Chương 1 Tổng quan
1.3. Ảnh hưởng của khối lượng tập trung lên đặc trưng động lực học của kết cấu
Bên cạnh ảnh hưởng của vết nứt đến dao động của dầm thì ảnh hưởng khối
lượng tập trung lên tần số riêng và dạng riêng cũng là chủ đề đã được nghiên cứu nhiều trong những năm qua.
Laura và đồng nghiệp [60] nghiên cứu ảnh hưởng của khối lượng đến tần số
riêng và dạng riêng đầu tiên. Trong nghiên cứu này, các tác giả khảo sát dầm công- xôn mang khối lượng tập trung gắn ở đầu tự do đối với các trường hợp tỷ lệ khối
lượng tập trung trên khối lượng dầm. Từ đó, các tác giả chỉ ra rằng, khi tỉ lệ khối
lượng mà tăng dần thì biên độ dao động cực đại của dạng riêng đầu tiên và hệ số tần
sốriêng đầu tiên cũng giảm dần.
Gurgoze [61] nghiên cứu ảnh hưởng của khối lượng tập trung và lò xo lên tần số và dạng riêng thứ nhất bằng cách xây dựng bài toán tổng quát về giá trị riêng cho dầm hoặc thanh mang khối lượng tập trung và lò xo. Lấy đólàm cơ sở cho việc phân tích, lý thuyết được áp dụng cho ba ví dụ đối với dầm cơng-xơn khi thay đổi vị trí khối lượng tập trung và khi thay đổi độ cứng của lò xo.
Ercoli và Laura [62] đã đề cập đến sự mở rộng của phương pháp Jacquot cho
dầm liên tục với các trường hợp mang khối lượng tập trung hoặc gắn lò xo. Trong nghiên cứu, các tác giảcũng đưa ra bảng so sánh hệ số tần số riêng đầu tiên đối với
các trường hợp kết cấu khác nhau như dầm hai đầu gối tựa và dầm hai đầu ngàm khi có và khơng mang khối lượng tập trung và lị xo.
thực nghiệm dầm liên tục mang khối lượng đàn hồi gắn kết. Các tác giả nghiên cứu dầm Timoshenko và dầm Bernoulli ở 3 trường hợp điều kiện biên khác nhau: hai đầu gối tựa, một đầu gối tựa – một đầu ngàm và hai đầu ngàm có gắn với khối lượng bằng một lò xo hoạt động như một bộ hấp thụ động lực triệt tiêu chuyển động với 4 dạng
dao động riêng đầu tiên.
Wu và Lin [64] đã đề xuất phương pháp kết hợp phân tích và mơ phỏng số (ANC) để nghiên cứu dao động tự do của một dầm công-xôn đồng nhất đẳng hướng
mang các khối lượng tập trung. Phương trình giá trịriêng đầu tiên được suy ra về mặt phân tích bằng cách sử dụng định lý mở rộng và sau đó các giá trị riêng và véc tơ riêng được tính tốn bằng số. Nghiên cứu chỉ ra rằng tần số riêng thứ nhất của dầm
công-xôn mang mật độ khối, giảm khi được dịch chuyển từđầu cốđịnh sang đầu tự
do của dầm công-xôn, nhưng xu hướng này không áp dụng cho tần số riêng thứ hai và thứ ba.
Posiadala [65] đã trình bày các giải pháp của dao động tự do của hệ dầm Timoshenko gắn lò xo quay-tịnh tiến và mang khối lượng tập trung bằng cách sử
dụng hệ số nhân Lagrange. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng sựthay đổi tần số riêng của hệ
dầm không chỉ phụ thuộc vào các thông số của lò xo hay khối lượng mà còn phụ
thuộc vào vị trí của chúng dọc theo chiều dài dầm.
Wu và Chou [66] đã đề xuất một phương pháp kết hợp sử dụng kỹ thuật tính tốn sốđể nghiên cứu 5 tần số riêng và dạng riêng đầu tiên của dầm đồng nhất mang n hệ lò xo - khối lượng với các điều kiện biên, bao gồm: ngàm - tự do, ngàm - ngàm, gối tựa - gối tựa và ngàm - gối tựa (n là số bất kỳ).
Gurgoze [67] , [68] thiết lập hai dạng thay thế của phương trình đặc trưng của dầm cơng-xơn Bernoulli-Euler mang hệ lị xo - khối lượng (giảm chấn). Cả hai cơng thức đều dựa trên sự tùy biến của dầm đàn hồi bằng n hàm riêng, theo phương pháp
dạng riêng giảđịnh. Mặc dù cơng thức được trình bày trong nghiên cứu này được áp dụng cho công-xôn nhưng cách tiếp cận này cũng có thể áp dụng cho các điều kiện biên khác.
