D E= cm Trung trực của AE cắt AE A , và BC tại M P, và Q Tỷ số độ dài đoạn PM
phơng trình fx () 0=
Nội dung phơng pháp: Giả sử phơng trình cĩ duy nhất nghiệm trong khoảng ( , )a b . Giải phơng trình f x( ) 0= bằng phơng pháp lặp gồm các bớc sau:
Nội dung phơng pháp: Giả sử phơng trình cĩ duy nhất nghiệm trong khoảng ( , )a b . Giải phơng trình f x( ) 0= bằng phơng pháp lặp gồm các bớc sau:
2. Chọn x0∈( , )a b làm nghiệm gần đúng ban đầu.
3.Thay x x= 0 vào vế phải của phơng trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm
gần đúng thứ nhất x1=g x( )0 . Thay x1=g x( )0 vào vế phải của phơng
trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm gần đúng thứ hai x2=g x( )1 . Lặp lại quá trình trên, ta nhận đợc dãy các nghiệm gần đúng
1 ( )0
x =g x , x2=g x( )1 , x3=g x( )2 , x4=g x( )3 ,...,xn =g x( n−1), ... Nếu dãy các nghiệm gần đúng { }xn , n=1, 2,...hội tụ, nghĩa là tồn tại lim n
n x x
→∞ = thì (với giả thiết hàm g x( )
là liên tục trong khoảng ( , )a b ) ta cĩ:
1 1
lim n lim ( n ) (lim n ) ( )
n n n
x x g x − g x− g x
→∞ →∞ →∞
= = = = .
Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phơng trình x g x= ( ) và do đĩ x cũng là nghiệm đúng của phơng trình f x( ) 0= .
Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phơng trình x g x= ( ) và do đĩ x cũng là nghiệm đúng của phơng trình f x( ) 0= . chọn hàm số g x( ) sao cho dãy { }xn xây dựng theo phơng pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. Ta cĩ tiêu chuẩn sau.
Định lý. Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm x của phơng trình f x( ) 0= và phơng trình x g x= ( ) tơng đơng với phơng trình f x( ) 0= . Nếu g x( ) và g x'( ) là những hàm số liên tục sao cho g x′( ) ≤ < ∀ ∈q 1 x [ ]a b,
thì từ mọi vị trí ban đầu x0∈( , )a b dãy { }xn xây dựng theo phơng pháp lặp xn=g x( n−1) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng ( , )a b của phơng trình f x( ) 0= .
Thí dụ 1. Giải phơng trình x3−x2− =1 0.
Phơng trình này cĩ duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1.5) và tơng đơng với
3 2 1 x= x + . Do g x( )=3x2+1 cĩ đạo hàm 3 2 2 2 '( ) 3 ( 1) x g x x =
+ thỏa mãn điều kiện 3
1
'( ) 1
4
g x = <
trong khoảng (1;1.5) nên dãy lặp 3 2
1 1
n n
x+ = x + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng (1;1.5) . trong khoảng (1;1.5) .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo hàm g x( )=3x2+1: Khai báo hàm g x( )=3x2+1:
SHIFT 3 ( ALPHA X x2 + 1)
Bắt đầu tính tốn bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1 và bấm phím = . Khai báo giá trị ban đầu x0=1 và bấm phím = .