Bài 1 Cho hai đờng trũn (O;R) và (O;R) cắt nhau tại A,B (Ovà O thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB ) .Cỏc đờng thẳng AO và AO cắt (O) tại hai điểm C,D và cắt đờng trũn (O) tại E,F .Chứng minh : a) Ba điểm C,B,F thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp
c) AB,CD,EF đồng quy d)A là tõm đờng trũn nội tiếp tam giác BDE
e ) MN là tiếp tun chung cđa (O) và (O’) . Chứng minh MN đi qua trung điĨm cđa AB
Bài 2 Cho đờng trũn tõm (O) và một điểm A nằm ngoài đờng trũn . Cỏc tiếp tuyến với đờng trũn kẻ từ A tiếp xỳc với đờng trũn tại B,C . Gọi M là điểm tuỳ ý trờn đờng trũn khỏc B và C .Từ M kẻ MH ⊥BC,MK ⊥CA,MI⊥AB . CM: a) Tứ giác ABOC ,MIBH,MKCH nội tiếp b)
BAO=BCO, MIH= MHK
c) ∆ MIH ~ ∆ MHK d) MỊMK=MH2
Bài 3 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) . Gọi BB’,CC’ là cỏc đờng cao của ABC cắt nhau tại H.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC ,F là điểm đối xứng của H qua trung điĨm I cđa BC , Gọi G là giao điểm của AI và OH . CM: a) Tứ giỏc BHCF là hỡnh bỡnh hành b) E,F nằm trên (O) c) Tứ giác BCFE là hỡnh thang cõn d) G là trọng tâm ∆ABC e)
AO⊥B’C’
Bài 4 Cho đờng trũn (O) đờng kính AB . Một cát tuyến MN quay quanh trung điĨm H cđa OB .Chứng minh:
500 bài toỏn ụn thi vào lớp 10
www.mathvn.com 46 www.MATHVN.com
a) Khi cát tuyến MN di động , trung điểm I của MN luụn nằm trờn một đờng cố định b) Từ A kỴ tia Ax⊥MN . Tia BI cắt Ax tại C . Chứng minh tứ giỏc BMCN là hỡnh bỡnh hành
c) Chứng minh C là trực tõm ∆AMN d) Khi MN quay xung quanh H thỡ C di động trờn đờng nào
e) Cho AB=2R ,AM.AN=3R2;AN=R 3. Tớnh diện tớch phần hỡnh trũn nằm ngoài tam giỏc AMN Bài 5 Cho 1/2(O) đờng kớnh AB=2R ,kẻ tuyếp tuyến Bx với (O).Gọi C,D là cỏc điểm di động trờn (O) .Cỏc tia AC,AD cắt Bx tại E,F ( F nằm giữa B và E). Chứng minh
a) ∆ABF ~ ∆BDF b) Tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi C,D di động thỡ tớch AC.AE=AD.AF và khụng đổi
Bài 6 Cho∆ABC nội tiếp (O) .Tia phõn giỏc BAC cắt BC tại I và cắt (O) tại M
a) Chứng minh OM⊥BC b) MC2=MỊMA
c) KỴ đờng kớnh MN . Cỏc tia phõn giỏc của B và C cắt AN tại P và Q . Chứng minh 4 điĨm
P,C,B,Q thuộc một đờng trũn
Bài7 Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú BC=6cm đ−ờng cao AH=4cm nội tiếp đ−ờng tròn (O;R) đ−ờng kớnh AA .Kẻ đờng kớnh CC, kỴ AK⊥CC’
a) Tính R ? b)Tứ giỏc CACA , AKHC là hỡnh gỡ ? Tại sa c) Tớnh diện tớch phần hỡnh trũn (O) nằm ngoài ∆ABC ?
