Tính chính quy

Mệnh đề sau đóng vai trò quan trọng trong chứng minh định lý.

Cho ϕ(t, x, y) là một hàm không âm trên [0; 1]ìRⁿìRⁿ, nửa liên tục d-ới theo (x, y), và ϕ(t, x(t), y(t)) là đo đ-ợc, nếu x(t) liên tục, y(t) đo đ-ợc và

ϕ(t, x∗(t),x˙∗(t)) = 0h.k.n. Khi đó, ta nói ϕ(t, x(t), y(t))là hàm thử cho x∗(.).

Mệnh đề 3.2.1. [5] Giả sử rằng (H1)−(H3) đ-ợc thoả mãn.

Giả sử ϕ(t, x, y) là hàm thử cho x∗(.). Nếu x∗(.) là một cực tiểu địa ph-ơng trong (P1) thì một trong hai mệnh đề sau là đúng.

i) ( Tính chính quy) Có một số N >0 sao cho hàm

M(x(.)) =l(x(0), x(1)) +N

Z 1 0

ϕ(t, x(t),x˙(t))dt+ρ (x(0), x(1)), S

đạt cực tiểu địa ph-ơng tại x∗(.)∈W1 1.

ii) Hoặc có một dãy {xk(.)} hội tụ về x∗(.) trong W1

1 sao cho với bất kỳ

k= 1,2, ..., hàm

Mk(x(.)) =R1

0 ϕ(t, x(t),x˙(t))dt+ρ (x(0), x(1)), S

+k−1kx(.)−xk(.)k₁.1

đạt cực tiểu địa ph-ơng trong W1

1 tại xk(.) và hoặc (xk(0), xk(1)) ∈/ S hoặc

˙

xk(t)∈/ F(t, xk(t)) trên một tập có độ đo d-ơng.

Chứng minh. Lấy Φ là tập các hàm thoả các ràng buộc của bài toán (P1), tức là tập những x(.)∈W1

1 sao cho x˙(t)∈F(t, x(t))hầu khắp nơi và x(0), x(1)

∈S. Tr-ớc hết giả sử cóδ >0, C >0sao cho khoảng cách (trongW1

1) từ x(.)tớiΦlà không lớn hơnC R1

0 ϕ t, x(t),x˙(t)

dt+ρ (x(0), x(1)), S

khi kx(.)−x∗(.)k1.1 ≤δ.

Thì cho bất kỳ x(.) tuỳ ý đủ gần x∗(.), tồn tại một u(.)∈Φ sao cho

kx(.)−u(.)k1.1≤C Z 1 0 ϕ t, x(t),x˙(t) dt+ρ (x(0), x(1)), S . Mặc khác, do u(.)∈Φ, ta có l(x(0), x(1)) + 2rkx(.)−x∗(.)k1.1 =l(x(0), x(1)) +2Cr R1 0 ϕ t, x(t),x˙(t) dt+ρ (x(0), x(1)), S , =l(x(0), x(1)) +N R1 0 ϕ t, x(t),x˙(t) dt+ρ (x(0), x(1)), S , =M(x(.)), với N = 2Cr. Vì ϕ(t, x∗(t),x˙∗(t)) = 0 và (x∗(0), x∗(1)) ∈S nên M(x∗(.)) =l(x∗(0), x∗(1)).

Vậy ta có

l(x∗(0), x∗(1)) ≤l(u(0), u(1))≤l(x(0), x(1)) + 2rkx(.)−x∗(.)k1.1.

trong đó r là hằng số Lipschitz của l. Vậy khi lấy N = 2Cr thì ta có

M(x(.))≥l(u(0), u(1))≥M(x∗(.)).

Tức là x∗(.) là một cực tiểu tuyệt đối của M(x(.)).

Mặc khác nếu không cóδvàC thoả tính chất trên thì tồn tại một dãyuk(.)∈W1 1

hội tụ tới x∗(.) sao cho

0< ak=dist(uk(.),Φ)≥2k R1

0 ϕ(t, xk(t),x˙k(t))dt+ρ (uk(0), uk(1)), S

.

Chú ý rằng hàm ở vế phải là không âm và ak →0.

Theo nguyên lý biến phân Ekeland (áp dụng cho hàm trong dấu ngoặc đơn), ta tìm đ-ợc xk(.)∈W1

1 hội tụ tới x∗(.) sao cho kxk(.)−uk(.)k ≤ ^ak

2 và Mk(.) tồn tại một cực tiểu địa ph-ơng tại xk(.).

