Trên phương diện ý nghĩa hình học, giả sử ta có phần tử cấu trúc B dạng một hình trịn, khi đó biên của tập hợp � � ∘ gồm quỹ tích các điểm thuộc biên của phần tử cấu trúc B, khi B tịnh tiến trên đường biên tập hợp A, và cách biên của tập hợp A khoảng cách xa nhất.[4] Tất cả các hướng góc ngồi đều được làm trơn, trong khi những góc hướng vào trong đều không bị ảnh hưởng. Những chỗ nhọn nhỏ thừa nhô ra sẽ bị lược bỏ.
Phép mở ảnh có thể làm trơn biên của đối tượng loại bỏ những điểm nhơ thừa, có kích thước nhỏ khơng cần thiết. Vì ban đầu phép co nhị phân sẽ lược bỏ các điểm ảnh bên gần phía ngồi bề mặt đối tượng, chỉ để lại chỉ giữ lại các phần tử cơ bản cấu hình lên hình dạng của đối tượng sau đó thực hiện phép dãn để lấy lại kích thước ban đầu của đối tượng.
Hình 2.9a trình bày ảnh có những phần tiếp xúc nhau. Sau thao tác mở đơn giản đối tượng ảnh đã dễ nhận hơn so với ban đầu.
Hình 2.9c cũng minh hoạ một đối tượng khác, hoàn toàn tương tự, sử dụng phép mở ảnh và nhiễu ở giữa số 3 đã biến mất. Bước co trong phép mở ảnh sẽ xố những
điểm ảnh cơ lập được coi như những biên, và phép dãn ảnh tiếp sau sẽ khôi phục lại các điểm biên và loại nhiễu. Việc xử lý này dường như chỉ thành công với những nhiễu đen cịn những nhiễu trắng thì khơng.
Hình 2.9. Sử dụng phép tốn mở
a. Một ảnh có nhiều vật thể được liên kết
b. Các vật thể được cách ly bởi phép mở với cấu trúc đơn giản c. Một ảnh có nhiễu
d. Ảnh nhiễu sau khi sử dụng phép mở, các điểm nhiễu đen đã biến mất
Phép đóng ảnh
Tương tự như phép mở ảnh, nhưng quá trình thực hiện phép đóng ảnh có xu hướng ngược lại, với mục đích, làm đầy những chỗ thiếu hụt của đối tượng trên ảnh dựa vào các phần tử cơ bản ban đầu.
Với tập hợp A là đối tượng trong ảnh, B là phần tử cấu trúc. là ký hiệu phép đóng ảnh. Khi đó phép đóng ảnh của tập hợp A bởi Phần tử cấu trúc B, kí hiệu là (A●B), xác định bởi:
A ∙ B = (A ⊕ B) ⊖ B (2.4)
Cho một hình ảnh nhị phân, với đối tượng trong ảnh có những khu vực bị đứt gãy, khơng liền mạch. Ðể khắc phục hiện tượng này ta áp dụng phép đóng ảnh, với A là đối tượng ban đầu, B là phần tử cấu trúc có kích thước 3x3. Khi áp dụng phép đóng ảnh, đầu tiên đối tượng này sẽ được mở rộng bằng phép giãn nhị phân theo phần tử cấu trúc
B. Lúc này những khu vực thiếu hụt sẽ được bù lên, và khu vực đứt sẽ được nối lại.
Hình 2.10. Q trình thực hiện phép đóng ảnh.
Nếu như phép mở ảnh tạo ra những khoảng trống nhỏ trong điểm ảnh thì trái lại, phép đóng ảnh sẽ lấp đầy những chỗ hổng đó. Hình 2.11b trình bày trình bày một thao tác đóng ảnh áp dụng cho hình 2.9d, là kết quả của việc xóa nhiễu. Phép đóng ảnh quả là có tác dụng trong việc xoá những nhiễu trắng trong đối tượng ảnh mà phép mở ảnh trước đây chưa thành cơng.
