CHƯƠNG 2 : CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA NGHIấN CỨU
2.3 LƯỚI PHẦN TỬ HỮU HẠN TỰ THÍCH ỨNG TRONG PHÂN TÍCH ỨNG
ỨNG SUẤT ĐẬP VềM.
Những năm đầu của thập niờn 60 phương phỏp PTHH được ra đời cựng với sự phỏt triển nhanh chúng của mỏy tớnh, đồng thời từng bước phỏt triển trở thành phương phỏp số phổ biến nhất ứng dụng trong cụng trỡnh. Phương phỏp PTHH và bất kể phương phỏp số nào khỏc cũng giống nhau đều tồn tại vấn đề tớnh hiệu quả và tớnh tin cậy của phương phỏp tớnh toỏn. Nghiờn cứu hiệu suất phõn tớch và tớnh tin cậy của kết quả phõn tớch PTHH luụn đi đụi với phỏt triển của phương phỏp PTHH. Khả năng sai số của kết quả phõn tớch PTHH đến từ cỏc khõu của quỏ trỡnh phõn tớch. Trong đú một nguồn sai số chủ yếu là phõn tỏn của mụ hỡnh. Ảnh hưởng của chất lượng phõn chia mạng lưới PTHH cú tớnh quyết định đối với độ chớnh xỏc của kết quả phõn tớch. Trong phõn tớch PTHH thời kỳ đầu, người phõn tớch thụng
thường căn cứ vào kinh nghiệm, trực giỏc thậm chớ suy đoỏn tiến hành phõn chia mạng lưới. Sau đú dựa vào trực quan hoặc phỏn đoỏn đơn giản xem kết quả cú hợp lý hay khụng. Nếu khụng hợp lý tiến hành thiết kế lại mạng lưới mới. Hiệu suất phõn tớch và tớnh tin cậy của nú khỏ thấp, cũn phương phỏp PTHH tự thớch ứng đỏnh giỏ sai số hiệu quả là do mỏy tớnh căn cứ thụng tin sai số thu được quyết định giải độ chớnh xỏc cú đủ hay khụng. Nếu sai số quỏ lớn, mỏy tớnh cú khả năng tiến một bước tự động tiến hành cải tiến mạng lưới thoả món yờu cầu độ chớnh xỏc. Vỡ vậy nguyờn tắc trờn chỉ cần định nghĩa một loại vấn đề miờu tả đặc tớnh hỡnh học mạng lưới ban đầu với khả năng tiếp thu trỡnh độ sai số, mỏy tớnh cú khả năng tự động sản sinh thực hiện mạng lưới trỡnh độ hữu hiệu này. Nổi bật đó nõng cao hiệu suất phõn tớch và tớnh tin cậy của kết quả.
Lý luận tự thớch ứng đó được Babuska và Rheinboldt (1978) đưa vào tớnh toỏn PTHH bắt đầu từ thập niờn 70 của thế kỷ 20, tư tưởng chủ đạo là giảm nhỏ lượng cụng việc tiền xử lý và thực hiện khống chế khỏch quan phõn tỏn mạng lưới. Dưới sự nỗ lực của tỏc giả Zienkiewicz đó cơ bản thiết lập được cơ học đàn hồi thụng thường (Zienkiewicz và Zhu, 1991), cơ học động chất lỏng (Probert, Hassan, Morgan, Peraire, 1991), kim loại thành hỡnh (Zienkiewicz, Liu và Huang, 1988), phõn tớch thấm hệ thống phõn tớch tự thớch ứng miền phẳng (Rank và Werner, 1986; Chung và Kikuchi, 1987; Burkley và Bruch, 1991; Chen, 1996), do tớnh chất vật liệu và điều kiện thi cụng phức tạp, hiện nay nghiờn cứu lý luận phõn tớch PTHH tự thớch ứng tớnh đàn dẻo và phần mềm đối với kết cấu thủy cụng và kết cấu cụng trỡnh đất mới chỉ ở giai đoạn sơ cấp (Chen Sheng-hong, Wang Jin-song, Zhang Jun-lu, 1996).