Bài 8 Từ một điểm A nằm ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AM,AN với (O) , (M,N∈(O)) a) Từ O kẻ đờng thẳng OM cắt AN tại S . Chứng minh : SO = SA
b) Trờn cung nhỏ MN lấy điểm P khỏc M và N . Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B , AN tại C .Giả sử A cố định ,P là điểm chuyển động trên cung nhỏ MN . Chứng minh chu vi ∆ABC khụng đổi ? . Tớnh giỏ trị khụng đổi ấ
c) Vẽ cỏt tuyến AEF khụng đi qua điểm O ,H là trung điểm EF . Chứng minh cỏc điểm A,M,H,O,N cùng thuộc một đ−ờng tròn
d) Chứng minh AẸAF=AM2 e) Gọi K là giao điĨm cđa MH với (O) .Chứng minh NK//AF Bài 9 Cho (O) , hai đờng kớnh AB,CD vuụng gúc với nhau . M là một điĨm trên cung nhỏ AC . Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia DC tại S . Gọi I là giao điểm của CD và BM . Chứng minh:
a) Tứ giác AMIO nội tiếp b)MIC =MDB;MSD =2 MBA
c) MD phõn giỏcAMB d) IM.IB=IC.ID ; SM2=SC.SD e) Tia phõn giỏc COM cắt BM tại N . Chứng minh : NI tg MBO
NM = và CN⊥BM
g) Gọi K là trung điểm MB . Khi M di chuyển trờn cung nhỏ AC thỡ K di chuyển trờn đờng nào ? h) Xỏc định vị trớ cđa M trên cung nhỏ AC sao cho AM=5/3MB
Bài 10 Cho 1/2(O) đờng kớnh AB . Vẽ tiếp tuyến Ax,By . Từ C là một điểm bất kỳ trờn nửa đờng trũn (O) vẽ tiếp tuyến với đờng trũn cắt Ax , By tại E,F
www.mathvn.com 47 www.MATHVN.com
b) Gọi M là giao điểm OE với AC , N là giao điểm OF với BC . Tứ giỏc MCNO là hỡnh gỡ ? Tại sao ? c) Gọi D là giao điểm AF và BE Chứng minh CD//AE d) Chứng minh EF.CD=EC.FB
e) Khi C di chuyển trờn (O) thỡ M,N di chuyển trờn đờng nào ? g) Xỏc định vị trí cđa C đĨ diƯn tích ∆EOF bé nhất
Bài 11 Cho hai đờng trũn (O;R) và (O;r) tiếp xỳc ngoài tại C . Gọi AC, BC là hai đờng kớnh của (O) và (O’) . DE là dõy cung vuụng gúc tại trung điểm M của AB . Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với đờng trũn(O) tại F . BD cắt (O) tại G . Chứng minh :
a) Tứ giác AEBF là hỡnh thoi b) Ba điểm B,E,F thẳng hàng c) 4 điểm M,D,B,F thuộc một đờng trũn d) DF,EG,AB đồng quy e) MF=1/2DE g) MF là tiếp tuyến của (O’)
Bài 12 Cho 1/2(O) đờng kớnh AB , M là một điểm trờn nửa đờng trũn . Hạ MH⊥AB ,vẽ hai nửa đờng trũn (I) đờng kớnh AH,(K) đ−ờng kính BH nằm phía trong nửa (O) , cắt MA,MB tại P,Q . Chứng minh :
a) MH=PQ b) PQ là tiếp tun chung cđa (I),(K)
c)PQ2=AH.BH;MP.MA=MQ.MBd) Tứ giác APQB nội tiếp e) Xỏc định vị trớ cđa M đĨ chu vi , diƯn tích tứ giác IPQK lớn nhất
Bài 13 Cho tam giỏc vuụng ABC , vuụng tại A , đ−ờng cao AH nội tiếp (O) , d là tiếp tuyến của (O) tại A . Cỏc tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt d tại D và E a) TínhDOE b) Chứng minh : DE
= BD+CE
c) Chứng minh : BD.CE=R2 d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng trũn đờng kính DE Bài 14 Cho tam giỏc ABC cõn tại A , cỏc đờng cao AD, BE cắt nhau tại H . Gọi O là tõm đờng trũn ngoại tiếp tam giỏc AHE . Chứng minh :
a) ED=1/2BC b) DE là tiếp tun cđa (O) c) Tính DE biết DH = 2cm , HA = 6cm
Bài 15 Cho 1/2(O) đờng kớnh AB . Vẽ tiếp tuyến Ax,By . Từ M là một điểm bất kỳ trờn nửa đờng trũn (O) vẽ tiếp tuyến với đờng trũn cắt Ax , By tại C,D . Cỏc đờng thẳng AD,BC cắt nhau tại N . Chứng minh :
a) CD=AB+BD b) MN//AC c) CD.MN=CM.DB d) ĐiĨm M nằm ở vị trớ nào trờn1/2(O) thỡ AC+BD nhỏ nhất?
