :
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Vậy
3) Tắnh
Trýớc hết ta đổi biến để đõn giản hóa tắnh phân trên bằng cách đặt u = x2 ,du = 2xdx