Hiện nay phương phỏp PTHH tự thớch ứng trong ứng dụng cú mấy loại dưới đõy: Mụ hỡnh h (hỡnh 2.4a). Phương phỏp này thụng qua giảm nhỏ kớch thước phần tử để nõng cao độ chớnh xỏc giải PTHH; Mụ hỡnh p (hỡnh 2.4b). Phương phỏp này thụng qua gia tăng cấp bậc hàm số cơ bản để nõng cao độ chớnh xỏc giải PTHH; Mụ hỡnh r (hỡnh 2.4c). Phương phỏp này thụng qua cải biến hỡnh dỏng phần tử giảm nhỏ sai số phõn tỏn để nõng cao độ chớnh xỏc giải PTHH; Mụ hỡnh tổ hợp. Phương phỏp này là
phương phỏp tổ hợp hai trong ba phương phỏp trờn.
a/ Phương phỏp h b/ Phương phỏp p c/ Phương phỏp r Hỡnh 2.4: Ba phương phỏp thay đổi mạng lưới phần tử liờn tục
2.3.1 Phương phỏp h – thay đổi kớch thước phần tử (h – enrichment):
Lý luận phương phỏp tự thớch ứng mụ hỡnh h là khỏ phổ biến, ưu điểm của nú là phần mềm phõn tớch PTHH cơ bản khụng thay đổi nhằm duy trỡ tớnh độc lập, tớnh tự thớch ứng của phương phỏp khỏ mạnh, tớnh linh hoạt của chương trỡnh khỏ tốt, nhưng nhược điểm là dựa vào một bộ phận sinh thành mạng lưới lớn mạnh, bộ phận sinh thành mạng lưới lớn mạnh này yờu cầu cú khả năng thớch ứng cỏc phạm vi phức tạp, tớnh năng trạng thỏi của mạng lưới cần tốt, đối với ứng dụng của phương phỏp mụ hỡnh h này đó đề xuất yờu cầu khỏ cao. Đồng thời tốc độ hội tụ của nú khỏ chậm, độ chớnh xỏc tương đối thấp, đối với vấn đề điểm kỳ dị hiệu quả khỏ kộm.
Quỏ trỡnh cơ bản của tớnh toỏn PTHH mụ hỡnh h là: đầu tiờn định nghĩa tham số tạo hỡnh hỡnh học kết cấu cựng với tham số vật liệu và điều kiện biờn, tiếp theo tạo mạng lưới nền tảng ban đầu (Background Mesh), mạng lưới nền tảng này đồng thời cũng được coi như là mạng lưới trước mắt tiến hành phõn tớch PTHH, dựng kết quả tớnh toỏn PTHH tiến hành đỏnh giỏ độ chớnh xỏc phõn tỏn mạng lưới, nếu độ chớnh xỏc thoả món yờu cầu thỡ kết thỳc tớnh toỏn, nếu khụng tớnh toỏn tiếp một vũng trường thước đo mạng lưới ưu hoỏ. Dựa vào trường thước đo này hỡnh thành mạng lưới mới, mạng lưới trước mắt trước kia trở về thành mạng lưới nền tảng, mà mạng lưới mới sản sinh tạo thành mạng lưới trước mắt cung cấp sử dụng phõn tớch phần tử hữu hạn. Quỏ trỡnh ở trờn được tiến hành lặp lại, đến khi mạng lưới thoả món độ chớnh xỏc dự định là dừng.
Đối với vấn đề tớnh đàn hồi, Zienkiewicz và Zhu đó đề xuất một phương phỏp đỏnh giỏ sai số phõn tỏn (Zienkiewicz và Zhu, 1991), khỏi niệm vật lý phương phỏp này rừ ràng mà cũn đơn giản hiệu quả. Nhưng do sản sinh biến hỡnh tớnh đàn dẻo, quan hệ đơn giản giữa chuyển vị với ứng biến năng đó khụng tồn tại, vỡ thế Chen
Sheng-hong kiến nghị theo phương phỏp như dưới đõy để đỏnh giỏ sai số phõn tỏn mạng lưới đồng thời cũng đề xuất đỏnh giỏ thước đo mạng lưới.
Khi tớnh toỏn dưới mạng lưới trước mắt (thước đo là h) vấn đề tớnh dẻo dớnh đàn hồi bước tự thớch ứng thu được trường chuyển vị {u}P
h P , trường ứng biến {ε}P h P và trường nhiễu động ứng suất {σ}P
h
P
, trong đú {u}P
h
P
do giỏ trị chuyển vị điểm nỳt { }u thờm vào mà thành.
