3 CÁC HỢP ĐỒNG CHUYỂN ĐỔI GIÁ (QUANTO) TRONG
3.3 Các sản phẩm tài chính buôn bán được
Có 3 loại tài sản tài chính buôn bán được:
Loại 1: Giá trị tính theo đô la của một trái phiếu tiền mặt bảng Anh𝐶𝑡.𝐷𝑡
Loại 2: Giá trị tính theo đô la của một cổ phiếu có mệnh giá ghi theo bảng Anh 𝐶𝑡.𝑆𝑡
Loại 3: Một đơn vị tiền tệ cơ bản tính theo đô la, ở đây một trái phiếu tiền mặt có mệnh giá ghi theo đơn vị tiền tệ cơ bản mà tính theo đô la là 𝐵𝑡.
Giá trị đã chiết khấu theo đơn vị tiền tệ cơ bản của 2 tài sản ban đầu là:
𝑌𝑡 =𝐵𝑡−1.𝐶𝑡.𝐷𝑡 và 𝑍𝑡=𝐵𝑡−1.𝐶𝑡.𝑆𝑡
Áp dụng công thức Itô nhiều chiều ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên
𝑑𝑌𝑡=𝑌𝑡 ( 𝜌𝜎2𝑑𝑊1(𝑡) +√ 1−𝜌2𝜎2𝑑𝑊2(𝑡) + ( 𝜐+ 1 2𝜎 2 2 +𝑢−𝑟 ) 𝑑𝑡 ) (3.1) 𝑑𝑍𝑡 =𝑍𝑡 [ (𝜎1+𝜌𝜎2)𝑑𝑊1(𝑡) +√ 1−𝜌2𝜎2𝑑𝑊2(𝑡) + ( 𝜇+𝜐+ 1 2𝜎 2 2+𝜌𝜎1𝜎2+ 1 2𝜎 2 2 −𝑟 ) 𝑑𝑡 ] (3.2) Ta tìm một phép biến đổi độ đo để làm 𝑌𝑡, 𝑍𝑡 trở thành martingale. Chọn
𝛾(𝑡) = (𝛾1(𝑡);𝛾2(𝑡)) sao cho ⎛ ⎝𝛾1(𝑡) 𝛾2(𝑡) ⎞ ⎠= ⎛ ⎝ 𝜌𝜎2 √ 1−𝜌2𝜎2 𝜎1+𝜌𝜎2 √ 1−𝜌2𝜎2 ⎞ ⎠ −1⎛ ⎝ 𝜐+ 1 2𝜎 2 2 +𝑢−𝑟 𝜇+𝜐+ 1 2𝜎 2 1+𝜌𝜎1𝜎2+ 1 2𝜎 2 2 −𝑟 ⎞ ⎠ (3.3) Tức là 𝛾1 = 𝜇+ 1 2𝜎2 1+𝜌𝜎1𝜎2−𝑢 𝜎1 𝛾2 = 𝜐+ 1 2𝜎22+𝑢−𝑟−𝜌𝜎1𝜎2 𝜎2√ 1−𝜌2 (3.4)
Khi đó độ đo 𝑄 có thể viết 𝑆𝑡, 𝐶𝑡 dưới dạng
𝑆𝑡 =𝑆0exp [ 𝜎1𝑊˜1(𝑡) +(𝑥−𝜌𝜎1𝜎2+ 1 2𝜎 2 1 ) 𝑡 ] (3.5)
𝐶𝑡 =𝐶0exp [ 𝜌𝜎2𝑊1˜ (𝑡) +𝜎2√1−𝜌2𝑊2˜ (𝑡) +(𝑟−𝑢− 1 2𝜎 2 2 ) 𝑡 ] (3.6) trong đó 𝑊˜1,𝑊˜2 là các chuyển động Brown.
