DC EA FB =− (*) Chứng minh:
2.3.3. Chứng minh tính song song Bài 2.7:
Bài 2.7:
Trong tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đường phân giác trong của góc BCA. N, L lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, C xuống đường phân giác trong của góc ABC. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng MN và AC, E là giao điểm của các đường thẳng BF và CL, D là giao điểm của các đường thẳng BL và AC. Chứng minh rằng DE // MN.
Kéo dài AM cắt BC tại G, kéo dài AN cắt BC tại I. Khi đó AM = MG; AN = NI suy ra MN // BC. (1)
Vì AM = MG nên ta có AF = FC. Kéo dài CL cắt AB tại J.
Xét tam giác JBC có BL là tia phân giác của góc ABC đồng thời là đường cao nên ∆JBC cân tại B, suy ra JL = LC mà AF = FC nên theo tính chất đường trung bình suy ra LF // AB.
Gọi H = LF ∩ BC. Ta có BH = HC. Áp dụng định lí Ceva trong tam giác BLC với BE, LH, CD cắt nhau tại F ta có:
EC DL HB EC DL HB . . = 1 . . =1 EL DB HC EL DB HC − ⇒ . Vì BH = HC nên EC DB= EL DL ⇒DE // BC (2) Từ (1) và (2) suy ra DE // MN (đpcm). Bài 2.8 :
Cho tam giác ABC có phân giác trong AI, đường thẳng qua C và vuông góc với AI cắt AB, trung tuyến AM tại E, K. Chứng minh : IK // AC.
Gọi N là trung điểm của AC (hình 2.16). Gọi O là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AI.
Xét ∆ACE có AO vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên suy ra ∆ACE cân tại A. Vậy O là trung điểm của CE. Từ đó suy ra M, O, N thẳng hàng.
Áp dụng định lí Ceva vào tam giác ACM với AI, CK, MN đồng quy ta có :
IC KM NA IC KA
. . = 1 =
IM KM