{ }u h =[ ]N{ }u (2.17)
Ghi nhớ giải chớnh xỏc của vấn đề là {u}, {ε}, {σ} thỡ vộc tơ sai số là:
{ } { } { } { } { } { } { } { } { } σ − σ = ε ε − ε = − = σ ε h h h e u u e (2.18) Ba loại sai số ở trờn cú liờn quan tương hỗ với nhau, nhưng lại khụng hiển thị liờn hệ cụng thức trong lý luận tớnh đàn hồi. Để tiến hành thống nhất độ lượng đối với sai số, định nghĩa phạm vi năng lượng sai số là:
{ } { } 2 / 1 T d e e e Ω = ∫ Ω ε σ (2.19)
Sau khi thước đo mạng lưới hướng vụ vựng nhỏ, giải PTHH hướng gần giải chớnh xỏc, e, eRσR với eRεRđều hướng 0, từ đú mà phạm vi sai số e cũng hướng 0. Tiến hành tớch phõn cụng thức (3) đối với miền tớnh toỏn tổng thể, nếu tớch phõn chỉ tiến hành đối với phần tử i nào đú thỡ viết là ei , hiển nhiờn cú:
∑ = = e N 1 i 2 i 2 e e (2.20) trong đú: NReR là tổng số phần tử
Đó chứng minh phạm vi sai số năng lượng là bậc vi lượng l của thước đo mạng lưới h (Zienkiewicz và Zhu, 1991), tức là:
( ) ( ) λ = = , p min l h 0 e l (2.21)
Để thu được độ lượng sai số tương đối của vụ lượng chủ yếu, chỳng tụi định nghĩa phạm vi tổng năng lượng của giải chớnh xỏc là:
{ } { } 2 / 1 T d u Ω ε σ = ∫ Ω (2.22)
Khi sai số tương đối nhỏ hơn sai số chỉ định eRtR, tức là: t
e u e
≤ (2.23)
thỡ cho rằng độ chớnh xỏc mạng lưới là hợp lý, trỏi lại cần tiến hành cải sửa ưu hoỏ đối với mạng lưới, eRtRdo xỏc định tớnh trọng yếu của đối tượng tớnh toỏn.
Nếu chỳng tụi yờu cầu sau khi ưu hoỏ mạng lưới, sai số e phõn bố đều trong cỏc phần tử, tức là: e 2 2 i N e e = i = 1, 2, ...,NReR (2.24)
Lấy cụng thức (2.23) thay vào cụng thức (2.24) ta được: e i i e u / N e ≤ i = 1, 2, ...,NReR (2.25) Định nghĩa tham số ξRiR là: (e u ) / e Ne i t i= ξ i = 1, 2, ...,NReR (2.26)
Đối với phần tử i, nếu ξRiR = 1, thỡ mạng lưới đó tối ưu, kết thỳc tớnh toỏn tự thớch ứng; ngược lại thước đo phần tử mới new
i
h tớnh toỏn theo cụng thức dưới đõy: l / 1 i old i new i h / h = ξ i = 1, 2, ...,NReR (2.27)
Do trờn thực tế {ε} với {σ} giải chớnh xỏc khụng khả thi, cho nờn cần theo phương phỏp hỡnh chiếu khụi phục ứng suất do Zienkiewicz đề xuất, yờu cầu giải suy đoỏn tốt nhất của giải chớnh xỏc {εP
* P } với {σP * P }, để thay thế {ε} và {σ} giải chớnh xỏc trong cụng thức (2.18) và cụng thức (2.21) tiến hành tớnh toỏn phạm vi sai số (Zienkiewicz và Zhu, 1991).
