Các hệ tương đương Young

CHƯƠNG III : BÀI TẬP NÂNG CAO GIẢI CHI TIẾT

2. Các hệ tương đương Young

2.1. Gương Fresnel

Bài 1. (V2 2000)

Hai gương Fresnel đủ rộng làm với nhau góc 𝛼 = 20′ (1' = 3.10-4 rad) được chiếu sáng bằng một khe rất hẹp F song song với cạnh chung A của hai gương, đặt cách A một khoảng l = 10cm và phát ra ánh sáng đơn sắc có bước sóng 𝜆 = 600𝑛𝑚. Hệ vân giao thoa được quan sát trên một màn P đặt cách A một khoảng D = 100cm và vuông góc với tia nằm giữa chùm tia giao thoa. 1. Vẽ sơ đồ thí nghiệm, tính khoảng cách i giữa hai vân sáng liên tiếp và số vân N quan sát được. 2. Đặt giữa A và P một thấu kính hội tụ O tiêu cự 10cm, trục chính trùng với đường vuông góc hạ từ A xuống P và cách S một đoạn x.

a) Tính i và N theo x.

b) Để quan sát được vân giao thì x phải thỏa mãn điều kiện gì? Với giá trị nào của x thì i cực đại? Tính giá trị cực đại im ấy.

c) Tính i và N với các giá trị x = 10cm và x = 80cm. Hướng dẫn giải:

1. Tính i và N: Hệ giao thoa được mơ tả như hình vẽ

Khoảng cách giữa hai ảnh S1S2 của S là: 𝑎 =

2𝑙𝛼 = 1,2𝑚𝑚

Khoảng cách từ S1S2 đến màn là: 𝑙 + 𝐷, do vậy khoảng vân 𝑖 =𝜆(𝑙+𝐷)

𝑎 → i = 0,55mm Độ rộng trường giao thoa MN = a.𝐷

𝑙 = 1,2.100

10 = 12mm

Số vân quan sát được: N = 21 vân

2. a) Hệ vân mà ta quan sát được là ảnh thật của một hệ vân nằm trong mặt phẳng P0, có ảnh thật là P. Gọi d là khoảng cách từ P0 đến quang tâm O của thấu kính và d' là khoảng cách từ O đến P, thì ta có: d’1 d’2 D d O M x S 1 S2 S’ S O’ h d2 d1

33 d' = 100-x và d = d ′.f d−f= (100−x).10 100−x−10 =(100−x)10 90−x cm Khoảng cách từ D0 đến P0 là: D0 = x − d = −x2+ 100x−10 90−x

Ta có khoảng vân i0 trong P0: 𝑖0 =𝜆(𝑙+𝐷0)

𝑎 =10−2

2 .−x2+ 90x−100

90−x nm

Khoảng vân i quan sát được trong P: 𝑖 = 𝑖0.𝑑′

𝑑 = −x2+ 90x−100

90−x

90−x 10 (1)

Số vân sáng N quan sát được: 𝑁 = 2𝐷0𝛼

𝑖0 = 2,4 [1 + (90−x).10

x2− 90x+100] (2)

b) Để quan sát được vân thì i phải dương, vậy x phải ở trong khoảng hai nghiệm x1, x2 của phương trình: −x2+ 90x − 100 = 0

Giải hệ phương trình trên ta có hai nghiệm: x1 = 1,1 cm và x2 = 88,9cm Vậy x phải thỏa mãn: 1,1 cm < x < 88,9 cm

- Từ (1) thấy i cực đại khi và chỉ khi x bằng nửa tổng hai nghiệm x1, x2 tức là có x = -b/2a = 45cm, thay vào (1),

Khi đó ta có: imax = 0.96mm c) Tính i và N

- Với x = 10cm, thay vào (1) ta có i = 0,35mm Thay vào (2) ta có N = 5 vân

- Với x = 80 cm, có i = 0,35mm Nhưng N chỉ có giá trị N = 2 vân.