Bài 16 Cho ∆ ABC cân tại A ,I là tõm đờng trũn nội tiếp , K là tõm đờng trũn bàng tiếp của gúc A , O là trung điểm của IK . Chứng minh :
a) Bốn điểm B,I,C,K thuộc đờng trũn tõm O b) AC là tiếp tun cđa (O)
c) Biết AB = AC = 20cm , BC = 24cm tính bán kính (O) d) Tính phần giới hạn bởi (O) và tứ giỏc ABOC
500 bài tốn ơn thi vào lớp 10
www.mathvn.com 48 www.MATHVN.com
Bài 17 Cho ABC vuụng tại A . Vẽ (A;AH) . Gọi HD là đờng kớnh của (A) đó . Tiếp tuyến của đờng trũn tại D cắt CA tại E . Gọi I là hỡnh chiếu của A trờn BE Chứng minh : a) ∆BEC cân
b) AI = AH
c) BE là tiếp tun cđa (A;AH) d) BE = BH+DE
Bài 18 Cho hỡnh vuụng ABCD , điểm E trờn cạnh BC . Qua B kẻ đờng thẳng vuụng gúc với DE , đờng thẳng này cắt cỏc đờng thẳng DE và DC tại K,H . Chứng minh: a) Tứ giác BHCD nội tiếp
b) TínhCHK
c) KC.KD=KH.KB d) Khi E di chuyển trờn BC thỡ H di chuyển trờn đờng nào ? Bài 19 Cho (O;R) có hai đờng kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau . Trờn đoạn AB lấy điểm M (khỏc O). Đờng thẳng CM cắt (O) tại điểm thứ hai N. Đờng thẳng vuụng gúc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P .CM: a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành
c) Tớch CM.CN khụng phụ thuộc vào điểm M d) Khi M di chuyển trờn AB thỡ P chay trờn một đoạn thẳng cố định
Bài 20 Cho ∆ABC vuụng tại A (với AB > AC) , đờng cao AH . Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa điĨm A vẽ nưa đ−ờng trũn đờng kớnh BH cắt AB tại E , nửa đờng trũn đờng kớnh HC cắt AC tại F . Chứng minh:
a) Tứ giỏc AFHE là hỡnh chữ nhật b) Tứ giác BEFC nội tiếp
c) AẸAB=AF.AC d) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn
Bài 21 Cho (O;R) đờng kớnh AB . Kẻ tiếp tuyến Ax , P∈ Ax sao cho AP >R từ P kỴ tiếp tun PM với (O) tại M . Đờng thẳng vuụng gúc với AB tại O căt BM tại N . AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại J , PN cắt OM tại J . CM: a) Tứ giỏc APMO nội tiếp và BM//OP b) Tứ giác OBNP là hỡnh bỡnh hành
c) PI = OI ; PJ = OJ d) Ba điĨm I,J,K thẳng hàng
Bài 22 Cho 1/2(O) đờng kớnh AB và điểm M bất kỡ ∈ 1/2(O) (M khỏc A,B) . Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng trũn kẻ tiếp tuyến Ax . Tia BM cắt Ax tại I , tia phõn giỏc gúc IAM cắt 1/2 (O) tại E, cắt tia BM tại F . Tia BE cắt Ax tại H , cắt AM tại K . Chứng minh: a) IA2=IM.IB