Hình 2.11c và 2.11d trình bày một ứng dụng của phép co ảnh nhằm nối lại những nét gãy. Ảnh ban đầu 2.11c là một bản mạch, sau khi sử dụng phép co các điểm gãy đã được liên kết nhau ở một số điểm ảnh. Phép đóng ảnh này đã gắn được nhiều điểm ảnh gãy, nhưng không phải là tất cả. Điều quan trọng nhận thấy rằng khi sử dụng những ảnh thực, thật hiếm khi xử lý ảnh một cách hoàn chỉnh mà chỉ cần một kĩ thuật, phải sử dụng nhiều phần tử cấu trúc mà có khi có những kĩ thuật nằm ngồi Hình thái học (phép tốn hình thái)
Hình 2.11. Sử dụng phép tốn đóng
b. Kết quả đóng sử dụng cấu trúc đơn giản
c. Ảnh của một bảng mạch được phân ngưỡng và có các vết đứt d. Ảnh tương tự sau khi đóng nhưng những nét đứt đã được nối liền
Trước tiên, quan tâm đến những ứng dụng làm trơn và vì mục đích này ra sẽ sử dụng để làm thí dụ. Trong ảnh 2.12a đã được thực hiện cả 2 phép đóng và mở và nếu thực hiện tiếp phép đóng sẽ khơng gây thêm bất kì một thay đổi nào. Tuy nhiên viền của đối tượng ảnh vẫn còn gai và vẫn có những lỗ hổng trắng bên trong của đối tượng. Sử dụng phép mở với độ sâu 2, tức là sau khi co 2 lần thì dãn 2 lần, khi đó nó sẽ cho ta kết quả là hình 2.12a. Chú ý rằng những lỗ trước đây đã được đóng và viền bây giờ có vẻ như “trơn” hơn so với trước. Phép mở 3 chiều, tương tự chỉ gây ra thay đổi rất nhỏ so với 2 chiều (2.12b), chỉ có thêm một điểm ảnh bên ngồi được xố. Nhìn chung, sự thay đổi khơng đáng kể. lỗ. Hình 2.12. Phép đóng với độ sâu lớn a. Từ 2.11b, sử dụng phép đóng với độ sâu 2 b. Phép đóng với độ sâu 3 c. Một vùng bàn cờ
d. Vùng bàn cờ được phân ngưỡng thể hiện những điểm bất quy tắc và một vài
e. Sau khi thực hiện phép đóng với độ sâu 1 f. Sau khi thực hiện phép đóng với độ sâu 2
2.1.2.4. Phép biến đổi trúng hay trượt (Hit-or- miss transformation)
Phép biến đổi trúng hay trượt là một phép tốn hình thái được thiết kế để định vị hình dạng cơ bản trong một ảnh. Nó được dựa trên phép co; điều này là tự nhiên, từ một phép co tự nhiên của A bởi S bao gồm chỉ những điểm ảnh (vị trí) mà ở đó S được nằm gọn trong A, hoặc đối sánh những điểm đặt trong một miền nhỏ của A. Tuy nhiên, nó
cũng bao gồm các vị trí mà ở đó các điểm nền trong vùng mà khơng được đối sánh với S, và những vị trí này thơng thường sẽ khơng được thơng qua bằng một sự đối sánh. Cái mà chúng ta cần là một phép toán mà đối sánh cả hai điểm nền và gần nền của S trong A.
Đối sánh những điểm gần nền trong S đối ngược những điểm trong A được gọi là “trúng”, và được hoàn thành với một phép co đơn giản A S. Những điểm nền trong A được tìm thấy trong Ac, và trong khi đó chúng ta có thể sử dụng Sc giống như là nền cho S một cách xấp xỉ linh hoạt hơn để cụ thể những điểm nền rõ ràng trong một phần tử cấu trúc mới T. A “trúng” trong nền được gọi là “trượt”, và được tìm ra bởi Ac T.