2.2. Lưỡng lăng kính Fresnel

Bài 1: Một lưỡng lăng kính Fre-nen có góc chiết

quang A = 50, bằng thủy tinh chiết suất n =1,52 được dùng làm thành bên của một bình chứa (hình bên). Thành đối diện là một tấm thủy tinh mỏng, phẳng, hai mặt song song. Trong bình chứa benzene chiết suất n’ = 1,50. Một khe sáng hẹp S phát ánh sáng đơn sắc bước sóng λ =0,7μm, được đặt trong mặt phẳng đáy chúng của hai lăng kính và song song với các cạnh,

cách lướng lăng kính đoạn l = 30cm. Hình ảnh giao thoa được hứng trên màn ảnh E, đặt song song với thành bình cách lưỡng lăng kính đoạn L = 1,2m. Tính khoảng vân giao thoa.

Giải:

Gọi A là góc chiết quang của lăng kính thủy tinh thì A cũng là góc chiết quang của lăng kính benzene (A=50).

Góc lệch của tia sáng khi qua lăng kính thủy tinh: δ1 = (n -1)A

Góc lệch của tia sáng khi qua lăng kính benzen: δ2 = (n’ -1)A

Góc lệch tởng cộng khi qua hai lăng kính: δ = δ1 + δ2 = A (n – n’)

Khoảng cách giữa hai ảnh ảo của s qua lưỡng lăng kính là: A = 2l.δ = 2l.A (n - n’)

Khoảng vân giao thoa sẽ là: i = 𝜆𝐷

𝑎 = 𝜆(𝑙 +𝐿)

2𝑙𝐴(𝑛−𝑛′) ≈1mm

Ưu điểm của phương pháp này là đã làm giảm đáng kể góc lệch của tia sáng, khoảng cách giữa hai nguồn ảo, do đó làm tăng khoảng vân rất nhiều.

34

Bài 2: Một học sinh muốn làm thí nghiệm giao thoa ánh sáng,

nhưng chỉ có: một lưỡng lăng kính AIA’ bằng thủy tinh chiết suất n = 1,5, hai góc chiết quang A và A’ đều bằng 50, một khe F có độ rộng h = 0,02mm, một kính lúp tiêu cự f = 4cm và một đèn natri Đ phát ra bức xạ đơn sắc, có bước sóng λ = 589nm. Đầu tiên học sinh đó đặt đèn Đ cho ánh sáng rọi qua khe F và đi tới lăng kính. Khe F cách đều A và A’ một đoạn d = 20cm. Đặt kính lúp cách A và A’ đoạn d’ = 1,0m để quan sát vân giao thoa. a) Hãy giải thích tại sao khi quan sát qua kính lúp học sinh đó khơng trơng thấy vân giao thoa (tuy F hoàn toàn song song với cạnh I của lưỡng lăng kính).

b) Theo gợi ý của thầy, học sinh đó đặt một tấm thủy tinh T có hai mặt song song để làm với lưỡng lăng kính thành một cái chậu rồi đổ chất lỏng chiết suấ n’ < n vào.

1) Chứng minh rằng để quan sát được vân giao thoa T không cần phải song song với mặt AA’.

2) Để quan sát được vân, n’ phải có giá trị ít nhất là bao nhiêu?

3) Tính khoảng vân I và góc trơng khoảng đó qua kính lúp, khi n’ = 1,42. Cho 1’ = 3.10-4 rad.

Giải: a) Ta có: i = 𝜆𝐷

𝑎 với a = 2d(n – 1).A và D = d +d’ Thay số: a = 18mm, D = 1,2m nên i ≈ 0,039mm.

Khe F không vô cùng hẹp mà có độ rộng hữu hạn h = 0,02mm. Mỗi dải trên khe tác dụng như một khe hẹp độc lập và cho ta một hệ vân có cùng khoảng vân i trên, nhưng tâm O, O’ của các hệ vân cách nhau một khoảng:

OO’ = x.d’/d = 5x

(với x là khoảng cách giữa hai dải).

