8 Góc cùng màu
8.3 Phương pháp hàm đếm và vài ứng dụng
8.3 Phương pháp hàm đếm và vài ứng dụng
Trong bài viết thứ nhất chúng tơi đã nói rằng góc cùng màu thực ra chỉ là một cái tên được đặt cho việc nhóm một số các đối tượng lại với nhau và việc khảo sát tính chất của bộ đó theo nhiều cách chính là tư tưởng chính của phương pháp góc cùng màu. Trong bài viết này chúng tơi tiếp tục giới thiệu một sự hình thức hố của tất cả những điều đó. Trong một số bài tốn tổ hợp, lập luận thơng thường chưa đem lại hiệu quả, chúng ta có thể thêm vào đó một hàm đếm để có thể tiếp xúc với bản chất của vấn đề một cách tường minh hơn.
Bài toán 8.3.1 (TST VMO 2000). Trong mặt phẳng cho 2000 đường trịn bán kính đơn vị sao cho khơng có hai đường trịn nào tiếp xúc nhau và mỗi đường trịn cắt ít nhất là hai đường trịn khác. Tìm giá trị nhỏ nhất của số các giao điểm tạo bởi các trường trịn này.
lời giải. Kí hiệu χ là tập hợp các đường tròn, S là tập hợp các giao điểm của các đường tròn đã cho. Với mỗi cặp X ∈S và (C)∈χ ta xét hàm đếm:
f(X, C) = (
0 nếu X /∈(C) 1
k nếu có đúng k đường trịn đi qua X và X ∈(C).
Với cách đặt đó ta nhận thấy với mọi X ∈S thì hàm f có tính chất: X
C∈χ
f(X, C) = 1. (8.8)
Mặt khác với mỗi đường tròn(C)thuộcχ. Do số đường tròn và số giao điểm là hữu hạn, suy
ra tồn tại giá trị nhỏ nhất của các số f(X, C). Giả sử giá trị nhỏ nhất đó đạt tại X0 và:
f(X0, C) = 1
k0 (k0 ∈N
∗ ).
Có k0−1 đường tròn(Ci) (vớii= 1,2, ..., k0−1)) khác (C) đi qua X0. Mặt khác các đường trịn khơng tiếp xúc nhau và có bán kính bằng nhau nên k0 −1 đường trịn này cắt (C) tại
k0−1 điểm phân biệt và khác X0. Suy ra theo cách chọnX0 ta có: X X∈S f(X0, C)≥ 1 k0 + (k0−1) 1 k0 với mọi (C)∈χ. (8.9) Kết hợp (8.8) và (8.9) suy ra: |S|=X X∈S X (C)∈χ f(X, C) = X (C)∈χ X X∈S f(X, C)≥ |χ|= 2000.
Mặt khác xét 500 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 đường trịn bán kính 1 mà hai đường trịn thuộc hai nhóm khác nhau thì khơng cắt nhau. Khơng có hai đường trịn nào tiếp xúc nhau và trong mỗi nhóm có 3 đường trịn có tâm tại 3 đỉnh của tam giác đều cạnh
√
3 và đường trịn thứ tư có tâm tại tâm của tam giác đều nói trên. Dễ thấy với 2000đường trịn đó thì chúng thỏa mãn các giả thiết và có đúng 2000 giao điểm.
Bài toán 8.3.2. Xét tậpPn={(a1, a2, . . . , ak) |1≤a1 ≤a2 ≤. . .≤ak &
k
P
i=1
ai =n, k ≤n}
trong đó n là số nguyên dương. Với mỗi phần tử π = (a1, a2, . . . , ak)∈ Pn, gọi F(π)là số số
1 trong π và G(π) là số các số phân biệt trong π. Chứng minh rằng:
X
π∈Pn
F(π) = X
π∈Pn
G(π).
lời giải. Đặtpn=|Pn|vàp0 = 1. Ta sẽ chứng minh P
π∈Pn
G(π) =p0+. . .+pn−1 = P
π∈Pn
F(π).
Để chứng minh vế trái của đẳng thức kép ta xét hàm đếm:
χ(π, m) = 0 nếu m /∈π 1 nếu m∈π. Vớiπ ∈ Pn cố định n P i=1 χ(π, m) =G(π) =⇒ P π∈Pn G(π) = P π∈Pn n P m=1 χ(π, m) = n P m=1 P π∈Pn χ(π, m). Mà ta lại có P π∈Pn χ(π, m) =pn−m =⇒ P π∈Pn G(π) = n P m=1 pn−m =p0 +p1+. . .+pn−1.
Bây giờ ta chứng minh vế phải của đẳng thức kép trên nhờ quy nạp theo n. Với n = 1 thì nó hiển nhiên đúng. Giả sử khẳng định đã đúng tớin−1≥1. Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng vớin. Thật vây, ta có P
π∈Pn
F(π) = P 1∈π∈Pn
F(π).
Xét ánh xạ: f :π = (a1, a2, . . . , ak)→ψ= (a2, a3, . . . , ak). Suy ra ψ∈ Pn−1. Dễ có f là song ánh, từ đó suy ra: X π∈Pn F(π) = X ψ∈Pn−1 F(1, ψ) = X ψ∈Pn−1 (1 +F(ψ)) =|Pn−1|+ X ψ∈Pn F(ψ) =p0 +p1+. . .+pn−1.
(ở bước cuối cùng ta đã sử dụng giả thiết quy nạp). Như vậy theo ngun lí quy nạp ta có đẳng thức đúng với mọin. Bài toán được chứng minh xong.
Với cùng phương pháp này ta có thể giải được các bài tốn khá thú vị sau đây:
Bài toán 8.3.3 (IMO 2001). Trong một kì thi Tốn có 21 nam và 21 nữ tham gia. Biết rằng mỗi thí sinh giải khơng q 6 bài tốn và với mỗi cặp nam-nữ, có ít nhất một bài tốn được giải bởi cả hai thí sinh này. Chứng minh rằng có một bài tốn mà được giải bởi ít nhất
3 nam và 3 nữ.
Bài tốn 8.3.4 (IMO 2005). Trong một kì thi Tốn cón thí sinh tham gia giải 6bài tốn. Biết rằng khơng có ai giải hết cả6 bài tốn và với hai bài tốn bất kì thì có>2n/5 số thí sinh giải được cả hai bài tốn đó. Chứng minh rằng có ít nhất hai thí sinh giải được 5 bài tốn.
Như vậy, các bạn có thể nhận thấy rõ rằng góc cùng màu thực ra là một hàm đếm, và hàm đếm là một công cụ để chúng ta khảo sát các tính chất của một hệ các đối tượng có liên hệ với nhau. Các lập luận logic thường mang tính trừu tượng, nếu sử dụng các hàm số tường minh như hàm đếm thì mọi việc trở nên sáng sủa hơn rất nhiều. Đó cũng là ý nghĩa quan trọng nhất của phương pháp hàm đếm cũng như khái niệm góc cùng màu.