pháp tuyến với mặt trung hoà là các đạo hàm bậc nhất của độ võng:
θ x = −w0, x ;
θ y = −w0, y .
Như vậy, trường chuyển vị được biểu diễn dưới dạng:
u ( x, y, zth ) = u0 ( x, y ) − zth w0, x ;
v ( x, y, zth ) = v0 ( x, y ) − zth w0, y ;
(2.33)
(2.34)
w( x, y, zth ) = w0 ( x, y ).
Các thành phần biến dạng của lý thuyết tấm cổ điển được xác định như trong công thức (2.35):
1 2 ε = = 1 2 γ xy = u, y + v, x = (u0, y + v0, x + w0, x w0, y + w0, y w0, x + w0, x w0, y ) − 2zth w0, xy ; (2.35) γ xzth = w, x + u, z = 0; γ yzth = w, y + v, z = 0.
Có thể thấy rằng, điểm khác biệt so với lý thuyết tấm FSDT là trong lý thuyết tấm mỏng CPT các thành phần biến dạng cắt ngang bằng không:
γ xzth = γ yzth = 0.
Các thành phần biến dạng màng có dạng như trong cơng thức (2.8), trong đó các thành phần độ cong uốn, xoắn phụ thuộc độ võng được thể hiện như trong công thức (2.36): = (2.36)
Hệ phương trình cân bằng theo lý thuyết tấm cổ điển thu được gồm ba phương trình: (2.23) - (2.24) và phương trình (2.37) dưới đây:
+( +) − + + δ w0 : M x, xx + 2M xy, xy + M y, yy + N x ( w0, xx + w0, xx ) + 2N xy ( w0, xy + w0, xy ) (2.37) +q = 0
Hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị của lý thuyết tấm cổ điển gồm các phương trình: (2.28) - (2.29) và phương trình (2.38) dưới đây:
− z − z * * κ x −w0, xx {κ} = κ y −w0, xy −2w0, xy * * *
−C11∇ 4 w0 − K ww0 + K sx w0, xx + K sy w0, yy + A11u0, x w0, xx + A12u0, x w0, yy
+2 A66u0, y w0, xy + A12v0, y w0, xx + A11v0, y w0, yy + 2 A66v0, x w0, xy + A11w0,2 x w0, xx
+1 1 1 2 2 2 A11w0,2 y w0, yy + 2 A66 w0, x w0, y w0, xy 1 2 * * 1 2 * * 2 2 1 2 * * 1 2 2 +2 A66 (u0, y + v0, x + w0, x w0, y + w0, y w0, x + w0, x w0, y ) w0, xy + q = 0 (2.38) 4 4 4+ + 2 ; ∂x4 ∂y 4 ∂x2∂y 2
Các tham số điều kiện biên bao gồm: (u0n , N n ) , (u0 s , N ns ) , ( w0 , Qn ) ,( w0,n , M n ). Hệ phương trình từ (2.28) - (2.29) và phương trình (2.38) là ba phương trình
vi phân phi tuyến chủ đạo chứa ba ẩn chưa biết là u0 , v0 , w0 . Chúng được sử dụng để nghiên cứu ứng xử của tấm vật liệu FGM rỗng chịu tác dụng của tải uốn đặt trên nền đàn hồi theo lý thuyết tấm cổ điển.
2.5. Tóm tắt chương 2
Trong chương 2, luận án sử dụng hệ trục quy chiếu là mặt trung hoà, xây dựng trường chuyển vị, các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo của tấm vật liệu FGM rỗng trên nền đàn hồi, trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển. Trường biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học von
Kármán và xét đến độ khơng hồn hảo ban đầu w0* , của tấm vật liệu FGM rỗng. Khi sử dụng mặt trung hòa là hệ trục quy chiếu cho tấm vật liệu FGM rỗng với cơ tính thay đổi theo chiều dày tấm đã giúp loại bỏ tương tác màng - uốn trong quan hệ nội lực - biến dạng; từ đó các hệ thức cơ bản cũng như hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị trở nên đơn giản hơn và có dạng tương tự như áp dụng cho vật liệu đẳng hướng. Và do đó, tiết kiệm được thời gian tính tốn hơn so với việc tính tốn thơng qua mặt trung bình.
A12w0,2 y w0, xx + A12 w0,2 x w0, yy +
+ A11 u0, x + w0, x + w0, x w0, x w0, xx + A12 v0, y + w0, y + w0, y w0, y w0, xx
+ A12 u0, x + w0, x + w0, x w0, x w0, yy + A11 v0, y + w0,2 y + w0, y w0,* y w0,* yy
* * *
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG
3.1. Mở đầu
Trong chương 2, luận án đã xây dựng được hệ phương trình chủ đạo, làm cơ sở lý thuyết để tính tốn trường chuyển vị, biến dạng và nội lực theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển. Các hệ thức và phương trình chủ đạo của tấm trên nền đàn hồi được thiết lập trên cơ sở xét đến độ võng lớn (kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman), và vị trí thực của mặt trung hịa.
Trong chương này, với cơ sở lý thuyết đã được xây dựng, hai hướng tiếp cận theo chuyển vị và tiếp cận theo ứng suất sẽ được sử dụng để phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm chữ nhật FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi với một số điều kiện biên khác nhau. Trong phân tích tĩnh chỉ xét với tấm hồn hảo, lúc đó trong các phương trình chủ đạo chỉ cần áp đặt w0* = 0 . Hàm xấp xỉ chuyển vị được giả thiết dưới dạng hàm lượng giác kép, hệ phương trình đại số phi tuyến để giải nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển. Ảnh hưởng của ba loại phân bố lỗ rỗng: phân bố đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng cũng như hệ số mật độ lỗ rỗng, điều kiện biên và các tham số kích thước tấm, tham số nền đến độ võng và các thành phần nội lực sẽ được khảo sát.
3.2. Lời giải theo tiếp cận chuyển vị
3.2.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng, có chiều dày h, kích thước theo phương các trục x, y là a (chiều dài), b (chiều rộng), chịu tải trọng phân bố đều q theo phương z. Tấm được đặt trên nền đàn hồi Pasternak với các hệ số nền: K w - hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness), K sx , K sy - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness) của nền đàn hồi, (Hình 3.1).