Hai hệ vân ứng với hai dải ở hai mép khe cách nhau: OO’ = 5.h = 0,1mm. Khoảng này lớn gấp 2,5 lần khoảng vân do đó ta không quan sát được hệ vân.

b) 1) Lăng kính A ây giờ chỉ làm lệch tia sáng một góc β, với: β = (n – 1).A - (n’ – 1).α

Lăng kính ’ bây giờ chỉ làm lệch tia sáng một góc β’, với: Β’ = (n – 1).A’ - (n’ – 1).α’

Khoảng cách a’ giữa hai ảnh F1 và F2 của F là:

a’ = d. [(n – 1).A – (n’ – 1)α + (n – 1).A’ – (n’ – 1).α’] = d. [2(n – 1).A – (n’ – 1).(α + α’)] n’ n’ A A’ I A A’ A A’ α α’

35 = d. [2(n – 1).A – (n’ – 1).2A] = 2d.(n – n’)

Khoảng vân bây giờ là: i’ = 𝜆(𝑑+𝑑′)

2𝑑(𝑛−𝑛′) = 𝑛−1

𝑛−𝑛′.i

Ta thấy i’ không phụ thuộc vào α, tức là tấm T không nhất thiết phải song song với AA’. 2) Để quan sát được vân, cần có điều kiện:

i’ = 𝑛−1

𝑛−𝑛′.i > OO’ = 0,1mm

Do đó thay vào ta được: n – n’ < 0,1963 → n’ > 1,3037 3) Thay n’ = 1,42 vào biểu thức của i’ ta tìm được: i’ ≈ 0,25mm.

Góc trơng i’ qua kính lúp là: tanα ≈ α = i’/f =0,00613rad ≈ 20’.

BÀI 2. (QG11)

Học sinh muốn làm thí nghiệm giao thoa ánh sáng nhưng chỉ có: một lưỡng lăng kính AIA’ bằng thủy tinh chiết suất n = 1,50, hai góc chiết quang A và

A’ đều bằng 5o; một khe F có độ rộng h = 0,02 mm; một kính lúp có tiêu cự f = 4 cm và một đèn natri Đ phát ra ánh sáng đơn sắc có bước sóng  = 589 nm. Đầu tiên học sinh đó đặt đèn Đ cho ánh sáng rọi qua khe F và đi tới lưỡng lăng kính. Khe F cách đều A và A’ một khoảng d = 20 cm. Đặt kính lúp cách A và A’một khoảng d’ = 1,04 m để quan sát vân giao thoa.

1. Hãy giải thích tại sao khi quan sát qua kính lúp học sinh

đó không trơng thấy vân giao thoa ( tuy F hồn tồn song song với cạnh I của lưỡng lăng kính). 2. Theo gợi ý của thầy, học sinh đó đặt một tấm thủy tinh T có hai mặt song song để làm với lưỡng lăng kính thành một cái chậu, rồi đở chất lỏng chiết suất n’<n vào (hình vẽ …)

a) Chứng minh rằng để quan sát được vân giao thoa, T không cần phải song song với mặt AA’. b) Để quan sát được vân, n’phải có giá trị ít nhất bằng bao nhiêu?

c) Tính khoảng vân I và góc trông khoảng đó qua kính lúp, khi n’ = 1,42. Biết 1’ = 3.10-4 rad.

Hướng dẫn giải:

+ Một điểm sáng S qua lưỡng thấu kính cho hai ảnh coi là hai nguồn sáng kết hợp. Khi đó có thể đưa về bài toán với khe Young

+ Trong thí nghiệm Young, nếu nguồn sáng điểm S dịch chuyển theo phương song song với màn so với vị trí So thì vân sáng trung tâm sẽ dịch chuyển ngược chiều với S.

+ Nếu có hai hệ vân giao thoa chồng lên nhau trên màn, để quan sát được hệ vân giao thoa thì khoảng cách giữa hai vân sáng trung tâm của hai hệ OO’luôn nhỏ hơn khoảng vân i.