Chang và đồng nghiệp [69], trình bày cách xác định tần số riêng của dầm
tiến và bộ cản nhớt được xác định bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace đối với biến không gian với các trường hợp vị trí khác nhau của lị xo và khối lượng tập trung, cần lưu ý rằng cách tiếp cận được đề xuất đóng một vai trị quan trọng trong việc thực hiện phân tích và thiết kế kết cấu. Nghiên cứu đã chỉ ra rằng tần số riêng đầu tiên của hệđạt giá trị nhỏ nhất khi khối lượng nằm ở vị trí giữa dầm và đối với trường hợp khối lượng nằm ở giữa dầm thì tần số riêng thứ nhất càng nhỏ khi khối lượng không thứ nguyên Q= m1/mL càng lớn (m, L lần lượt là khối lượng và chiều dài của dầm, m1 là khối lượng tập trung).
Cha [70] nghiên cứu tần số riêng của kết cấu đàn hồi tuyến tính, với điều kiện biên tùy ý mang n khối lượng tập trung và lò xo - cản nhớt nối đất. Trong nghiên cứu này, tác giảđã đề xuất công thức xác định các giá trị riêng của kết cấu đàn hồi tuyến tính mang bất kỳ khối lượng tập trung, lị xo và bộ giảm chấn nhớt. Phương pháp này
có thể dễ dàng mở rộng để phù hợp với bất kỳ kết cấu đàn hồi tuyến tính nào với bất kỳđiều kiện biên nào.
Banerjee [71] đã áp dụng phương pháp độ cứng động để phân tích dao động tự do của dầm công-xôn mang khối lượng và lị xo. Bài tốn giá trị riêng được xây dựng bằng cách tập hợp các ma trận độ cứng động của các phần tử khối lượng dầm và lị xo. Thuật tốn Wittrick – Williams sau đó được áp dụng để xác định các tần số riêng và dạng riêng tương ứng của cơ hệ. Các kết quả hoàn toàn tương đồng với những kết quả trong [63].
Wu và Hsu [72] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao
động tự do của các dầm gối tựa đơn giản mang nhiều khối lượng tập trung và cơ hệ
khối lượng-lò xo. Trong nghiên cứu này các tác giả sử dụng 2 phương pháp quy đổi khổi lượng: phương pháp 1, khối lượng được đưa về khối lượng phân bố (khối lượng
được chia đều trên một đơn vị chiều dài); phương pháp 2, khối lượng được chia đều về hai đầu. Nghiên cứu chỉ ra rằng năm tần số riêng đầu tiên giảm khi khối lượng
được gắn ở 4 điểm cách đều nhau trên dầm. Ảnh hưởng của khối lượng tập trung lên dạng riêng phụ thuộc vào ảnh hưởng của chúng đối với các tần sốriêng tương ứng.
Nguyen [73] trình bày ảnh hưởng của khối lượng tập trung và vết nứt đến tần số riêng của hệ dầm kép chứa vết nứt, bằng cách sử dụng phân tích wavelet. Hệ dầm
kép gồm hai dầm khác nhau được liên kết bởi một môi trường đàn hồi. Mối quan hệ
giữa tần số riêng và vị trí của khối lượng tập trung được thiết lập và được gọi là “vị trí khối lượng - tần số” (FML). Các mô phỏng số cho thấy khi có vết nứt, tần số của hệ dầm kép thay đổi bất thường khi khối lượng tập trung trùng với vị trí vết nứt. Sự
thay đổi bất thường này được khuếch đại bằng biến đổi wavelet và điều này rất hữu ích cho việc phát hiện vết nứt: vị trí vết nứt chính là vị trí của đỉnh xuất hiện trong biến đổi wavelet của hàm “vị trí khối lượng - tần số”.
Bên cạnh các nghiên cứu ảnh hưởng của khối lượng tập trung lên tần số riêng và dạng riêng thì ảnh hưởng của khối lượng tập trung lên hàm phổ phản ứng cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả:
Yang [74] đã trình bày phương pháp lặp dựa trên sự rời rạc hóa của ma trận cản, tuy nhiên khơng u cầu đảo ngược ma trận do đó loại bỏ lỗi do dữ liệu mơ hình
chưa được lấy mẫu gây ra. So với các phương pháp giải chính xác khác, phương pháp được đề xuất có thể tiết kiệm nhiều thời gian hơn trong tính tốn. Ngồi ra, nghiên cứu này cung cấp một phương pháp để kiểm tra độổn định của các cơ hệ giảm chấn không thứ nguyên.
