1.2. Các khái niệm về phép tốn hình thái Morphology
1.2.3. Bốn nguyên tắc hình thái
Một tốn tử hình thái là phép hợp thành của một ánh xạ Ψ (hay biến đổi hình học) sau bởi một hàm độ đo μ là một ánh xạ Z×Z×…×Z → R. Tập các dạng hình học được biến đổi Ψ(X) có thể là biên, và độ đo �[Ψ(X)] cho một số (trọng số, vùng bề mặt, thể tích, …). Chúng ta chỉ làm đơn giản hóa phép biến đổi Ψ, nhưng các tiên đề có thể được chuyển vị để đo.
Một phép biến đổi hình thái được gọi là định lượng nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn bốn tiên đề cơ bản sau:
Tịnh tiến: Giả sử phép biến đổi Ψ phụ thuộc vào vị trí gốc O của hệ trục tọa đơ, và được kí hiệu Ψ�. Nếu tất cả các điểm được tịnh tiến bởi véc tơ –h, được biểu diễn như là Ψ−ℎ. Tiên đề tịnh tiến được cho bởi:
Ψ�(Xℎ) = ((Ψ−−−−−−−−−−−−−−− ))
ℎ (1.11)
Nếu Ψ không phụ thuộc vào vị trí của gốc tọa độ thì tiên đề giảm biến với phép biến đổi:
Ψ(X ) = (Ψ(�)) (1.12)
ℎ
Đổi tỉ lệ: Cho λX biểu diễn phép đồng dạng tỉ lệ của một tập điểm X (nghĩa là tọa độ của điểm của tập được nhân với hệ số λ). Điều này tương đương với việc thay đổi tỉ lệ với gốc tọa độ. Kí hiệu Ψ� là phép biến đổi mà phụ thuộc vào biến λ dương. Phép biến đổi thỏa mãn đổi tỉ lệ được cho bởi
1 Ψ�(�) = �Ψ (
� �) (1.13)
Nếu Ψ không phụ thuộc vào tỉ lệ λ thì phép biến đổi có dạng
Ψ(��) = �Ψ(�) (1.14)
Tri thức cục bộ: Tiên đề tri thức cục bộ được xem trong trường hợp chỉ một
phần của cấu trúc lớn được kiểm tra – điều này luôn là trường hợp trong thực tế, để giảm độ lớn của lưới số. Phép biến đổi hình thái Ψ thỏa mãn tiên đề tri thức cục bộ nếu với mỗi điểm biên của tập Z′ trong phép biến đổi Ψ(X) ở đây tồn tại một tập biên Z, với những điều này là đủ để cho Ψ. Tiên đề tri thức địa phương có thể được viết như sau:
(Ψ(X ∩ Z)) ∩ Z′ = Ψ(X) ∩ Z′ (1.15)
Bán liên tục trên: Tiên đề bán liên tục trên là phép biến đổi hình thái khơng chịu bất kỳ thay đổi đột ngột nào.