Không mất tính tổng quát nh- trong định lý tr-ớc ta có thể giả sử x∗(t) ≡ 0. Cố định N >0, ε >0và lấy BN là hình cầu bán kính N tâm tại gốc trongRn. Đặt
Lε(t, x, y) =L(t, x, y) +ε|y|2. LNε(t, x, y) =Lε(t, x, y) +δ(y, BN). LNε(t, x, y) =convyLNε(t, x, y).
LNε là bao lồi của LNε đối với y. Bởi A3), LNε thoả mãn điều kiện (B)và (C), do vậy có thể áp dụng Định lý 2.2.1
Ta định nghĩa các phiếm hàm Jε, JNε và JNε bằng việc thay thế biểu thức tích phân trong định nghĩa củaJ bởi Lε, LNε, LNε t-ơng ứng. Rõ ràng, 0 là là một cực tiểu địa ph-ơng trong W1
1 của Jε và JNε. Do điều kiện của Định lý 2.2.6 là thoả mãn cho JN (với R(t)≡BN). Ta nhận đ-ợc
L(t,0,0) =LNε(t,0,0) =LNε(t,0,0)h.k.n, (2.36)
và 0 cũng là một cực tiểu địa ph-ơng của LNε trong W11. Hơn nữa chú ý rằng
LNε thoả mãn (A4) cũng nh- nó hữu hạn và lồi trên BN, thì hàm LNε(t, x,0) là Lipschitz địa ph-ơng tại mỗi y với kyk< N. áp dụng Định lý 2.2.8, ta tìm đ-ợc một hàm p(.)∈W1 1 sao cho ˙ p(t)∈conv{w: (w, p(t))∈∂LNε(t,0,0)}h.k.n, (2.37) và (p(0),−p(1)) ∈∂l(0,0). (2.38)
Tiếp theo, từ (2.36) và Bổ đề 2.2.7, 0 là điểm hiển lộ của LNε(t,0,0). Do đó bởi Hệ quả 2.2.2 cho mỗi w với (w, p(t))∈∂LNε(t,0,0) ta có
w∈conv{u: (u, p(t))∈∂LNε(t,0,0)}h.k.n, (2.39)
và
LNε(t,0, y)−LNε(t,0,0)− hp(t), yi ≥0.
Một cách t-ơng đ-ơng,
Rõ ràng
∂LNε(t,0,0) =∂Lε(t,0,0) do LNε(t, x, y) =Lε(t, x, y) gần 0.
Hơn nữa, Lε là tổng của L và một hàm trơn mà đạo hàm của nó là 0 tại 0. Do đó, tổng hợp từ (2.37), (2.39) ta nhận đ-ợc ˙ p(t)∈conv{w: (w, p(t))∈∂L(t,0,0)}. (2.41) Ký hiệu PNε là tập hợp các p(.)∈W1 1 thoả mãn (2.38), (2.40), (2.41). Rõ ràng PN0 ε0 ⊂PNε khi N0 > N, ε0 < ε. (2.42)
Từ (A3) và (2.41) tồn tại một hàm khả tích k(t) sao cho kwk ≤ k(t) khi
(w, p(t))∈ ∂L(t,0,0). Do đó {p˙(.) : p(.) ∈PNε} là một tập compact yếu trong L1
với mọiN, ε. Bây giờ dùng cùng lập luận nh- trong chứng minh của Định lý 2.2.8 thì {p(0) : p(.) ∈ PNε} phải bị chặn. Nếu |pν(0)| → ∞ cho một dãy pν(.) ∈ PNε, thì |pν(t)| → ∞ ∀t, vì tính compact yếu của các đạo hàm. Vì thế mâu thuẫn với (2.40).
Vì vậy, mỗi PNε là compact yếu t-ơng đối trong W1
1, nh-ng nó cũng là đóng yếu, (có thể chứng minh nh- trong chứng minh của Định lý 2.2.8 bằng cách dùng Bổ đề 2.2.10).
Do đó PNε là compact yếu và từ (2.42) ta suy ra
\
N,ε
PNε 6=∅.
Cho bất kỳ p(.) thuộc giao này thì (2.38), (2.39) là thoả mãn và (2.40) suy ra.
L(t,0, y)−L(t,0,0)− hp(t), yi ≥0, ∀y h.k.n trên [0,1].
Từ (2.39) suy ra khẳng định cuối của định lý. Từ (2.39) =⇒ (2.41) cho số N đủ nhỏ.