1.2 Bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm
1.2.1 Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng
a. Bài toán tối ưu
Cho hàm ϕ: C →R. Xét Bài toán tối ưu, viết tắt là (OP), là bài tốn được
phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈C sao cho ϕ(x∗)≤ϕ(y), ∀y ∈C.
Bằng cách đặt f(x, y) := ϕ(y)−ϕ(x) với mọi x, y ∈C. Theo định nghĩa,
ϕ(x∗)≤ϕ(y), ∀y∈C ⇔f(x∗, y)≥0, ∀y ∈C.
Điều đó chứng tỏ bài tốn tối ưu là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng. b. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Giả sử ánh xạF :C →Hlà ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị), viết tắt là VIP(C, F) là bài tốn
Tìmx∗ ∈Csao chohF(x∗), y−x∗i ≥0, ∀y∈C.
Nếu đặt
f(x, y) := hF(x), y−xi, x, y ∈C,
thì các tập nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân VIP(C, F) và bài toán cân bằng EP(C, f) trùng nhau.
Tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (multivalued variational inequality), viết tắt là MVIP(C, F) là bài tốn
Tìmx∗ ∈Cvà u∗ ∈F(x∗) sao chohu∗, y−x∗i ≥0, ∀y∈C,
trong đó F : C →2H là ánh xạ đa trị sao cho F(x) là tập com pắc khác rỗng với mọi x ∈ C. Bài tốn này cũng có thể được mơ tả dưới dạng bài tốn cân bằng. Thật vậy, do tập F(x) com pắc với mỗi x∈C nên ta có thể đặt
f(x, y) = max{hu, y−xi: u∈F(x)}.
Khi đó, nếu x∗ cùng với u∗ ∈F(x∗) là nghiệm của bài tốn MVI(C, F) thì
f(x∗, y) = max
tức là x∗ là nghiệm của bài toán EP(C, f).
Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán EP(C, f), do tập giá trị F(x∗) com pắc nên tồn tại u∗ ∈F(x∗) sao cho
hu∗, y−x∗i= max
u∈F(x)∗hu, y−x∗i=f(x∗, y) ≥0, ∀y∈C.
Điều này chứng tỏ x∗ với u∗∈F(x∗) là nghiệm của bài toán MVIP(C, F).
c. Bài toán điểm bất động
Giả sử F : C → C là ánh xạ đơn trị. Bài tốn điểm bất động thơng thường viết tắt là FP(C, F) là bài tốn
Tìmx∗ ∈C sao chox∗ =F(x∗).
Bằng cách đặt
f(x, y) := hx−F(x), y−xi, x, y ∈C,
thì bài tốn FP(C, F) và bài tốn EP(C, f) là tương đương với nhau. Thật vậy, nếu x∗ là nghiệm của bài tốn FP(C, F) thì
f(x∗, y) = hx∗−F(x∗), y−x∗i= 0≥0, ∀y∈C.
Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán EP(C, f) thì
0≤f(x∗, y) =hx∗−F(x∗), y−x∗i, ∀y ∈C,
lấy y=F(x∗), suy ra
0≤ hx∗−F(x∗), F(x∗)−x∗i=−kx∗−F(x∗)k2.
Từ đó, ta có x∗ = F(x∗). (Theo định lí điểm bất động Brower, mọi ánh xạ liên tục từ tập com pắc vào chính nó đều có điểm bất động).
Tổng quát, bài toán điểm bất động đa trị, viết tắt là MFP(C, F) là bài tốn Tìmx∗∈C sao chox∗∈F(x∗),
trong đó F :C →2H là ánh xạ đa trị, sao cho tập giá trị F(x) là tập lồi, com pắc, khác rỗng. Bài tốn này cũng có thể mơ tả được dưới dạng bài toán cân bằng.
Thật vậy, do F(x) là tập com pắc với mỗi x∈C nên ta đặt f(x, y) = max u∈F(x)hx−u, y−xi, ∀x, y ∈C. Dễ thấy, nếu x∗∈F(x∗) thì f(x∗, y) = max u∈F(x∗)hx∗−u, y−x∗i ≥ hx∗−x∗, y−x∗i= 0, ∀y∈C.
Vì vậy, x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(C, f).
Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của bài toán EP(C, f), tức là f(x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Khi đó, lấy y là hình chiếu của x∗ lên tập lồi, com pắc, khác rỗng
F(x∗), ta được
hx∗−y, y−x∗i= max
u∈F(x∗)hx∗−u, u−x∗i.
Do đó
0≤f(x∗, y) = hx∗−y, y−x∗i=−kx∗−yk2.
Điều đó chứng tỏ y=x∗∈F(x∗), vậy x∗ là điểm bất động của ánh xạ F.
d. Bài tốn cân bằng Nash trong trị chơi khơng hợp tác
Xét một trị chơi khơng hợp tác gồmpngười chơi. VớiI :={1, . . . , p}là tập hữu hạn các chỉ số (tập p người chơi); tập Ci ⊆Rni là các tập lồi, đóng, khác rỗng là tập chiến lược của người chơi thứi (i∈I và ni ∈N), vàfi:C :=C1×. . .×Cp →R
tương ứng là hàm thua thiệt của người chơi thứ i∈I, (phụ thuộc theo tất cả các chiến lược của những người chơi khác). Với x= (x1, . . . , xp), y = (y1, . . . , yp) ∈ C,
ta định nghĩa (x[yi])j = xj nếu j 6=i yi nếu j =i .
Bài tốn cân bằng Nash là bài tốn
Tìm x∗ ∈C sao cho fi(x∗)≤fi(x∗[yi]), ∀yi∈Ci,∀i∈I. (NEP) Điểm x∗ như vậy gọi là điểm cân bằng Nash. Về ý nghĩa kinh tế, điểm cân bằng Nash nói lên rằng bất kỳ đối thủ nào chọn phương án ra khỏi điểm cân bằng
trong khi các đối thủ khác vẫn giữ phương án điểm cân bằng thì đối thủ ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt. Bằng cách đặt
f(x, y) :=X
i∈I
{fi(x[yi])−fi(x)}; x, y ∈C,
ta đưa được bài toán (NEP) về bài toán EP(C, f).