˜ 𝑊𝑖(𝑡) = 𝑊𝑖(𝑡) + ∫ 𝑡 0 𝛾𝑖(𝑠)𝑑𝑠 𝑖= 1,2 (3.7) 3.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto
Để định giá của một hợp đồng ký kết trước ta sẽ biểu diễn lại giá của cổ phiếu tại thời điểm 𝑇
𝑆𝑇 = exp (−𝜌𝜎1𝜎2𝑇)𝐹.exp ( 𝜎1√𝑇 .𝑍− 1 2𝜎 2 1.𝑇 ) (3.8) ở đây 𝐹 là giá trị định trước 𝑆𝑇 cổ phiếu tính theo tiền nội tệ, 𝐹 =𝑆0.𝑒𝑢𝑇, 𝑍 là một biến ngẫu nhiên chuẩn 𝑁(0,1) dưới độ đo 𝑄.
Khi đó giá của hợp đồng ký kết trước tính theo đô la tại 𝑡 = 0 là
𝑉0=𝑒−𝑟𝑇.𝐸𝑄(𝑆𝑇 −𝐾) = 𝑒−𝑟𝑇(exp(−𝜌𝜎1𝜎2𝑇)𝐹 −𝐾) (3.9) Để cho giá trị này bằng 0. Đặt
𝐾 =𝐹.exp(−𝜌𝜎1𝜎2𝑇) (3.10)
trường hợp đó không giống với giá hợp đồng ký kết trước𝐹 tính theo bảng Anh. Vì 𝜎1 > 0, 𝜎2 > 0 nên giá của hợp đồng ký kết trước Quanto lớn hơn giá hợp đồng ký kết trước thông thường khi và chỉ khi tương quan giữa giá cổ phiếu và tỷ giá hối đoái là âm. Giả sử giá của hợp đồng ký kết trước Quanto và giá của hợp đồng ký kết trước thông thường là như nhau 𝐹. Ta có thể xây dựng một phương án đầu tư tại thời điểm 𝑡 = 0 bằng cách.
∙ Mua vào 𝐶0.exp[(𝑟−𝑥)𝑇] đơn vị hợp đồng ký kết trước Quanto có giá định trước 𝐹.
∙ Bán ra một đơn vị hợp đồng ký kết trước bằng bảng Anh bình thường có giá thực thi 𝐹.
Nếu giả sử giá định trước Quanto là𝐹 thì phương án đầu tư này sẽ như thế nào. Tại thời điểm 𝑇, chiến lược đáp ứng tĩnh sẽ tạo ra số tiền (đô la) là
𝐶0exp [(𝑟−𝑢)𝑇].(𝑆𝑇−𝐹)−𝐶𝑇(𝑆𝑇−𝐹) = [𝐶0.exp ((𝑟−𝑢)𝑇)−𝐺] (𝑆𝑇−𝐹) (3.11) Với 𝐶0exp [(𝑟−𝑢)𝑇] là tỉ giá hối đoái định trước đối với 𝐶𝑇
Nếu giá cổ phiếu kết thúc cao hơn giá định trước của nó và tỉ giá hối đoái thấp hơn giá định trước của nó thì giá trị của phương án đầu tư này sẽ là dương. Nếu giá cổ phiếu kết thúc thấp hơn 𝐹 và tỉ giá hối đoái lại cao hơn giá định trước của nó thì giá trị của phương án đầu tư vẫn dương. Với 𝜌 <0thì giá định trước Quan to phải lớn hơn 𝐹.
3.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa)
Hợp đồng nhị phân𝐼(𝑆𝑇 > 𝑘)có giá trị tính theo đô la là𝑉0 =𝑒−𝑟𝑇.𝑄(𝑆𝑇 > 𝑘)
hoặc nếu ta viết 𝐹𝑄 =𝐹.exp(−𝜌𝜎1𝜎2𝑇) là giá định trước Quanto thì
𝑉0=𝑒−𝑟𝑇.Φ Ã ln𝐹𝑄 𝑘 − 12𝜎2 2𝑇 𝜎1.√𝑇 ) Ta sẽ ngạc nhiên về số hạng exp(−𝜌𝜎1𝜎2𝑇) và chắc chắn rằng 𝑆𝑇 > 𝑘 là độc lập với quyền chọn được chi phối bởi đồng bảng Anh hay đồng đô la. Thực ra chính là các chiến lược đáp ứng chứ không phải kỳ vọng theo𝑃 đã định nên giá quyền chọn.