36

Giải

a)* Hai ảnh của S qua lưỡng lăng kính là S1, S2 đóng vai trò hai khe hẹp giống như hai khe Young

+ Khoảng cách giữa hai ảnh S1, S2 là: a=2d(n-1)A = 18 mm

+ Khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát là: D  d + d’ = 0,2 +1,04 = 1,24 m

 Khoảng vân: i=λD

a = 0,04 mm

* Khe F không vô cùng hẹp mà có độ rộng hữu hạn h = 0,02 mm. Mỗi dải trên khe tác dụng như một khe độc lập và cho ta một hệ vân có cùng khoảng vân i như trên.

Nhưng tâm OO’ của hai hệ vân cách nhau một khoảng ' xd'

OO 5x

d

=  ( x là khoảng giữa hai dải) + Hệ vân ở hai dải ở hai mép khe cách nhau : '

OO =5h = 0,1 mm = 2,1i Do đó, ta không quan sát được vân trên màn.

2. a)+Lăng kính Abây giờ làm lệch tia sáng một góc :

 = (n – 1)A – (n’- 1)α

+ Lăng kính A’ bây giờ làm lệch tia sáng một góc ’:

’ = (n – 1)A’ – (n’- 1)α’

+ Khoảng cách a giữa hai ảnh của nguồn F là:

a’ = d[(n – 1)A – (n’- 1)α + (n – 1)A’ – (n’- 1)α’] = 2d(n – n’)A Khi đó, khoảng vân là:

( ) 2d n – n’ λD n 1 i' A n = ’i – n − =

Ta thấy, i’ không phụ thuộc vào α, tức tấm T không nhất thiết phải song song với AA’. b) Để quan sát được vân, cần có điều kiện:

n – n’ n 1 i'= − iOO '=0,1mm Do đó: n – n’ n - 1= 0,1963 mm n' OO'  >1,3037 

c) Ta có khoảng vân: i'= n 1 i= 0,2454

n – n’ 0,25 mm

−



+ Góc trơng qua kính lúp: β tanβ = = 0,00614rad = 20'i' f



2.3. Thấu kính Biê (Billet)

Bài 1: Một điểm sáng S phát ra ánh sáng đơn sắc có bước sóng  = 0,5 m trên trục chính

của thấu kính mỏng hội tụ có đường kính bề mặt là 4 cm, tiêu cự 20 cm đối với , quang tâm O. Biết SO = 30 cm. Cắt thấu kính làm 2 theo mặt phẳng qua trục chính và kéo hai nửa thấu kính theo phương vuông góc và đối xứng với trục chính cách nhau 1 mm. Màn ảnhvuông góc với trục chính và cách thấu kính D.

a) Tìm D nhỏ nhất để quan sát được vân giao thoa trên màn. b) Khoảng vân i thay đởi theo D thế nào? Tìm i khi D = 1,6 m.

c) Với D = 1,6 m, tìm bề rơng L của trường giao thoa và số vân sáng n trên màn. Khi D tăng thì L và n thay đởi thế nào?

Hướng dẫn giải

+ S1, S2 là hai ảnh thật của S qua hai nửa thấu kính coi là hai nguồn sáng kết hợp phát ra hai chùm sáng kết hợp. Miền giao của hai chùm sáng là miền giao thoa. Điều kiện

S2 S1 S A2 d I P2 O  E d' A 1  P1 α A α’ A’

37

quan sát được giao thoa là màn quan sát phải đặt trong miền giao thoa. Áp dụng công thức của thấu kính sẽ xác định vị trí của S1, S2. Sử dụng các cơng thức hình học sẽ tìm được Dmin.

+ Áp dụng bài tốn với khe Y – âng để với hai khe chính là hai ảnh S1, S2 là hai ảnh của S.

Giải

a)* Ta có sơ đồ tạo ảnh: 1 L 1 S⎯⎯→S 2 L 2 S⎯⎯→S 1 1 1 = + f d d' df d' = 60 cm d - f  =

* S1, S2 là hai ảnh thật coi là hai nguồn sáng

kết hợp. Miền giới hạn bởi MPABQM là sự

chồng chất của hai ánh sáng kết hợp là miền giao thoa. Khoảng AB trên màn E là độ rộng của trường giao thoa.