b) ∆BAF cân
c) Tứ giỏc AKFH là hỡnh thoi d) Xỏc định vị trớ của M để tứ giỏc AKFI nội tiếp một đờng tròn
Bài 23 Cho ABC vuụng tại A . Trờn cạnh AC lấy một điểm M , dựng (O) đ−ờng kính MC . Đ−ờng thẳng BM cắt (O) tại D . Đờng thẳng AD cắt (O) tại S , BC cắt (O) tại E . Chứng minh:
a) Tứ giỏc ABCD nội tiếp , CA phõn giỏc gúc SBC b) AB ,EM,CD đồng quy
c) DM phõn giỏc góc ADE d) M là tõm đờng tròn nội tiếp ∆ADE Bài 24 Cho ∆ABC vuụng tại A . Trờn cạnh AB lấy một điĨm D . (O) đ−ờng kính BD cắt BC tại E . Đờng thẳng CD , AE cắt (O) tại F , G . Chứng minh: a) ∆ABC ~ ∆EBD
www.mathvn.com 49 www.MATHVN.com
b) Tứ giác ADEC ,AFBC nội tiếp c) AC//FG d) AC,DE,BF đồng quy
Bài 25 Cho (O;3cm) tiếp xúc ngoài với (O;1cm) tại A . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B∈(O), C ∈
(O’)) .
a) Chứng minh ểOB=600 b) Tính BC
c) Tính diƯn tích phần giới hạn bởi tiếp tuyến BC và cỏc cung nhỏ AB , AC của hai đờng trũn
Bài 26 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC= 4cm và CB=9cm . Vẽ vỊ một phía cđa AB các nửa đờng trũn cú đờng kớnh là AB,AC,CB và cú tõm theo thứ tự là O,I,K. Đờng vuụng gúc với AB tại C cắt nửa đờng trũn (O) tại E , EA cắt (I) tại M , EB cắt (K) tại N . Chứng minh:
a) EC = MN b) MN là tiếp tun chung cđa (I) và (K) c) Tính MN d) Tính diƯn tích giới hạn bởi ba nưa đờng trũn
Bài 27 Cho (O) đờng kớnh AB = 2R và một điểm M di chuyển trờn nửa đờng trũn . Vẽ đờng trũn tâm E tiếp xúc với nửa đờng trũn (O) tại M và tiếp xỳc với AB tại N . MA , MB cắt (E) tại C , D . Chứng minh :
a) CD//AB b) MN phõn giỏcAMB; và MN luụn đi qua một điĨm cố
định K
c) Tích KM.KN khơng đổi d) Gọi CN cắt KB tại C, DN cắt AK tại D . Tỡm M để chu vi
∆NC’D’ nhỏ nhất
Bài 28 Cho ∆ABC vuụng tại A , đờng cao AH . Đờng trũn đờng kớnh AH cắt cỏc cạnh AB , AC lần lợt tại E , F , đờng thẳng qua A vuụng gúc với EF cắt BC tại I . Chứng minh:
a) Tứ giác AEHF là hỡnh chữ nhật b) AẸAB = AF.AC c) IB = IC d) Nếu diện tích ∆ABC gấp đụi diện tớch hỡnh chữ nhật AEHF thì ∆ABC vuụng cõn
Bài 29 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) , P là điểm chớnh giữa cung AB ( phần khụng chứa C,D) . Hai dây PC , PD cắt dõy AB tại E , F . Hai dõy AD , PC kộo dài cắt nhau tại I , dõy BC , PD kộo dài cắt nhau tại K . CM: a) CID = CKD b) Tứ giác CDFE , CIKD nội tiếp c)