Chúng ta muốn cả hai vị trí “trúng và trượt”, là những điểm thoả mãn công thức:
⨂
� ( ,� �) = ( ⊖� �) ∩ (�� ⊖ �) (2.5) Ví dụ, chúng ta sử dụng biến đổi này để tìm ra những góc phía trên bên phải.
Hình 2.13a chỉ ra một ảnh mà có thể được biểu diễn bằng hai hình vng chồng lên nhau. Một góc sẽ gồm có một góc bên phải của một điểm góc và một điểm trực tiếp bên dưới và một điểm bên trái, được chỉ ra trong hình 2.13b.
Hình 2.13. Minh hoạ thao tác đánh trúng và trượt (a). Ảnh được kiểm tra trượt (a). Ảnh được kiểm tra
(b). Cấu trúc cận cảnh dành cho việc xác định vị trí góc trên bên phải (c). Co (a) bằng (b)
(e). Cấu trúc nền bao gồm 3 điểm ảnh phía góc trên bên phải của góc, phải là những điểm nền
(f). Phép co (d) bởi (e)
(g). Giao của (c) và (f)- Kết quả trình bày vị trí của điểm ảnh ở những góc trên bên phải.
Cũng phải chú ý rằng cấu trúc dành cho ảnh nền 2.13d lại không phải là phần bù của cấu trúc dành cho ảnh gốc 2.13a. Thực vậy, nếu nó là phần bù thì kết quả sẽ là một ảnh rỗng. Nhân tiện cũng phải nói rằng những điểm ảnh phía trên bên phải trong 2.13f là trắng bởi vì chúng phù hợp với những vị trí mà ở đó cấu trúc 2.13e có những điểm ảnh đen được đặt bên ngồi của những viền trong ảnh. Phép tốn phần bù tạo ra một ảnh cỡ tương tự như ảnh được lấy phần bù dù rằng khi sử dụng trong tập hợp, điều này khơng đúng. Điều này có thể được tránh bằng việc sao chép ảnh vào thành một ảnh lớn hơn trước khi lấy phần bù của ảnh đó.
2.1.2.5. Phép tốn dãn nở có điều kiện
Trong thực tế, có nhiều lúc ta thực sự cần phải dãn một đối tượng bằng một cách nào đó sao cho những điểm ảnh cịn lại không bị ảnh hưởng. Chẳng hạn như nếu ta mong một đối tượng trong một ảnh khơng chiếm phần nào đó trong ảnh đó thì phép dãn đối tượng phải khơng được làm cho đối tượng lấn vào khu vực đó. Trong trường hợp như vậy, ta phải dùng phép dãn theo điều kiện. Khu vực cấm của ảnh đó được coi như là một ảnh thứ hai mà trong ảnh thứ hai đó, những điểm ảnh bị cấm là đen (mang giá trị 1). Phép dãn có điều kiện được kí hiệu:
⊕
� (��, �′) (2.6)
Trong đó, Se là cấu trúc được sử dụng trong phép dãn và A’ là ảnh đại diện cho tập hợp những điểm ảnh bị cấm.
Kĩ thuật trên rất hữu ích cho việc phân đoạn một ảnh. Chọn được một ngưỡng tốt cho việc phân đoạn mức xám có thể là rất khó khăn. Tuy nhiên, hai ngưỡng tồi có thể được sử dụng để thay cho một ngưỡng tốt. Nếu một ngưỡng rất cao được áp dụng cho một ảnh thì những điểm ảnh thoả mãn ngưỡng đó chắc chắn sẽ là những điểm ảnh của đối tượng thế nhưng như vậy ta cũng dễ bỏ qua nhiều điểm ảnh khác của đối tượng. Còn nếu ngưỡng áp dụng mà quá thấp thì ta dễ chọn phải nhiều điểm ảnh mà khơng phải là điểm ảnh của đối tượng.