3.6 Bảo hộ trái phiếu
3.6.1 Tình huống và biện pháp
Bảo hộ giá thực chất là một loại hình bảo hiểm, là một phương tiện để giảm thiểu tối đa những rủi ro tài chính.Người ta bảo hộ giá cho cổ phiếu, trái phiếu, lãi suất, hàng hoá và các hợp đồng có kì hạn.Bảo hộ giá cũng có nghĩa là hạn chế rủi ro.
Giả sử một trái phiếu sẽ được thu hồi tại thời điểm đáo hạn 𝑡 =𝑇 với giá là
𝑄đồng ngoại tệ. Để bảo hộ giá bạn tham gia vào một hợp đồng kí kết trước đáo hạn tại 𝑇, theo đó bạn phải trả cho phía đối tác một số tiền là𝑄 đồng ngoại tệ và nhận về mình số tiền là:
𝐷=𝑆0𝑒(𝑅𝐷−𝑅𝐹).𝑄 đồng nội tệ trong đó
𝑆0 đơn vị tiền nội tệ = 1 đơn vị tiền ngoại tệ ( giá tại chỗ tại thời điểm 𝑡= 0)
𝑅𝐷 là lãi suất không rủi ro trong nước
𝑅𝐹 là lãi suất không rủi ro ở nước ngoài
Ta thấy phương pháp này có vẻ đơn giản nhưng thực ra trong thực hành quá trình bảo hộ giá diễn ra phức tạp hơn nhiều. Thay vì tham gia vào một hợp đồng kí kết trước trong khoảng thời gian là[0, 𝑇], bạn có thể muốn sử dụng nhiều khoảng thời gian nhỏ hơn.
3.6.2 Bảo hộ giá bằng các “ Bảo đảm lãi suất bị chặn”
Bảo đảm lãi suất bị chặn: Là một thoả hiệp tín dụng hai chiều bảo vệ cả cho người cho vay và đi vay tránh được biến động lãi suất thị trường.
Thoả hiệp này bao gồm mức thấp nhất và mức cao nhất Thoả hiệp này đảm bảo cho:
Đối với người cho vay, lãi suất không xuống thấp hơn mức sàn. Đối với người vay, lãi suất không cao hơn mức trần, dù cho lãi suất của thị trường có tăng nhanh đi nữa.
Bảo hộ giá bằng một thoả hiệp “ lãi suất bị chặn”: Để bảo hộ giá một cổ phiếu theo cách này thì người mua phải mua vào một hợp đồng Quyền chọn bán theo giá hiện hành và bán đi một hợp đồng Quyền chọn mua không có lời.Đặc biệt là số tiền thu được do bán Quyền mua sẽ đủ trang trải cho việc mua Quyền bán, không phải đòi hỏi thêm tiền của nhà đầu tư nữa.Nếu chứng khoán bị rớt giá, nhà đầu tư sẽ được bảo vệ, nếu chứng khoán tăng giá thì nhà đầu tư thực thi Quyền bán do đó vẫn có lời.
3.6.3 Bảo hộ giá bằng biện pháp “ Mua bán cổ phần cặpđôi” đôi”
Giả sử hai công ty A và B là hai công ty chuyên sản xuất đồ may mặc trong đó A là công ty may siêu lợi nhuận còn B là công ty may có rủi ro.Tên của công ty đã phản ánh tính chất của các công ty đó.Người ta mua vào 100 cổ phiếu của công ty A và bán đi một số cổ phiếu của công ty B với một số tiền bằng với số tiền đã mua cổ phiếu của công ty A.