L-u ý rằng x∗(.) ∈/ Φ, điều này có nghĩa là xk(0), xk(1)

/

∈ S hoặc x˙k(t) ∈/ F(t, xk(t))trên một tập có độ đo d-ơng.

3.3

Chứng minh. Ta áp dụng Mệnh đề 3.2.1 với G(t, x, y) là một hàm thử. +) NếuG đều tại x∗(.) thì có mộtλ >0 sao cho x∗(.)∈W1

1 là một cực tiểu địa ph-ơng của phiếm hàm

J(x(.)) =λl x(0), x(1) +ρ (x(0), x(1)), S + Z 1 0 G t, x(t),x˙(t) dt. (3.47)

Theo Định lí 2.1.1, có một p(.) sao cho

   ˙ p(t)∈conv w: (w, p(t))∈∂G(t, x(t),x˙∗(t)) , G(t, x∗(t), y)−G(t, x∗(t),x˙∗(t))−p(t)(y−x˙∗(t))≥0 ∀y, p(0),−p(1) ∈λ∂l x∗(0), x∗(1) +∂ρ (x∗(0), x∗(1)), S . (3.48)

+) Nếu G không chính quy, thì theo Mệnh đề 3.2.1 có một dãy {xk(.)} hội tụ theo chuẩn tới x∗(.) trong W1

1 và sao cho mỗi hàm

Mk(x(.)) =ρ (x(0), x(1)), S +R1 0 G(t, x(t),x˙(t))dt+k−1kx(t)−xk(t)k1.1, =ρ (x(0), x(1)), S +R1 0 G(t, x(t),x˙(t))dt+k−1 |x(0)−xk(0)|+R1 0 |x˙(t)−x˙k(t)dt , =ρ (x(0), x(1)), S +R1 0 Gk(t, x(t),x˙(t))dt+k−1 |x(0)−xk(0)| , =ρ (x(0), x(1)), S +R1 0 Gk(t, x(t),x˙(t))dt+εk−1|xk(0)|,

đạt cực tiểu địa ph-ơng tạixk(.)∈ W1

1, và với bất kỳk ta có hoặc xk(0), xk(1)

/ ∈S

hoặc x˙k(t)∈/F t, xk(t)

trên một tập có độ đo d-ơng, trong đó

Gk(t, x, y) =G(t, x, y) +k−1|y−x˙k(t)|.

(Ta luôn giả thiết x˙k(t) hội tụ tới x˙∗(t)h.k.n).

Mỗi bài toán ứng với k nh- trên cũng thoả mãn các giả thiết của Định lí 2.1.1, trong lân cận nghiệm xk(t) của nó. Từ (H5) và áp dụng Mệnh đề 3.1.4 với

r(N) =k(t) +βN, ta tìm đ-ợc các hàm pk(.) sao cho ˙ pk(t)∈conv w: (w, p(t))∈∂G(t, xk(t),x˙k(t)) . G(t, xk(t), y)−G(t, xk(t),x˙k(t))−pk(t)(y−x˙k(t))≥0 ∀y. pk(0),−pk(1) ∈∂ρ (xk(0), xk(1)), S +k−1B. và hoặc max{|pk(0)|,|pk(1)|} = 1 nếu xk(0), xk(1)

/

∈ S, hoặc |pk(t)| = 1∀t thuộc tập có độ đo d-ơng trên đó x˙k(t)∈/F(t, xk(t))(do (3.46)).

Mặc khác, dãy pk(0), pk(1)

là bị chặn, và p˙k(t) ≤ k(t) +β|x˙(t)|. do (H5). Do vậy {pk(.)} là một dãy compact yếu. Theo định lý Mazur, tồn tại một dãy tổ hợp lồi qk(.) của pk(.) hội tụ theo chuẩn tới một pk(.) trong W1

1. Giả sử rằng ˙ qk(t)→p˙(t) h.k.n. Thì p(.) thoả mãn (3.48) với λ = 0. Chú ý rằng (w, p) ∈∂G t, xk(t),x˙k(t) =⇒ |w| ≤k(t) +β|x˙k(t)|.

Điều này cùng với tính chất nửa liên tục trên của giới hạn d-ới vi phân proximal và sự hội tụ đều của pk(.) suy ra

conv w: (w, p(t))∈∂G t, xk(t),x˙k(t) = ∞ \ m=1 conv w: (w, p)∈∂G t, xk(t),x˙k(t) , |p−p(t)| ≤ ¹ m ^.