Hình 2.14. Dãn theo điều kiện
a. Ảnh một chồng chìa khố
b. Ảnh phủ định do sử dụng ngưỡng cao c. Kết quả của sử dụng ngưỡng thấp
d. Phép dãn có điều kiện của (b) sử dụng phần tử cấu trúc đơn giản, điều kiện theo (c)
e. Kết quả sau khi “làm sạch” nhiễu, bằng sử dụng phép mở.
2.1.3. Các phép tốn hình thái học trên ảnh xám2.1.3.1. Phép giãn 2.1.3.1. Phép giãn
Phép toán giãn ảnh của ảnh xám I với cấu trúc phần tử khơng phẳng H tại vị trí (x, y) của ảnh I được xác định như sau [11][16][19]:
�(�) = ( ⊕� �)( ,� �) = ���(�( + , +� � � �) + �( ,� �) ∣ ( ,� �) ∈ ��) (2.7)
Trong đó
I: Ma trận điểm ảnh của ảnh xám. H: Là phần tử cấu trúc.
Hình 2.15. Phép tốn dãn ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc khơng phẳng. cấu trúc khơng phẳng.
Trong đó, DH là khơng gian ảnh của phần tử cấu trúc khơng phẳng H. Q trình trên có thể được tính tốn theo các bước sau:
B1: Vị trí gốc của phần tử cấu trúc đặt trên điểm ảnh đầu tiên của ảnh được dãn ta gọi vị trí đó là m.
B2: tính tổng của mỗi cặp điểm tương ứng của phần tử cấu trúc và ảnh
B3: Tìm giá trị lớn nhất của tất cả những giá trị tổng ở trên và đặt giá trị lớn nhất vào vị trí m của ảnh kết quả.
B4: Lặp lại quá trình từ b1 tới b3 cho các điểm cịn lại của ảnh
2.1.3.2. Phép co
Phép tốn co ảnh của ảnh xám I với cấu trúc phần tử không phẳng H tại vị trí (x, y) của ảnh I được xác định như sau [11][16][19]:
�(�) = ( ⊖� �)( ,� �) = ���(�( + , +( � � � �) − ( ( �(� � (� �, )| , ) ∈ ��) (2.8)
Trong đó:
I: Ma trận điểm ảnh của ảnh xám. H: Là phần tử cấu trúc.
Hình 2.16. Phép tốn co ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc khơng phẳng.
Trong đó, DH là không gian ảnh của phần tử cấu trúc khơng phẳng H. Q trình trên có thể được tính tốn theo các bước sau:
B1: Vị trí gốc của phần tử cấu trúc đặt trên điểm ảnh đầu tiên của ảnh được dãn ta gọi vị trí đó là m.
B2: tính hiệu của mỗi cặp điểm tương ứng của phần tử cấu trúc và ảnh
B3: Tìm giá trị nhỏ nhất của tất cả những giá trị hiệu ở trên và đặt giá trị nhỏ nhất vào vị trí m của ảnh kết quả.
B4: Lặp lại quá trình từ b1 tới b3 cho các điểm cịn lại của ảnh
2.1.3.3. Phép tốn đóng mở ảnh
Gọi A là hình ảnh gốc và B là phần tử cấu trúc, (O) là ký hiệu của phép mở ảnh giữa tập hợp A và phần tử cấu trúc B.
+ Phép mở ảnh được xác định bởi công thức:
A ∘ B = (A ⊖ B) ⊕ B (2.9)
+ Phép đóng ảnh của tập hợp A bởi phần tử cấu trúc B, kí hiệu là A●B, xác định bởi:
A ∙ B = (A ⊕ B) ⊖ B (2.10)
2.2. Các tính chất nội suy của phép tốn hình thái học
Bài tốn nội suy ảnh có thể được phát biểu như sau: cho trước hai ảnh I0 (nguồn) và I1 (đích), hãy tìm dãy ảnh Zα; α Ỵ [0, 1] sao cho Z0 = I0 và Z1 = I1. Bài tốn nội suy hình ảnh u cầu câu trả lời phải “hấp dẫn, trực quan” về mặt hình ảnh mà rất khó để mơ tả một cách chặt chẽ.[7]
Bài tốn nội suy hình ảnh cịn được gọi là hình ảnh biến hình được sử dụng rộng rãi cho các hiệu ứng đặc biệt và hoạt ảnh.
