1.2 Bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm của bài tốn cân bằng EP(C, f). Chúng tôi chỉ đề cập
đến các kết quả quan trọng mà không đưa ra chứng minh các kết quả đó ở đây. Các chứng minh của các kết quả này có thể tham khảo trong các tài liệu [11, 13, 27, 38, 45].
Để thuận lợi trong việc trình bày các kết quả, ta cần một số các giả thiết của song hàm f :C×C→R∪ {+∞} như sau.
(G1) f(·, y) là hàm nửa liên tục trên trên C theo biến thứ nhất với mỗi y ∈C.
(G2) f(x,·) là hàm tựa lồi trên C theo biến thứ hai với mỗi x∈C.
(G3) f(x,·) là hàm nửa liên tục dưới trên C theo biến thứ hai với mỗi x∈C.
Định lý 1.2.1. [13, Theorem 2.3.4], [27, Ky Fan’s Theorem]. Giả sử f :C×C → R∪ {+∞} là một song hàm cân bằng thỏa mãn các điều kiện (G1),(G2). Giả sử
rằng ít nhất một trong các giả thiết sau được thỏa mãn
i) C là tập com pắc;
ii) Tồn tại một tập con khác rỗng W ⊂C sao cho với mọi x∈ C\W, tồn tại
y∈W để f(x, y)<0.
Khi đó bài tốn EP(C, f) có nghiệm.
Để xét tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bài toán cân bằng, ta cần đến các định nghĩa sau đây về tính đơn điệu của song hàm f.
a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hằng số τ > 0 nếu với mọi
x, y ∈C ta có
f(x, y) +f(y, x)≤ −τkx−yk2;
b) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên C nếu với mọi x, y ∈C, ta có f(x, y) +f(y, x)<0;
c) đơn điệu (monotone) trên C nếu với mọi x, y ∈C, ta có f(x, y) +f(y, x)≤0;
d) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C nếu với mọi x, y ∈C, ta có f(x, y) ≥0⇒f(y, x) ≤0;
e) giả đơn điệu trên C tương ứng với D (pseudomonotone on C with respect to D) nếu
∀x∗ ∈D, ∀y∈C, f(x∗, y)≥0⇒f(y, x∗) ≤0;
f) para-đơn điệu (paramonotone) trên C nếuf là đơn điệu trên C và
{x∈Sol(C, f), y ∈C, f(x, y) =f(y, x) = 0} ⇒y ∈Sol(C, f);
g) para-giả đơn điệu (parapseudomonotone) trên C nếu f là giả đơn điệu trên
C và
{x∈Sol(C, f), y ∈C, f(x, y) =f(y, x) = 0} ⇒y ∈Sol(C, f);
h) thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz trên C nếu tồn tại các hằng số c1 >0và
c2 >0, và với mọi x, y, z ∈C, ta có
Từ định nghĩa trên, ta có:
a)⇒b)⇒c)⇒d)⇒e, f)⇒g), f) ⇒c) và g)⇒d).
Nếu f(x, y) = hF(x), y−xi, với ánh xạ F : H → H. Khi đó các khái niệm về tính đơn điệu của song hàm f trở thành các khái niệm về tính đơn điệu tương ứng của ánh xạ F. Hơn nữa, nếu ánh xạ F là Lipschitz với hằng số L >0trên C,
tức là, kF(x)−F(y)k ≤ Lkx−yk, ∀x, y ∈C, thì f cũng thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz trên C (xem [54, 62]), chẳng hạn, với các hằng số c1 = 2L, c2 = L2 , với mọi >0.
Định lý 1.2.3. ([11, Proposition 4.2], [45, Proposition 2.1.16]).Giả sửf :C×C → R∪ {+∞} là một song hàm cân bằng.
i) Nếu f là đơn điệu chặt thì bài tốn EP(C, f) có nhiều nhất một nghiệm. ii) Nếu f(x,·) là hàm lồi với mỗi x∈C, f thỏa mãn các giả thiết (G1) và (G3)
và là hàm đơn điệu mạnh trên C, thì bài tốn EP(C, f) có nghiệm duy nhất.