Điều này cùng với (3.48) suy ra q˙k(t)→p˙(t)h.k.n.

Cuối cùng, hàm giới hạn p(t) không thể đồng nhất bằng 0 dopk(.) hội tụ đều tới p(.) và mỗi hàm này bằng 1 tại ít nhất một điểm.

Vì vậy, trong mỗi tr-ờng hợp, chúng có một cặp (λ, p(,)) không tầm th-ờng thoả mãn (3.48) , bao hàm Euler đ-ợc suy ra từ Mệnh đề 3.1.2 và (1.6). Nguyên lí cực đại suy ra từ Mệnh đề 3.1.3 và điều kiện cắt ngang trùng với kết luận thứ ba.

3.4

Trong phần này ta chứng minh nguyên lý cực đại Pontryagin cho chu trình mở lớp các bài toán điều khiển tối -u.

Xét họ _F của tr-ờng vectơ f(t, x) đ-ợc xác định trong ống

t∈[0; 1], x∈Γ(t) ={x:|x−x∗(t)|< ε}.

Giả sử rằng họ _F thoả mãn điều kiện phân tích đ-ợc sau.

(D) Nếu f1 ∈ F, f2 ∈F và 4 là một tập con đo đ-ợc của [0; 1], thì tr-ờng f

trùng với tr-ờng f1 khi t∈ 4, trùng với tr-ờng f2 khi t /∈ 4 và f ∈F. Hơn nữa ta giả sử rằng

(H5) Với mọi f ∈F là một hàm Caratheodory, tồn tại một hàm khả tích k(t)

(phụ thuộc vào f) thoả mãn bất đẳng thức

|f(t, x)−f(t, x0)| ≤k(t)|x−x0| ∀x, x0 ∈Γ(t).

Xét bài toán sau

(P2) :      min l(x(0), x(1)), với x˙(t)∈f(t, x), f ∈F, (x(0), x(1)) ∈S.

Định lý 3.4.1. [10] Giả thiết rằng các điều kiện (H1),(H2),(H5) và (D) đ-ợc thoả mãn. Nếu x∗(.) là một nghiệm của (P2) và f∗ là tr-ờng vectơ t-ơng ứng thì tồn tại λ ≥ 0 và p(.)∈ W1

1 sao cho λ > 0 hoặc p(.) không đồng nhất 0 và thoả mãn các điều kiện sau

−p(t)∈∂x p(t).f∗(t, x∗(t)) h.k.n, (3.49) p(t).f∗(t, x∗(t))≥ p(t).f(t, x∗(t))h.k.n, (3.50) p(0),−p(1) ∈λ∂l(x∗(0), x∗(1)) +N S,(x∗(0), x∗(1)) . (3.51)

Chứng minh. Lấy một chọn hữu hạn của các tr-ờng f 1, . . . , fk và một δ >0. Xét ánh xạ giá trị tập

F(t, x) =F(δ, f1, . . . , fk, t, x)

là hợp của f∗(t, x) và fi(t, x) với

điều này có đ-ợc bởi (H5), định nghĩa của _F thoả mãn điều kiện (H3) và (H5). Xét bài toán (P2) với F này.

Từ (D) suy rax∗(.)là một nghiệm của (P2). Vì vậy có thể áp dụng Định lý 3.1.1, khi đó tồn tại λ0 và p(.) không đồng thời bằng 0 thoả mãn

p(t).x˙∗(t) =H(t, x∗(t), p(t))h.k.n (3.52)

˙

p(t)∈conv{w: (w, p)∈N(graphF(t, .),(x∗,x˙∗)) (3.53)

(p(0),−p(1))∈λ∂l(x∗(0), x∗(1)) +N S,(x∗(0), x∗(1))

(3.54)

vớiF đã cho. Từ định nghĩa của F thìx∗(.) là một bộ điểm cô lập của F(t, x∗(t)). Do đó

N

graphF(t, .), x∗(t),x˙∗(t)

=N

graphf∗(t, .), x∗(t), f∗(t, x∗(t))

khi f∗(t, .) thoả mãn điều kiện Lipschitz gần x∗(t). Từ tính chất ∂( ˙p.S)(x) ={u : (u−p)∈N graphS,(x, y) suy ra (w, p)∈N graphf∗(t, .), x∗(t), f∗(t, x∗(t)) khi và chỉ khi −w∈∂ p.f∗(t, x∗(t)) , cùng với (3.53) suy ra (3.49). Mặc khác, theo Nguyên lý cực đại (3.52) suy ra

p(t).f∗(t, x∗(t))≥p(t).fi(t, x∗(t)), nếu |fi(t, x∗(t))−f∗(t, x∗(t))|> δ. (3.55)