Nếu nền kinh tế tăng trưởng thì cả hai loại cổ phiếu này đều có giá nhưng A tăng mạnh hơn B. Nếu nền kinh tế suy giảm, cả hai chứng khoán đều bị sụt giá, nhưng B giảm nhanh hơn A. Tình huống cũng như vậy xảy ra khi xảy ra sự đột biến ngoại lai hoặc nội tại tác động lên vị trí sản xuất hàng may mặc của hai công ty này trên thị trường. Như vậy dù tương lai thế nào thì công ty A vượt trội công ty B.
Thoạt nhìn, người ta thấy cung cách này có vẻ là đúng, do đó người ta không thể bị mất tiền. Điều đó đúng, nhưng nếu thị trường phát triển khả quan thì người ta có thể làm tốt hơn nữa nếu chỉ mua cổ phiếu của công ty A mà không mua cổ phiếu của công ty B.Vậy người ta bỏ qua lợi nhuận do B mang lại để bảo vệ mình khỏi khả năng thua lỗ.
3.6.4 Bảo hộ giá bằng hợp đồng quyền chọn
Trường hợp mua chứng khoán và bán hợp đồng Quyền Chọn Mua
Người ta bán hợp đồng Quyền Chọn Mua có bảo kê nhằm giảm rủi ro khi giá chứng khoán cơ sở giảm bằng cách bù lại bằng phí mua quyền chọn mà người bán nhận được khi bán hợp đồng quyền chọn mua và trong trường hợp hợp đồng mua được thực hiện, người bán sẽ lấy chứng khoán đang có trong tay để giao.
Trường hợp mua chứng khoán và mua hợp đồng Quyền Chọn Bán
Nếu nhà đầu tư có chứng khoán, ông ta có thể bảo hộ rủi ro giá chứng khoán bằng cách mua những hợp đồng bán theo giá đã mua chứng khoán. Vì thế chứng khoán có trong tay sẽ được bảo hộ khi giá chứng khoán giảm, lúc đó họ sẽ thực
hiện hợp đồng bán để bù đắp lại.
Trường hợp bán khống chứng khoán và mua hợp đồng Quyền Chọn Mua
Đây là hình thức bảo đảm để bảo hộ vị thế bán khống chứng khoán. Tức là nhà đầu tư mua hợp đồng mua để giới hạn rủi ro về sự chênh lệch giữa giá điểm của hợp đồng quyền chọn mua và giá chứng khoán mà anh ta đã vay mượn. Việc mua quyền chọn sẽ giảm toàn bộ tiềm năng lợi nhuận của việc bán khống vì phải trả phí mua quyền chọn.
Trường hợp bán khống chứng khoán và bán hợp đồng Quyền Chọn Bán
Nhà đầu tư bán hợp đồng bán để bảo vệ một phần vị thế bán khống của mình. Nếu giá chứng khoán tăng, nhà đầu tư sẽ dùng số phí mua quyền chọn đã nhận được (do bán hợp đồng bán) để bù đắp lại một phần thua lỗ
3.6.5 Bảo hộ tương quan
Diễn biến của một số chứng khoán trên thị trường thì có tương quan tương đối với nhau, và đối với một số chứng khoán khác thì các diễn biễn có thể tương quan âm với nhau. Người ta tận dụng thông tin này để xây dựng các phương án đầu tư sao cho làm giảm áp lực của thị trường lên việc đầu tư đến một mức độ mong muốn.
3.6.6 Định nghĩa và lựa chọn
(a) Một ngoại tệ được gọi là loại tiền cao giá nếu lãi suất của nó thấp hơn lãi suất của đồng tiền nội tệ.
(b) Một ngoại tệ được gọi là loại tiền thấp giá nếu lãi suất của nó cao hơn lãi suất của đồng tiền nội tệ.
Trong hai biện pháp bảo hộ: một là bảo hộ bằng hợp đồng kí kết trước dài hạn, và một là một loạt các bảo hộ ngắn hạn liên tiếp thì người ta thường ưa thích biện pháp nào?
