DC EA FB =− (*) Chứng minh:
3.2. Bài tập đề nghị Bài 3.11:
Bài 3.11:
Cho tam giác ABC; AD, BE, CF là các đường cao. Trực tâm H chia đôi đường cao CF.
Chứng minh: cosC = cosB.cosAµ µ µ .
Gợi ý: cosC µ = CD EC=
AC BC . Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác BFC với đường thẳng AHD. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B, C. Gọi E = b∩c, F = c∩a, G = a∩b. Gọi M = a∩BC, N = b∩AC, P = c∩AB. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Gợi ý: Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác EFG với các bộ ba điểm thẳng hàng (M, B, C), (N, C, A), (P, A, B). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3.13:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh AK, BG, CE đồng quy.
Gợi ý: Từ A dựng đường thẳng song song với BC cắt BG tại M, AK ∩ BG tại O. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABK thì D, O, C thẳng hàng. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3.14:
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E. Giao điểm của BE và phân giác góc BAD là D. Đường thẳng qua D song song với AB cắt BC ở F. AF cắt BE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của BE.
Gợi ý: Gọi N = DF ∩ AC. Ta có ∆DNC ~ ∆EAB. Sau đó áp dụng định lí Menelaus vào tam giác BCE với 3 điểm thẳng hàng F, A, M suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3.15:
Cho tam giác ABC và các đường AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại O. Đường thẳng d, d’ đi qua O và song song với AC, AB cắt A’B’ và B’C’ lần lượt ở M, N, E, F. Chứng minh MENF là hình bình hành.
Bài 3.16:
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tại các điểm M, N, P, Q theo thứ tự trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng PN, QM, và đường chéo BD đồng quy.
định lí Menelaus vào tam giác ABD với cát tuyến MQO. (với chú ý: AM = AQ, BM = BN, CN = CP, DP = DQ).
Bài 3.17:
Cho tam giác ABC. Ba điểm D, E, F theo thứ tự trên BC, CA, AB. Biết rằng E chia đoạn AC theo tỉ số AE 3=
EC 2. Các điểm D và F phải chia BC, AB theo tỉ số nào để cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.
Gợi ý: Tam giác DEF có diện tích nhỏ nhất khi nó suy biến thành đường thẳng. Khi đó áp dụng định lí Menelaus vào tam giác ABC với cát tuyến DFE.
Bài 3.18:
Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn và M là điểm chính giữa của cung BC. Gọi I, J, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB, BC, CA. Gọi X là giao điểm của BK và AJ, L là giao điểm của CX và IJ. Vẽ tia Jy vuông góc với MK cắt AL tại T. Chứng minh CT⊥IM.
Gợi ý: Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Áp dụng định lí Ceva, Menelaus cho tam giác AJC. Từ đó suy ra J là trung điểm của BC.
Áp dụng định lí Thales chứng minh CT // AB, mà AB IM⊥ suy ra CT⊥IM.
Bài 3.19:
Tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao AH cắt (O) tại P. OD cắt BC tại D. Xác định tương tự cho E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.
µ CD sin2C Sau đó áp dụng định lí Ceva suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3.20:
Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Gọi D, E, F lần lượt là điểm đối xứng với I qua BC, CA, AB. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.
Gợi ý: · · µ µ 3B sin sinBAD IB 2 = . IC sinCAD 3C sin 2 .
Chứng minh tương tự cho · · sinACF sinBCF và · · sinCBE sinABE .
Nghiên cứu về vấn đề một số ứng dụng của định lí Menelaus và định lí Ceva, khóa luận đã đạt được một số kết quả sau :
• Đưa ra một số ứng dụng của định lí Menelaus và định lí Ceva trong hình học sơ cấp.
• Với mỗi ứng dụng của định lí Menelaus và định lí Ceva, khóa luận đưa ra các chỉ dẫn về mặt lí thuyết và tập hợp được các bài tập kèm theo lời giải chi tiết hoặc hướng dẫn giải cho các bài tập.
Các bài tập được đưa ra trong khóa luận thể hiện rõ những ứng dụng trong việc trình bày lời giải, trong cách suy nghĩ tìm hướng giải bài tập nhờ công cụ là định lí Menelaus và định lí Ceva.
Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận có thể được phát triển tiếp tục sang việc nghiên cứu sâu hơn, mở rộng ứng dụng của định lí Menelaus và định lí Ceva đối với các chủ đề khác của Toán học.
[1]. Vũ Hữu Bình (2004), Một số vấn đề phát triển hình học 8, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[2]. Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng (1996), Hình học của tam giác, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[3]. Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2010), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[4]. Lê Đình Hậu, Một số kiến thức về hình Olympiad.
[5]. Nguyễn Văn Nho (2011), Những định lí chọn lọc trong hình học phẳng qua các kì thi Olympic, Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm, Hà Nội.
[6]. (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
http://www.diendantoanhoc.net http://www.toantuoitho.com.vn http://www.toanhoctuoitre.com.vn http://www.thuvien.violet.vn