1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), Ab = 45o, các đường cao BE, CF.
a) Chứng minh rằng 5 điểm B, E, O, F, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Tứ giác BF OE là hình gì?
2. Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A và B, trong đó điểm O thuộc đường trịn (O0). Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn(O0) ởC và cắt đường tròn
(O) ở D. Chứng minh rằng tam giác CBD là tam giác cân.
3. Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (O) là đường tròn đi qua A và B. Từ C vẽ đường vng góc với OA, nó cắt đường trịn (O)tại Dvà E. Chứng minh
rằng các độ dài AD, AE không đổi.
4. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE
cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BH.BD+CH.CE =
BC2.
5. Tam giác ABC có Bb và Cb là các góc nhọn, đường cao
AH và trung tuyến AM khơng trùng nhau. Tính BAC[
biết rằng BAH\ =M AC\
6. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi (O)
là đường tròn tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc với AC
tại C. Gọi DE là một dây cung của đường tròn (O) đi qua H. Chứng minh rằng:
a) ADOE là tứ giác nội tiếp. b) \BAD=CAE[
7. Cho tam giácABC. Trên cạnhAC lấy điểmM, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN =CM. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N luôn đi qua một điểm cố định khác A.
8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O0, O, I theo thứ tự là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH, ABC. Chứng minh rằng:
a) AI⊥OO0
b) IO0.IB =IO.IC
c) Nếu tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC cố định thì đường vng góc kẻ từ A đến OO0 đi qua một điểm cố định.
9. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O
(AB > AC). Đường cao AD của tam giác cắt đường tròn tại K. Gọi F là điểm đối xứng của A qua O. Hạ OM⊥BC và kéo dài OM cắt đường tròn tại E. Đường
cao CK cắt đường cao AD tại H. Chứng minh rằng:
a) BEKC là hình thang cân và F K = 2M D
b) AE là phân giác của gócF AK
c) H và K đối xứng nhau qua BC.
d) H và F đối xứng nhau qua M. Suy ra AH = 2M O
10. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). GọiM là trung điểm BC. Trung trựcM x của BC cắt AC tại D.
a) Chứng minh: A, D, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh : BC2 = 2.CA.CD
c) Gọi E là điểm đối xứng của D qua A, gọi N là giao điểm của M A và BE. Chứng minh: BN =AC
11. Cho hai đường tròn tâm O và O0 tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài CD. Tiếp tuyến chung
tại A cắt CD tại B. Chứng minh rằng:
a) Đường tròn qua A, C, D tiếp xúc với OO0 tại A.
b) Đường tròn qua O, B, O0 tiếp xúcCD tại B.
12. Cho đường trịn tâm O đường kính AC và đường trịn tâm O0 đường kính CB tiếp xúc nhau tại B. Giả sử AC > BC. Lấy M là trung điểm của AB. Đường thẳng
qua M vng góc với AB cắt (O)tại D và E. Gọi I là giao điểm của CD với (O0) ( I khác C). Chứng minh
rằng:
a) B, I, E thẳng hàng.
b) M I là tiếp tuyến tạiI của đường tròn (O0)
13. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Đường trịn tâm K bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại L, với AB kéo dài tại M, vớiAC tại N. a) Chứng minh trung điểm P của BC cũng là trung điểm của LD
b) Gọi Q kà trung điểm của AD. Chứng minh P, I, Q
thẳng hàng.
14. *Cho tam giác nhọn ABC. Các đường caoAD, BE, CF
cắt nhau tại H.
a) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
DEF.
b) Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
ABC,p là nửa chu vi tam giác DEF. (a) Chứng minh OA⊥EF
15. Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâmO qua Acắt cạnh AB tại K, cắt cạnh BC tại N ( O ở miền trong
4ABC). Đường tròn tâmO1 quaA, B, C và đường tròn tâm O2 qua B, K, N cắt nhau tạiB và M.
a) Chứng minh BO1OO2 là hình bình hành.
b) Gọi I là giao điểm của O1O2 và BO. Chứng minh
rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BM O.
16. Tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120o. Lấy các cạnh của tam giác ABC làm cạnh, dựng ra phía ngồi tam giác các tam giác đều ABD, ACE, BCF.
a) Chứng minh rằng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác ấy cùng đi qua một điểm K.
b) Gọi M, N, P là tâm các đường trịn nói trên. Tam giác M N P là tam giác gì?
c) Chứng minh AF =BE =CD =KA+KB+KC
17. Cho hình thang cânABCD(AB//CD), điểmM thuộc đáy CD. Gọi (O) là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AD tại D. Gọi (O0) là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn (O)và (O0)cắt nhau tại E ( khác M). Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. b) Ba điểm E, M, B cùng thuộc một đường tròn. 18. Cho đường tròn (O), dây cung AB. Điểm M di chuyển
trên cung lớn AB. Vẽ hai đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A, (O2) qua M và tiếp xúc AB tại
B. Gọi N là giao điểm của (O1) và (O2), M N cắt (O)
tại P.
a) Tứ giác AN BP là hình gì? b) Xác định vị trí của
M để tứ giác AN BP có diện tích lớn nhất? Chu vi lớn nhất?
19. Cho hình vngABCDcó cạnh 1. ĐiểmM là một điểm thay đổi thuộc đường chéo BD. (I) là đường tròn tâm
M tiếp xúc với AD, CD. (K) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB, BC.
a) Chứng minh rằng tổng chu vi của hai đường trịn khơng đổi.
b) Tìm vị trí của M để tổng diện tích của hai đường tròn là nhỏ nhất.
20. Cho (O), dây AB. M là một điểm chuyển động trên cung lớn AB.H là hình chiếu củaM trênAB. GọiE, F
là hình chiếu của H trên M A, M B.
a) Chứng minh rằng đường thẳng d qua M và vng góc với EF ln qua một điểm cố định.
b)dcắtABtạiD. Chứng minh rằng: M A 2 M B2 = AH BH. AD BD
21. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). H là trung điểm của BC. I là hình chiếu của H trên AC. Đường trịn
đường kính AB cắt BI tại D. Chứng minh AD đi qua tâm HI.
22. Cho tam giác ABC cân tại A. D vàE là hai điểm thay đổi trên cạnh AB, AC sao choDE = DB+CE. Phân
giác DBE\ cắt BC tại lấy F thuộc đoạn DE sao cho
DF =BD.
a) Chứng minh IF EC là tứ giác nội tiếp. b) DI⊥EI
c) DI đi qua một điểm cố định.
23. Cho đường tròn (K), A là một điểm nằm ngoài (K).
Dựng hai tiếp tuyến AB, AC với (K). Một đường thay
đổi luôn tiếp xúc với (K)tại F (F thuộc cung nhỏ BC)
a) Chứng minh IDEJ là tức giác nội tiếp. b) IJ
DE không đổi.
24. Cho BC là dây cung cố định của (O). A là điểm trên cung lớnBCsao cho4ABCnhọn. Các đường caoBD, CE
của 4ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn(H;HA)cắt
AB, AC lần lượt tạiM, N. Chứng minh rằng: a) OA⊥DE
b) Đường thẳng qua A vng góc với M N đi qua điểm cố định.
c) Đường thẳng qua H vng góc với M N đi qua một điểm cố định.
25. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB. C là một điểm thuộc đoạn AB. Qua C vẽ CD vng góc AB
(D∈(O)). Đường trịn(I)tiếp xúc CD, AB và(O)tại
K, E, F.
a) Chứng minh F, K, B thẳng hàng. b) Chứng minh BE =DB.
26. Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O). Một đường
trịn (I) bất kì đi qua B, C và cắt cạnh AB, AC tại
M, N. Đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác AM N cắt
(O) tại D. Chứng minh rằng:
a) OA⊥M N
b) AKIO là hình bình hành. c) IDA[ = 90o
27. Cho đường trịn (O;R)đường kính BC. A là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn. AH là đường cao của tam giác ABC. Phân giác gócBAC[ cắt (O) tại K.
a) Đặt AH = x. Tính diện tích tam giác AHK theo
b) Chứng minh AH2+HK2 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A. c) Cho AH HK = r 3 5. TínhB.b