IK//AB
d) PA là tiếp tuyến của đờng trũn ngoại tiếp ∆AFD
Bài 30 Cho hỡnh chữ nhật ABCD nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại C của đờng trũn cắt AB , AD kộo dài lần lợt tại E và F . Gọi M là trung điểm EF , tiếp tuyến tại B và D của (O) cắt EF lần lợt tại I , J . Chứng minh:
a) AB.AE = AD.AF b) AM⊥BD c) I , J là trung điểm CE , CF
d) Tớnh diện tớch phần hỡnh trũn đợc giới hạn bởi dõy AB và cung nhỏ AD biết AB = 6cm , AD = 6 3cm
Bài 31 Cho (O;R) và (O;2R) tiếp xỳc trong tại A . Qua A kẻ 2 cỏt tuyến AMN và APQ với M , P thuộc (O) ,với NQ thc (O’) . Tia O’M cắt (O’) tại S , gọi H là trực tõm ∆SAO’ . Chứng minh:
500 bài tốn ơn thi vào lớp 10
www.mathvn.com 50 www.MATHVN.com
a) O’∈(O) b) Tứ giác SHO’N nội tiếp c) NQ = 2MP Bài 32 Cho 1/2(O;R) đờng kớnh AB và 1 điểm M bất kỡ ∈1/2(O) ( M khỏc A và B) đờng thẳng d tiếp xúc với 1/2(O) tại M cắt đờng trung trực của AB tại I . (I) tiếp xỳc với AB và cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm trongBOM) Chứng minh: a) OC , OD là cỏc tia phõn giỏc AOM , BOM
b) CA⊥AB , DB⊥AB
c) AC.BD = R2 d) Tỡm vị trớ điểm M để tổng AC+BD nhỏ nhất ? Tớnh giỏ trị đú theo R
Bài 33 Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp trong đờng trũn đờng kớnh BD . Kộo dài AB và CD cắt nhau tại E ; CB và DA cắt nhau tại F . Gúc ABC = 1350 . Chứng minh: a) DB⊥EF b) BẠBE = BC.BF = BD.BG
c) B là tõm đờng trũn nội tiếp ∆ACG d) Tính AC theo BD
Bài 34 Cho ba điểm A,B,C trờn một đũng thẳng theo thứ tự ấy và một đờng thẳng d vuụng gúc với AC tại A . Vẽ dờng trũn đờng kớnh BC và trờn đú lấy một điểm M bất kỳ . Tia CM cắt d tại D . Tia AM cắt (O) tại điểm thứ hai là N ; Tia DB cắt (O) tại điểm th− hai là P : Chứng minh:
a) Tứ giác ABMD nội tiếp b) Tích CM.CD khơng phụ thuộc vào vị trớ M
c) Tứ giỏc APND là hỡnh gỡ ? tại sao ? d) Trọng tâm G cđa ∆MAC chạy trờn 1 đờng trũn cố định
Bài 35 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O) . Từ B và C kẻ hai tiếp tuyến với (O) chỳng cắt nhau tại D . Từ D kẻ cỏt tuyến // với AB cắt (O) tại E , F và cắt AC tại I . Chứng minh:
a) DOC = BAC b) Bốn điĨm O,C,I,D ∈ một đờng trũn c) IE = IF d) Cho BC cố định , khi A di chuyển trờn cung lớn BC thỡ I di chuyển trờn đờng nào ?