Ta có bảng kết luận sau đây:
Tiền cao giá Tiền thấp giá Chênh lệch ít Dài hạn tốt hơn Ngắn hạn tốt hơn Chênh lệch nhiều Ngắn hạn tốt hơn Dài hạn tốt hơn
Để kiểm tra bảng đó, chẳng hạn ta lấy yếu tố ở góc trên bên trái. Nếu chênh lệch ít thì số hạng𝑅𝐷−𝑅𝐹 <0 nhưng về trị số tuyệt đối thì số hạng đó còn nhỏ hơn giá trị mà bạn sẽ phải trả cho mỗi lần chuyển từ bảo hộ ngắn hạn này sang bảo hộ ngắn hạn khác.
3.6.7 Vấn đề bảo hộ
Đối với các hợp đồng về Quyền Chọn tiền tệ, nên bảo hộ hay không nên bảo hộ? và nếu bảo hộ thì mức độ như thế nào thì ngày nay vẫn còn nhiều tranh cãi về vấn đề này. Nhưng dường như người ta đã nhất trí rằng đối với các nhà đầu tư có thu nhập cố định, thì phải tiến hành bảo hộ giá. Các tác giả Fisher Black và Andre’ Perold và Evan Schulman đã từng khảo cứu về vấn đề này. Với các tài sản cơ sở và các chỉ số chứng khoán thì tình hình kém rõ ràng hơn.
PHỤ LỤC
Phần phụ lục này dành để nêu một số khái niệm cơ bản về xác suất để thuận lợi cho việc theo dõi luận văn.
1. Khái niệm về không gian xác suất
Cho (Ω,ℱ, 𝑃) là một không gian xác suất, tức một bộ ba gồm
∙ Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử 𝜔 ∈ Ω đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi một tập con của Ω gồm một yếu tố ngẫu nhiên nào đó.
∙ ℱ là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm được và phép lấy phần bù hay ℱ là một 𝜎 trường các tập con của Ω, mỗi tập hợp 𝐴∈ ℱ sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
∙ 𝑃 là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω,ℱ)
2. Không gian xác suất được lọc
∗ Cho (Ω,ℱ, 𝑃) là một không gian xác suất.
Một họ các 𝜎− trường conℱ𝑡 ⊂ ℱ được gọi là bộ lọc, thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu.
(i) Đó là một họ tăng tức là ℱ𝑠 ⊂ ℱ𝑡 nếu𝑠 < 𝑡
(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là ℱ𝑡 = ∩
𝜀>0
(iii) Mọi tập 𝑃−bỏ qua được 𝐴∈ ℱ đều được chứa trong ℱ0 (do đó nằm trong mọi ℱ )
∗ Một không gian xác suất (Ω,ℱ, 𝑃) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc (ℱ)𝑡 được gọi là một không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (Ω,ℱ,(ℱ𝑡), 𝑃)
3. Kỳ vọng có điều kiện
3.1. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một 𝜎−trường
Khi đó, một biến ngẫu nhiên 𝑋∗ sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của 𝑋
đối với 𝜎− trường 𝒢, nếu:
∙ 𝑋∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với 𝒢 ∙ Với mọi tập 𝐴∈ 𝒢 thì ta có ∫ 𝐴 𝑋∗𝑑𝑃 = ∫ 𝐴 𝑋𝑑𝑃
Biến ngẫu nhiên 𝑋∗ này sẽ được ký hiệu là 𝐸(𝑋∣𝒢). Ta chú ý rằng kỳ vọng có điều kiện 𝐸(𝑋∣𝒢) là một biến ngẫu nhiên.
(b) Nếu ta chọn 𝜎−trường 𝒢 là 𝜎−trường sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên 𝑌
nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của 𝑋 lấy đối với 𝜎(𝑌) cũng được ký hiệu là 𝐸(𝑋∣𝑌).
