Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt cầu:

I. Phƣơng trình mặt cầu:

1. Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a; b;c)bán kính R kính R

  2  2 2 2

x a  xb  x c R .

2. Phƣơng trình mặt cầu tâm I(a; b;c), bán kính R a2b2 c2 d: kính R a2b2 c2 d:

2 2 2

x y z – 2ax – 2by – 2cz d 0  với a2 + b2 + c2 – d > 0

II. Vị trí tƣơng đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu

(S):  2  2 2 2x a  xb  x c R x a  xb  x c R

tâm I(a; b;c)bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

 Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) khơng cĩ điểm chung.

 Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau. Khi đĩ (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm  Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường trịn cĩ phương trình:   2  2 2 2 x a y b z c R Ax By Cz D 0               Trong đĩ bán kính đường trịn 2 2

r R d(I, (P)) và tâm H của đường trịn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).

III. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt cầu: cầu:

Cho mặt cầu (S):(x – a)2 +(y – b)2+(z – c)2 = R2 và đường thẳng (d) : 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t           

Muốn tìm giao điểm giữa (d) và (S) , ta thay x, y, z trong phương trình (d) vào phương trình (S) ta được một phương trình bậc hai theo t .

 Nếu phương trình theo t vơ nghiệm thì (d) và (S) khơng cĩ điểm chung

 Nếu phương trình theo t cĩ một nghiệm t thì (d) tiếp xúc với (S) . Khi đĩ (d) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm . Nếu phương trình theo t cĩ hai nghiệm phân biệt t1; t2 thì (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

 Nếu phương trình theo t cĩ một nghiệm t thì (d) tiếp xúc với (S) . Khi đĩ (d) gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm . Nếu phương trình theo t cĩ hai nghiệm phân biệt t1; t2 thì (d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

 Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu  Bán kính R

 Viết phương trình mặt cầu

  2  2 2 2

x a  xb  x c R

Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng kính AB

 Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ I  I là tâm mặt cầu

 Bán kính R 1AB 2

  Viết phương trình mặt cầu

Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) cĩ tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với   :

Ax + By + Cz + D = 0

 Mặt cầu (S) cĩ tâm I và tiếp xúc với   . Nên

cĩ bán kính  Rd I,    I I I 2 2 2 Ax By Cz D A B C        Viết phương trình mặt cầu

Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

 Phương trình mặt cầu (S) cĩ dạng

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0  A, B, C, D thuộc (S). Ta cĩ hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D