2.3.2 Phương phỏp p – thay đổi cấp bậc hàm số phần tử (p – refinement):
Phương phỏp phần tử hữu hạn tự thớch ứng mụ hỡnh p là do chuyển vị cõn đối ban đầu thụng thường kết hợp số lượng độ tự do phụ tăng lờn từng bước mà cấu
thành, cỏc độ tự do phụ này lấy từng cấp luỹ thừa tăng dần nhiều hạng thức hàm số mà khụng vi phạm điều kiện liờn tục chuyển vị để tạo thành hàm số cơ bản. Căn cứ định lý Weierstrass, bất luận một hàm số liờn tục trong khụng gian hữu hạn đều cú thể dựng nhiều hạng thức đại số cao cấp đủ tiếp cận đến mức độ chớnh xỏc bất kỳ. Vỡ vậy chỉ cần trong mỗi một phần tử đều khụng tồn tại tớnh khụng liờn tục bất luận nguyờn nhõn nào dẫn đến, tớnh hội tụ của phương phỏp PTHH mụ hỡnh p lỳc nào cũng cú thể bảo đảm. Petruska chỉ ra đối với vấn đề tớnh liờn tục CRoR tức là chỉ yờu cầu vấn đề chuyển vị liờn tục bản thõn, khụng quản hàm số gần giống liờn tục khả vi hay khụng, chỉ cần tớnh hội tụ h tồn tại thỡ tớnh hội tụ p cũng nhất định tồn tại. Sắp đặt độ tự do trong phương phỏp PTHH tự thớch ứng mụ hỡnh p ở trờn, làm cho độ tự do của phần tử cú thứ bậc bậc thấp là một tập con của độ tự do phần tử cú thứ bậc bậc cao. Cho nờn ma trận độ cứng của nú cựng với vộc tơ tải trọng là ma trận con của ma trận tương ứng phần tử cú thứ bậc bậc cao của cựng một vấn đề. Như vậy trong quỏ trỡnh tăng bậc, chỉ cần trờn nền tảng phương trỡnh ma trận đó cú mở rộng thờm hàng và cột mới, tức là cú thể được phương trỡnh ma trận mới. Ngoài ra vẫn cú thể lợi dụng đầy đủ kết quả tớnh toỏn nguyờn cú làm điểm xuất phỏt, quỏ trỡnh thay thế dẫn đến giải phương trỡnh ma trận mới.
Giữa thập niờn 70 của thế kỷ 20, Đại học Washington đó biờn chế một chương trỡnh phương phỏp PTHH mụ hỡnh p tớnh thớ nghiệm COMET-X, đặc điểm nổi bật của chương trỡnh này là đó lợi dụng phần tử cú thứ bậc (Hierarchical Elements). Khỏi niệm phần tử cú thứ bậc do Zienkiewicz đề xuất năm 1970 (Zienkiewicz, Irons, Scott, Cambell, 1970), sau đú lại tiến một bước trỡnh bày chi tiết (Zienkiewicz, De, Gago, Kelly, 1983). Theo sau, trỡnh bày và phõn tớch sơ bộ hội tụ p với tớnh chất tương quan của nú xem trong tài liệu tham khảo. Năm 1981, Babuska đầu tiờn đó làm cú hệ thống phõn tớch lý luận PTHH mụ hỡnh p (Babuska, Szabo và Katzs, 1981), chỉ ra kết quả thu được phương phỏp PTHH mụ hỡnh p khụng kộm hơn so với kết quả thu được phương phỏp PTHH mụ hỡnh h khi số độ tự do tương đồng, cũn đối với vấn đề điểm kỳ dị, tốc độ hội tụ của phương phỏp PTHH mụ hỡnh p nhanh hơn ớt nhất hai lần phương phỏp PTHH mụ hỡnh h với phần tử đều chuẩn.