Lin và Lim [75] đã trình bày một phương pháp mới và hiệu quảđã được phát triển để tính tốn độ nhạy receptance, giá trị riêng và véc tơ riêng từ dữ liệu thử
nghiệm dao động giới hạn. Độ nhạy của hàm độcong receptance đối với sựthay đổi khối lượng và hiệu chỉnh độ cứng từ hữu hạn dữ liệu thử nghiệm dao động. Độ nhạy
thu được chính xác hơn so với độ nhạy được tính tốn từ mơ hình phần tử phân tích
hoặc phần tử hữu hạn vì lỗi mơ hình kết cấu là khơng thể tránh khỏi do sự phức tạp của kết cấu. Các nghiên cứu trường hợp số mở rộng cũng như khảo sát thực nghiệm
có cơ hệ đã được thực hiện và kết quả đã chứng minh tính thực tiễn của phương pháp
này.
Mottershead [76] đã nghiên cứu các hàm phổ phản ứng dạng sốkhơng đo được và ứng dụng của nó đểđánh giá và cập nhật mơ hình. Nghiên cứu chỉ ra rằng độ nhạy của các giá trịriêng và vectơ riêng gần nhất là những yếu tố góp phần chính vào độ
nhạy của các số khơng. Do đó, khơng có khả năng thông tin được cung cấp bởi các sốkhông được đo sẽ dẫn đến bất kỳ sự hội tụnào đối với các dạng riêng ngồi phạm
vi. Các sốkhơng thường khác biệt trong khi các phép đo dạng riêng thường khơng chính xác, vì vậy chúng có thể là một sự thay thế hữu ích (ưu tiên) cho dữ liệu dạng riêng
Gurgoze [77] đã nghiên cứu ma trận hàm phổ phản ứng của các hệ kết cấu cản
đàn hồi chịu tác dụng của lực kích động điều hịa. Tọa độ của cơ hệđược giảđịnh là
đối tượng của một số phương trình ràng buộc tuyến tính. Tác giả thiết lập ma trận phổ phản ứng của cơ hệ bị ràng buộc thu được từ ma trận phổ phản ứng của cơ hệ không bị ràng buộc và các vectơ hệ số của phương trình ràng buộc.
Gurgozeg và Erol [78] đã thiết lập hàm phổ phản ứng của dầm cơng-xơn có cản mang khối lượng ở đầu tự do. Trong nghiên cứu này, hàm phổ phản ứng được
suy ra bằng cách sử dụng một công thức được thiết lập cho ma trận phổ phản ứng của
cơ hệ tuyến tính rời rạc chịu các phương trình ràng buộc tuyến tính, trong đó điều kiện biên đơn giản được coi là một ràng buộc tuyến tính áp đặt trên các tọa độ tổng quát.
Karakas và Gurgoze [79] đã thiết lập một công thức của ma trận hàm phổ phản
ứng của các hệđộng lực có cản không theo tỷ lệ như một phần mở rộng của Yang [74] trong đó ma trận phổ phản ứng thu được trực tiếp mà không cần sử dụng các
bước lặp. Trong nghiên cứu này, đầu tiên ma trận tắt dần được viết dưới dạng tổng
của các nghịch đảo, sau đó tổng được đưa về dạng tích của hai ma trận. Do đó, có thể
biểu diễn ma trận receptance của cơ hệ giảm chấn dưới dạng ma trận hàm phổ phản
ứng của cơ hệ chưa lấy dấu và tích của ma trận, đại diện cho sự tắt dần bằng cách sử
dụng công thức Woodbury.
Arlaud và đồng nghiệp [80] đã trình bày các phương pháp tiếp cận số và thực nghiệm để nghiên cứu ứng dụng receptance của đường ray tàu hỏa ở tần số thấp. Nghiên cứu đã chứng minh độ nhạy của hàm phổ phản ứng đối với các đặc tính của kết cấu nhỏ và chỉ ra cách các mơ hình được đề xuất có thể được sử dụng để phân tích sựthay đổi trong kết cấu. Các đỉnh trong hàm phổ phản ứng được chứng minh là
tương ứng với sựtích lũy của các dạng riêng và khơng phải với sự cộng hưởng toàn cục hoặc dạng riêng cụ thể. Các kết quả thực nghiệm cho thấy hiệu quả đối với với những thay đổi khá rõ ràng trên dải tần dưới 100 Hz.