3.2. Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện (1) Nếu 𝒢 là 𝜎−trường tầm thường {𝜙,Ω} thì
𝐸(𝑋∣𝒢) =𝐸𝑋
(2) Nếu 𝑋 và 𝑌 là 2 biến ngẫu nhiên thì
𝐸(𝑋+𝑌∣𝒢) = 𝐸(𝑋∣𝒢) +𝐸(𝑌∣𝒢)
(3) Nếu 𝑋 là đo được đối với 𝒢 thì
(4) Nếu 𝒢1 ⊂ 𝒢2 thì
𝐸(𝐸(𝑋∣𝒢2)∣𝒢1) = 𝐸(𝑋∣𝒢1)
Nói riêng
𝐸(𝐸(𝑋∣𝒢)) =𝐸𝑋
(5) Nếu 𝑋 độc lập đối với 𝒢 thì
𝐸(𝑋∣𝒢) =𝐸𝑋
(6) Nếu 𝒢 và ℋ là hai 𝜎−trường con của ℱ và độc lập với nhau và 𝑋 là biến ngẫu nhiên độc lập đối với 𝒢 thì
𝐸(𝑋∣𝜎(𝒢,ℋ)) =𝐸(𝑋∣ℋ)
trong đó 𝜎(𝒢,ℋ) là 𝜎−trường nhỏ nhất chứa cả𝒢 lẫn ℋ
(7) Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện.
Nếu 𝑔(𝑥) là một hàm lồi trên tập 𝕀⊂ ℝ và nếu 𝑋 là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên 𝐼 thì
𝑔(𝐸(𝑋∣𝒢))≤𝐸(𝑔(𝑋)∣𝒢)
(8) Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện. Nếu 0≤𝑋𝑛 và 𝑋𝑛 ↑ 𝑋 với 𝐸∣𝑋∣<∞ thì
𝐸(𝑋𝑛∣𝒢)↑𝐸(𝑋∣𝒢)
(9) Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu 0≤𝑋𝑛 thì 𝐸 ( lim 𝑛 inf𝑋𝑛∣𝒢 ) ≤lim 𝑛 inf𝐸(𝑋𝑛∣𝒢)
(10) Sự hội tụ chặt đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu lim
𝑛→∞𝑋𝑛 =𝑋 hầu chắc chắn và 𝑋𝑛 ≤𝑌 với 𝐸𝑌 <∞ thì
lim
(11) Cho 𝑋 và𝑌 là hai biến ngẫu nhiên độc lập và𝜙(𝑥, 𝑦) là một hàm hai biến sao cho 𝐸∣𝜙(𝑋, 𝑌)∣<∞. Khi đó
𝐸(𝜙(𝑋, 𝑌)∣𝑌) = 𝐸(𝜙(𝑋, 𝑌))
4. Martingale
4.1. Định nghĩa
Cho một quá trình ngẫu nhiên 𝑋 = (𝑋𝑡, 𝑡 ≥0) thích nghi với bộ lọc (ℱ𝑡) và khả tích: 𝐸∣𝑋𝑡∣<∞ với mọi 𝑡≥0, giả sử 𝑠, 𝑡 là hai giá trị dương, 𝑠≤𝑡
Khi đó
∙ Nếu 𝐸(𝑋𝑡∣ℱ𝑠)≤𝑋𝑠 thì 𝑋𝑡 được gọi là martingale trên.
∙ Nếu 𝐸(𝑋𝑡∣ℱ𝑠)≥𝑋𝑠 thì 𝑋𝑡 được gọi là martingale dưới.
∙ Nếu 𝐸(𝑋𝑡∣ℱ𝑠) =𝑋𝑠 thì 𝑋𝑡 là martingale đối với bộ lọc ℱ.
Khi không nói bộ lọc nào thì ta hiểu (ℱ𝑡) là bộ lọc tự nhiên của (𝑋𝑡)
4.2. Ứng dụng của lý thuyết martingale trong toán học tài chính
Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu 𝑆𝑡, giá trái phiếu 𝐵𝑡) cũng như giá các tài sản phái sinh (như giá Quyền Chọn 𝑉𝑡 ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung, chúng không phải là những Martingale đối với một trừơng thông tin (𝐹𝑡) đang xét.
Giả sử 𝑋𝑡 là giá của một tài sản tại thời điểm 𝑡 mà ta cần xác định. Nói