Ký hiệu ^V(δ, f1, . . . , fk) là tập các (λ0, p(.)) thoả mãn (3.49), (3.51) và (3.55) cùng với điều kiện chuẩn hoá

λ0 ≥0, λ0+ max

0≤t≤1|p(t)|= 1

thì ^V(δ, f1, . . . , fk) là một họ lồng vào nhau các tập con compact yếu của _RìW1 1

khi kp˙(t)k ≤k∗(t)∈L1 với mọi ^V(δ, f1, . . . , fk) bởi (H5)

và sự chuẩn hoá là liên tục yếu trên các tập bị chặn. Do đó tồn tại(λ0, p(.))chung cho tất cả^V(δ, f1, . . . , fk).

Kết luận

Luận văn đã trình bày một số vấn đề chính sau.

1) Hệ thống một số kiến thức liên quan tới đề tài của luận văn và chứng minh công thức mờ của d-ới vi phân proximal.

2) Điều kiện cần cực trị cho bài toán Bolza tổng quát, nh- điều kiện Euler, điều kiện Weierstrass, điều kiện cắt ngang.

Để chứng minh các kết quả này, ta cần.

i) Xây dựng và chứng minh tính chất d-ới vi phân của hàm bao lồi. ii) Xét bài toán phụ - sự nới lỏng của bài toán Bolza tổng quát. iii) Nêu và chứng minh điều kiện cần cho bài toán phụ.

3) Chứng minh định lý ở 2).

4) Đ-a ra hai ví dụ minh hoạ cho kết quả chính.

5) Rút ra hệ quả về điều kiện cần cực trị và nguyên lý cực đại Pontryagin cho bài toán qui hoạch động.

Lời cảm ơn

Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn tận tình của Thầy TSKH - Huỳnh Văn Ngãi. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy, ng-ời đã chỉ dẫn những kinh nghiệm quí báu trong nghiên cứu khoa học và cung cấp những tài liệu quí giá để tôi hoàn thành luận văn này.

Nhân đây cho phép tôi đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn đến với tất cả quý thầy cô trong ban lãnh đạo tr-ờng Đại học Quy Nhơn, quý thầy cô trong Khoa Toán, Phòng đào tạo Đại học và sau đại học, Th- viện tr-ờng Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học khoá VIII đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học khoá VII, VIII, gia đình, ng-ời thân, tập thể giáo viên cùng ban giám hiệu tr-ờng THPT Thu Xà đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khoá học.

Mặc dù đã có nhiều kế hoạch và dự định nhằm thực hiện luận văn một cách tốt nhất. Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian và trình độ nên sự sai sót là khó tránh khỏi. Rất mong nhận đ-ợc sự thông cảm, góp ý của Thầy Cô và các bạn để tôi hoàn thiện, phát triển hơn nữa các kế hoạch đã đặt ra.

tài liệu tham khảo

[1] Đỗ Văn L-u, (1993), Giải tích Lipschitz, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật Hà Nội.

[2] Trần văn Trung (2004),” D-ới vi phân proximal trên không gian Hilbert và áp dụng”, Luận văn thạc sĩ toán.

[3] J. Borwein, D.Preiss: A smooth variational principle with application. Trans. Amer. Math. Soc 303, 517 - 527(1987).

[4] A.Ioffe and R. T. Rockafellar, The Euler and Weierstrass condition for non- smonth variational problems,preprint 1994.

[5] A. Ioffe, (1991) Euler - Lagrange and Hamiltoian in Dynamic Optimization (submitted),

[6] J. Jahn, (1996) Introduction to the theory of Nonlinear optimization, Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York.

[7] F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, R. J. Stern, P.R. Wolenski, (1998) Nonsmooth analysis and Control Theory, Springer - Verlag New York, Inc.

[8] A.D. Ioffe, V.M. Tihomirov, (1979), Theory of Extremal Problems, North- Holland Pubi Ishing Company.

[9] A.Ioffe : Proximal analysis and approximate subdifferentials. J.London Math. Soc. 41, 175 - 192(1990).

[10] B.Kaskosz and S. Lojasiewicz Jr. A maximum principle for generalized control systems, Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Appl. 9 (1985), 109 - 130.