D N P(d2) P(E) P(D)-
P(E) S Z p-value Ý nghĩa 0 40.307 0,131 0,120 0,011 0,001 18,212 0,000 *** 1 34.629 0,112 0,114 -0,002 0,001 2,760 0,006 *** 2 33.527 0,109 0,109 0,000 0,001 0,132 0,895 3 31.117 0,101 0,104 -0,003 0,001 6,268 0,000 *** 4 30.824 0,100 0,100 0,000 0,001 0,613 0,540 5 30.298 0,098 0,097 0,002 0,001 2,971 0,003 *** 6 28.202 0,091 0,093 -0,002 0,001 3,651 0,000 *** 7 27.105 0,088 0,090 -0,002 0,001 4,772 0,000 *** 8 26.561 0,086 0,088 -0,001 0,001 2,807 0,005 *** 9 25.735 0,083 0,085 -0,002 0,000 3,066 0,002 ***
Xác suất của chữ số thứ hai d2 = 0, thuộc về các giá trị như 10, 20,…, 90, là quá cao. Giá trị Z ứng với d2 = 0 là 20,95, gấp 21 lần độ lệch chuẩn so với xác suất lý thuyết theo định luật Benford, do đó đương nhiên có p-value ý nghĩa ở mức ý nghĩa 1%. Chắc chắn có thể kết luận rằng các chữ số thứ hai bằng 0 xuất hiện quá nhiều so với xác suất lý thuyết theo định luật Benford.
Kết luận này có thể được quan sát ở Hình 4.3. Xác suất của d2 = 0 cao vượt lên đường đồ thị xác suất lý thuyết của định luật Benford là Prob(E). Hiển nhiên, tần suất của các chữ số còn lại phải thấp hơn so với lý thuyết để cân bằng tác động của chữ số 0. Ngoại trừ các chữ số 2 và 4, xác suất thực tế của các chữ số còn lại trong mẫu đều bị sai lệch so với xác suất lý thuyết ở mức ý nghĩa 1%.
Hình 4.3: So sánh phân phối xác suất thực tế chữ số thứ hai của mẫu và phân phối lý thuyết Nguồn: tính tốn của tác giả
Chữ số d2 = 5 có tần suất cao hơn so với định luật Benford, và chênh lệch này thậm chí có ý nghĩa ở mức 1% (p-value ~ 0). Hai chữ số 0 và 5 có tần suất xuất hiện cao hơn rất
nhiều so với các chữ số còn lại. Theo Carslaw (1988), Thomas (1989) và Kinnunen; Koskela (2003), đây là biểu hiện đặc trưng của việc doanh nghiệp đã tiến hành làm trịn giá trị kế tốn. Các giá trị như 44 hoặc 49 sẽ được làm trịn thành 45 hoặc 50, từ đó làm giảm đi xác suất của chữ số thứ hai là 4 và 9, đồng thời làm tăng xác suất của 5 và 0. Để tăng sự chắc chắn cho nhận định này, tác giả tiến hành kiểm định Z cho hai chữ số đầu tiên.
4.1.2.3. Kiểm định Z cho hai chữ số đầu tiên
Kết quả kiểm định Z cho các chữ số d1d2 từ 10 tới 99 được thể hiện ở Bảng 4.4.