Như đã chỉ ra, ta cần thêm các định lý tổng quan hơn để cĩ khả năng suy diễn từ các tiên đề của đặc tả, chẳng hạn như x + y = y + x là khơng cĩ tính suy dần trong lý thuyết tương đương.
Ta sẽ thêm vào các qui tắc sử dụng trong lý thuyết tương đương một quy tắc mới như sau :
- Qui nạp : giả sử G là cơng thức sao cho x là một biến tự do, nếu với mọi t, G [t/ x] là suy diễn được thì G cũng suy diễn được cho t. Quy tắc này chỉ rõ rằng cĩ thể kết luận rằngnếu việc chứng minh một định lý là hợp thức cho mọi trường hợp, định nghĩa bởi một hạng, bởi một biến thì định lý cũng hợp thức cho cơng thức được lượng hĩa một cách phổ dụng trên biến này.
Tương tự đối với định lý tương đương, định lý sau đây cho kết quả thuyết phục cho việc suy diễn quy nạp đối với đặc tả hữu hạn.
Định lý 3.2 : Lý thuyết quy nạp Với một đặc tả đại số spec
∀t = t’, Ax spec Ê Ind t = t’ ⇔ ModGen (Ax spec) Ư t = t’
Ta sẽ minh họa nguyên lý này bởi một ví dụ trên các giá trị logic xây dựng từ các phép tốn true, false và not. Ta muốn chứng minh rằng :
not (not (b)) = b - trường hợp cơ sở :
? not (not (true)) =not (false) = true ; 2. Not (not (false)) = not (true) = false ;
- Khơng quy nạp :
not (not (b)) = b suy ra not (not (not (b))) = not (b) quy tắc khả thế với not cho not (not (b)) = b
not (not (not (b))) = not (b)
Nhờ quy tắc quy nạp mà thuộc tính mong muốn được chứng minh. Như vậy lý thuyết quy nạp cho phép chứng minh tính giao hốn của phép cộng trong Not qua x + y = y+ x việc chứng minh cần quy nạp hai lần trên x và y.