Burlon và đồng nghiệp [81] đã trình bày hàm phổ phản ứng chính xác của dầm chịu tải dọc trục với bộ cản đàn hồi với số lượng tùy ý của bộ giảm chấn. Phương pháp này dựa trên lý thuyết về các hàm tổng quát để xử lý sự không liên tục của các biến phản ứng, trong công thức 1D tiêu chuẩn của phương trình chuyển động. Dựa
vào phương pháp này ta có thếxác định được tất cả các giá trị phản ứng tại mọi vị trí trên dầm chính xác và vốn đã đáp ứng các điều kiện bắt buộc tại vị trí của bộ giảm chấn /vị trí đặt lực.
Failla [82] đã trình bày phân tích đáp ứng tần số của dầm và khung máy bay với sốlượng tùy ý của bộ giảm chấn đàn hồi Kelvin – Voigt. Các bộ giảm chấn bên
ngoài và bên trong điển hình được coi là bộ giảm chấn tịnh tiến nối đất, khối lượng điều chỉnh, bộ giảm chấn quay và trục, đối với dao động uốn và dao động dọc trục,
tương ứng. Sử dụng lý thuyết về các hàm tổng qt trong cơng thức 1D của phương
trình chuyển động, các biểu thức dạng đóng chính xác được suy ra cho các dầm động lực học hàm Green’s và hàm đáp ứng tần sốdưới tải đa thức tùy ý, cho bất kỳ số bộ
giảm chấn nào. Đối với khung phẳng, ma trận đáp ứng tần số tổng thể chính xác và
vectơ tải được xây dựng, với kích thước chỉ phụ thuộc vào sốlượng nút dầm-cột, cho bất kỳ sốlượng bộ giảm chấn. Từ giải pháp dịch chuyển nút, đáp ứng tần số chính xác trong tất cả các phần tử khung cũng thu được ở dạng đóng. Các ứng dụng số cho thấy nhiều ưu điểm của phương pháp được đề xuất.
Burlon và đồng nghiệp [83] đề xuất hàm phổ phản ứng chính xác của phần tử
dầm uốn-xoắn được ghép nối với nhau mang theo một số lượng tùy ý các bộ giảm chấn đàn hồi trong nhịp và khối lượng. Nghiên cứu sử dụng lý thuyết uốn-xoắn kết hợp cơ bản, cùng với các hàm tổng qt thích hợp để xử lý sự khơng liên tục của các biến phản ứng tại các điểm ứng dụng của bộ giảm chấn/khối lượng, các biểu thức phân tích chính xác được rút ra cho đáp ứng tần số của dầm dưới sựthay đổi lực điều hòa, tùy ý.
Không chỉquan tâm đến dao động của dầm đồng nhất đẳng hướng, dao động của dầm vật liệu FGM đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu trong nhiều thập kỷ gần đây.
Tuy nhiên, chỉ có một số nghiên cứu về dao động của dầm FGM mang khối lượng tập trung.
Guo và Chen [84] sử dụng phương pháp tiếp cận ma trận phản xạ kết hợp với nghịch đảo ma trận tổng quát. Các công thức của phương pháp ma trận phản xạ
(RMM) được trình bày để phân tích động lực học của các kết cấu không gian với nhiều bộ giảm chấn điều chỉnh khối lượng (MTMD). Sau đó, lý thuyết về ma trận
nghịch đảo tổng quát được sử dụng đểthu được đáp ứng tần số của các kết cấu có và khơng có giảm chấn, cho phép xửlý đồng nhất ở bất kỳ tần số nào, kể cả tần số cộng
hưởng. Đối với các phản hồi nhất thời, kỹ thuật mở rộng chuỗi Neumann như được đề xuất trong RMM được nhận thấy chỉ giới hạn trong việc dựđốn phản hồi chính xác tại một thời điểm sớm. Kỹ thuật giảm chấn nhân tạo được sử dụng ởđây đểđánh
giá phản ứng trong thời gian trung bình và dài hạn của kết cấu. Dao động tự do, đáp
ứng tần sốvà đáp ứng thoáng qua của các kết cấu có MTMD được nghiên cứu bằng
phương pháp đề xuất thơng qua một số ví dụ. Các kết quả số chỉ ra rằng việc sử dụng MTMD có thểlàm thay đổi hiệu quả sự phân bố của các tần số tự nhiên.
Huang và Li [85] nghiên cứu dao động tự do của dầm có cơ tính biến đổi dọc