* Tính a = S1S2:  SO1O2 ~  SS1S2 1 2 1 2 a d + d' d + d' = a = O O × = 3 mm O O d d  

* Điều kiện quan sát được giao thoa là D  OM:

+ HM = OM – d’ = OM - 60 +  MDE ~  MS1S2 OM = OM DE OM = 64,74 cm HM OM - 60 a  =  Dmin = OM = 64,74 cm 2) * Khoảng vân i: + λ(D - d') i = a

+ Với a, d’ khơng đởi  D = OC tăng thì i tăng. + Khi D = 1,6 m thì i = 0,17 mm.

3) * Ta xác định vị trí của màn (E) theo giả thiết đã cho:

+ Xác định vị trí của N:  MPQ ~  MED: MN = PQ MN = MO PQ

OM DE  DE +  SO1O2 ~  SPQ: 1 2 PQ SO + OM + MN O O = SO + Thay O1O2 = 1 mm; SO = d = 30 cm; OM = 64,74 cm; DE = 4,1 cm; ta có: PQ MN = 64,74 15, 79PQ 4,1  = (1) 1 2 SO + OM + MN 30 + 64,74 + MN 94,74 + MN PQ O O 0,1 SO 30 300 =  =  = (2) Giải hệ (1) và (2), ta được MN = 5,3 cm.

Do đó: ON = D = 64,74 + 5,3 = 70,04 cm < 1,6 m. Như vậy màn sẽ ở xa hơn PQ trường giao thoa là đoạn AB.

* Tìm trường giao thoa AB = L:

+  SO1O2 ~  SAB 1 2 1 2 L d + D d + D = L = O O × = 6, 33 mm O O d d   + Số vân sáng: N=2 L 1 37 2i   + =     S d d/ O2 S1 S2 O1 D M A B P Q C N H O E

38 * Biện luận:

Ta có số vân sáng L O O (D + d)a1 2

n = 2 1 2 1 2i 2dλ(D - d')     + =  +       Xét O O (D + d)a1 2 m = 2dλ(D - d')

Lấy đạo hàm của m theo D, ta có: 1 2

2 O O (d' + d)a dm' = - dD 2dλ(D - d') Vậy: dn' < 0

dD ; m nghịch biến với D nên D tăng thì m giảm  n cũng giảm.

Bài 2: Một thấu kính mỏng một mặt lời, một mặt phẳng có đường kính 2r, bán kính cong

R và chiết suất n0 được đặt trong điều kiện: bên trái là khơng khí có chiết suất n1 = 1, bên phải là mơi trường có chiết suất n2 (mặt lời quay về phái khơng khí). Trong khơng khí ở khoảng cách p1 đối với thấu kính và trên trục chính có một ng̀n sáng điểm đơn sắc. 1) Chứng minh rằng trong phạm vi gần đúng của chùm sáng quanh trục chính ta có hệ thức: f1

p1 + f2

p2 = 1 với p2 là khoảng cách từ ảnh đến thấu kính, f1 và f2 là những tiêu cự của thấu kính trong không khí và trong mơi trường có chiết suất n2.

2) Cắt thấu kính thành hai phần bằng nhau và tách chúng ra ra một khoảng δ<<r (ta được một lưỡng thấu kính Bi-ê). Ở bên tría, trên trục đối xứng của hệ và ở khoảng cách p1 >f1 đặt một nguồn sáng điểm. Ở bên phải đặt một màn ảnh E song song với thấu kính và ở khoảng cách d. Ta thu được N vân giao thoa nếu bên phải cũng là không khí. Xác định sự phụ thuộc của số vân N vào bước sóng λ.

Giải:

1) Nếu hai bên thấu kính là khơng khí thì vật A cho ảnh A1 và ta có hệ thức:

1

𝑝1 + 1

𝑝1′ = 1 (1)

Nếu bên phải thấu kính là mơi trường chó chiết suất n2 thì ảnh có vị trí mới là A2. Các tam giác OAI1 và OAI2 có góc ở A1 và A2 rất nhỏ nên: sinr1 ≈ tanr1 = OI/p1’

sinr2 ≈ tanr2 = OI/p2

Suy ra: p1’.sinr1 = p2.sinr2 (2)