Năm 1985, chương trỡnh thương mại PTHH mụ hỡnh p lần đầu đầu tiờn ra đời PROBE ở cụng ty Noetic; năm thứ hai lại đưa ra bản thứ hai. Nhưng chương trỡnh PROBE hiện thời chỉ cú khả năng tớnh toỏn vấn đề đàn hồi tuyến tớnh hai chiều. Chương trỡnh PTHH ba chiều FIESTA của Italia cũng cú vài đặc điểm nào đú của phương phỏp PTHH mụ hỡnh p. Chương trỡnh ở trờn đều khụng cú đặc điểm của tự thớch ứng. Năm 1993, Zhu De-zhao lấy hỡnh thức đúng kớn đó kết xuất hàm số cơ bản phần tử cú thứ bậc một chiều và hiển thị cỏch thức biểu thị thức tớch phõn, đó giải quyết vấn đề tớch luỹ trị số sai số trong phõn tớch một chiều, đồng thời lấy phương phỏp PTHH mụ hỡnh p ứng dụng phõn tớch chấn động. Năm 1994, Hinnant đó đề xuất phương phỏp vộc tơ tớch phõn đối với phương phỏp PTHH mụ hỡnh p, đó giảm nhỏ rất nhiều thời gian tớnh toỏn trị số tớch phõn trong phương phỏp PTHH mụ hỡnh p. 10 năm gần đõy, rất nhiều học giả đó nghiờn cứu khỏ sõu phương phỏp giải hệ phương trỡnh tuyến tớnh trong phương phỏp PTHH mụ hỡnh p, đó đề xuất nhiều loại phương phỏp giải (Morris, Tsuji và Carnevali, 1992; Manolis Papadrakakis và Babilis, 1994; Chen Xin-du, Yu jun, Zhou ji, 1997). Hiện nay nghiờn cứu đối với phương phỏp PTHH mụ hỡnh p (lại gọi là phương phỏp PTHH cú thứ bậc) chủ yếu là đối với vấn đề hai chiều, mà thiờn về phõn tớch lý luận, đối với lý luận thực hiện như thế nào quỏ trỡnh cụ thể tớnh toỏn cụng trỡnh thỡ khỏ ớt. Phương phỏp mụ hỡnh p rất thớch hợp xử lý như là vấn đề tập trung ứng suất đoạn cuối vết nứt, nhưng kết cấu phần mềm phõn tớch phần tử hữu hạn phức tạp.
2.3.3 Phương phỏp r – thay đổi vị trớ điểm nỳt mạng lưới phần tử (phương phỏp điểm nỳt di động):
Phương phỏp này khụng thay đổi số lượng phần tử cũng như loại hỡnh phần tử, cho nờn số độ tự do phần tử khụng thay đổi, thụng qua cải biến hỡnh dỏng phần tử giảm nhỏ sai số phõn tỏn. Phương phỏp này do Miller đề xuất.
2.3.4 Phương phỏp tổ hợp:
Vớ dụ như phương phỏp h – p, phương phỏp r – p….Phương phỏp h – p là đồng thời tiến hành gia tăng mật độ mạng lưới và gia tăng cấp bậc hàm số thờm vào để nõng cao độ chớnh xỏc tớnh toỏn. Phương phỏp tự thớch ứng h – p là loại phương
phỏp tiờn tiến nhất, nú cú khả năng cung cấp tốc độ hội tụ theo luỹ thừa,mụ phỏng thật mỏy tớnh và phõn tớch vấn đề cụng trỡnh thực tế này rất cú ý nghĩa, song phương phỏp này cũng là phương phỏp khú nhất trong ứng dụng, cú rất nhiều vấn đề đang trong quỏ trỡnh nghiờn cứuP
[6]
P .
2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG.
Cỏc phương phỏp tớnh toỏn phõn tớch ứng suất đập vũm rất đa dạng và phong phỳ: - Với cỏc đập thấp việc ỏp dụng cỏc phương ỏn tớnh toỏn như phương phỏp dầm – vũm, phương phỏp dầm – nhiều vũm cho kết quả tương đối chớnh xỏc.
- Với cỏc đập cao thỡ ỏp dụng PPPTHH là tối ưu nhất do phõn chia phần tử linh hoạt, cú thể suy xột biến hỡnh nền khỏ tốt, xử lý cỏc loại tải trọng, xử lý mụ hỡnh phức tạp, hoặc phõn tớch phi tuyến…
- PPPTHH dựa trờn mụ hỡnh 3D thụng qua cỏc điểm nỳt, đường thẳng, cỏc mặt, cỏc khối sau đú phõn chia phần tử. Nghiờn cứu lớ thuyết PTHH đưa ra được hàm chuyển vị, biến dạng, ứng suất, tải trọng, độ cứng cỏc phần tử sau đú rỳt ra cỏc phương trỡnh cõn bằng.
- Phương phỏp ứng suất đẳng hiệu PTHH và phương phỏp PTHH tự thớch ứng là phương phỏp dựa trờn cơ sở là PPPTHH. Phương phỏp ứng suất đẳng hiệu xử lý