Bài 36 Cho tam giỏc ∆ABC vuông cõn tại C , E là một điểm tuỳ ý trờn cạnh BC . Qua B kẻ một tia vuụng gúc với AE tại H và cắt tia AC tại K . Chứng minh: a) Tứ giác BHCK nội tiếp b) KC.KA = KH.KB
c) TínhCHK d) Khi E di chuyển trờn cạnh BC thỡ BBC+AAH khụng
đổi
Bài 37 Cho (O) dõy AB . Gọi M là điểm chớnh giữa cung nhỏ AB và C là một điểm nằm giữa đoạn AB . Tia MC cắt (O) tại điểm thứ hai D . Chứng minh: a) MA2= MC.MD
b) BM.BD = BC.MD c) MB là tiếp tuyến của đờng trũn ngoại tiếp ∆BCD
d) Tỉng hai bán kính của hai đờng trũn ngoại tiếp ∆BCD và ∆ACD không đỉi khi C di động trên đoạn AB
Bài 38 Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A,B . Trờn nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax , By vuụng gúc với AB và lần lợt trờn hai tia đó lấy hai điểm C,D sao cho AC.BD = AP.PB (1) . Gọi M là hỡnh chiếu của P trờn CD . CM: a) ∆ACP ~ ∆BPD
www.mathvn.com 51 www.MATHVN.com
b) CPD= 900 từ đú suy ra cỏch dựng hai điểm C,D c) AMB= 900
d) Điểm M chạy trờn nửa đờng trũn cố định khi C,D lần lợt di động trờn Ax,By nhng vẫn thoả mãn(1)
Bài 39 Cho ∆ABC vuông ở C và BC< CA . Lấy điểm I trờn đoạn AB sao cho IB < IA . Kẻ đờng thẳng d đi qua vng góc với AB , d cắt AC ở F và cắt BC ở E . M là điểm đối xứng với B qua I . Chứng minh :
a) ∆IME ~ ∆IFA ; IẸIF = IẠIB b) Đờng trũn ngoại tiếp CEF cắt AE ở N . Chứng minh B,F,N thẳng hàng
c) Cho A, B cố định sao cho ACB = 900 CM : tõm đờng trũn ngoại tiếp FAE chạy trờn một đờng cố định
Bài 40 Cho (O1) ,(O2) tiếp xỳc ngoài tại A . Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B , C . Gọi M là trung điểm BC , tia BA cắt (O2) tại D , CA cắt (O1) tại E Chứng minh :
a) ∆ABC vuông b) AM là tiếp tuyến chung của hai đờng trũn c)
1 2
O MO =900 d) S∆ADE = S∆ABC
Bài 41 Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đờng trũn . Từ một điểm M chuyển động trờn đờng thẳng d vuụng gúc với OA tại A , vẽ cỏc tiếp tuyến MP , MPvới đờng trũn . Dõy PP cắt OM tại N , cắt OA tại B . Chứng minh :
a) Tứ giác MPOP’ , MNBA nội tiếp b) OOB = OM.ON khụng đổi c) Khi điĨm M di chuyển trờn d thỡ tõm đờng trũn nội tiếp ∆MPP di chuyển trờn đờng nào ? d) Cho PMP'=600 và R=8cm tính diƯn tích tứ giỏc MPOP và hỡnh quạt POP
Bài 42 Cho 1/2(O;R) đờng kớnh AB và 1 điểm M bất kỡ ∈1/2(O) ( M khác A và B) . Kẻ hai tiếp tun Ax và By với 1/2(O) . Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với 1/2(O) cắt Ax và By tại C và D , OC cắt AM tại E , OD cắt BM tại F , AC = 4cm , BD = 9cm . Chứng minh : a) CD = AC+BD ; COD =
900 b) AC.BD = R2
c) EF = R d) Tính R ; sinMBA ; tgMCO
e) Tỡm vị trớ của M để diện tớch tứ giác ACDB nhỏ nhất
Bài 43 Cho ∆ ABC cõn tại A (gúc A < 900 ) nội tiếp (O) . Một điĨm M tuỳ ý trên cung nhỏ AC . Tia Bx vuụng gúc với AM cắt tia CM tại D . Chứng minh :
a) AMD = ABC b) ∆BMD cân