Nói một cách dễ hiểu, các tốn tử MM cơ bản - giãn nở, xói mịn, mở và đóng, được xác định trên hình ảnh nhị phân và có thể được mở rộng sang hình ảnh thang độ xám. Điều này đạt được trên mức trừu tượng bằng cách xác định các toán tử trên cấu trúc trừu tượng được gọi là Lưới hoàn chỉnh. Tuy nhiên, ở đây chỉ xem xét các tốn tử cơ bản trên nhị phân và hình ảnh thang độ xám. Ta có một số tính chất nội suy của phép tốn hình thái học như sau [14]:
- Hình ảnh nhị phân - Thang độ sáng hình ảnh - Khoảng cách Hausdorff - Vùng ảnh hưởng
2.3. Ứng dụng của phép tốn hình thái
Ứng dụng chủ yếu của hình thái học đối với ảnh nhị phân là phân tích các thành phần của ảnh, chính vì nó rất có hiệu quả trong biểu diễn và mơ tả hình dạng đối tượng cho nên phần này sẽ tập trung đưa ra các thuật tốn về hình thái để trích đường biên, các thành phần liên thơng, đường bao lồi, hay tìm xương làm mảnh.
2.3.1. Ứng dụng làm trơn ảnh
Thao tác làm trơn trên ảnh xám có thể được coi như là một phép mở mà tiếp theo sau đó là một phép đóng ảnh. Hiệu quả của thao tác này là nó có thể xóa đi những điểm quá sáng hoặc tối trên ảnh gốc. Do vậy, có những điểm ảnh thực sự là nhiễu sẽ được xử lý, nhưng cũng không tránh khỏi những giá trị ảnh thực sự cũng bị ảnh hưởng và nhìn chung, giá phải trả cho việc giảm nhiễu là ảnh bị mờ đi so với ban đầu. Hình 2.17a miêu tả ảnh của một chiếc bảo vệ đĩa mà đã được liệt vào dạng nhiễu Gauss (theo phân loại thơng dụng) với độ lệch chuẩn 30. Hình 2.17c trình bày kết quả của phép làm nhiễu hình thái được áp dụng cho cả ảnh này; ta thấy có khi ảnh được làm trơn ở hình 2.17c lại khơng rõ bằng ảnh ban đầu hình 2.17a. Tuy nhiên, so hai ảnh 2.17b và 2.17d ta thấy sự khác biệt giữa chúng là: Ảnh lúc đầu được phân ngưỡng, sau đó ta mới làm trơn thì kết quả thật là tuyệt vời, ảnh thu được ảnh 2.17d đã hết nhiễu. Điều đó cho thấy rằng, việc phân ngưỡng là có tác dụng tốt đối với phép làm trơn. Phần tử cấu trúc được sử dụng ở đây chỉ đơn giản, nhưng việc lựa chọn phần tử cấu trúc nào còn phải tùy thuộc vào kiểu nhiễu nào để mà sử dụng cho thích hợp.
Hình 2.17. Làm trơn ảnh đa cấp xám
(a). Ảnh miếng bảo vệ đĩa có kèm theo nhiễu Gaus có độ lệch chuẩn 30 (b). Sau khi phân ngưỡng từ (a), ảnh như được rắc thêm “muối và hạt tiêu” (c). Ảnh (a) sau khi được làm trơn.
(d). Ảnh được làm trơn và khi phân ngưỡng, nó đã hết nhiễu.
2.3.2. Trích biên (Boundary Extraction)
Với ảnh đầu vào là ảnh xám, thì ta có thể xử lý phân đoạn ảnh bằng các ngưỡng