Đàm Văn Nhỉ, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
0.1 Tham số hóa
Xét một đồ thị quen biết trong mặt phẳngR2 cho bởi phương trình dưới đây:
(`) :y2 =x2+x3.
Đây là một đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0,0).Để mô tả các điểm khác nữa trên đồ thị, ta thực hiện phép biến đổi bằng cách đặty =tx và thay nó vào phương trình đồ thị. Ta có t2x2 =x2+x3.Khi x= 0ta có điểmO(0,0).Khix6= 0ta có điểm(x=t2−1, y =t(t2−1).Điểm này sẽ trở thành điểm gốc tọa độ khi t = 1 hoặc t=−1. Vậy mọi điểm trên đồ thị(`)có tọa độ(t2−1, t(t2−1)), t ∈R. Một điều làm ta phải chú ý đó là điểm O(0,0) sẽ tương ứng với hai giá trị khác nhau của t, còn những điểm khác chỉ tương ứng với một giá trị của t.
Định nghĩa 1. Cho đa thức f ∈ R[x, y]\R. Tập V(f) tất cả những điểm (a, b) ∈R2 thỏa mãn phương trình f(x, y) = 0 được gọi là một đồ thị phẳng.
Vì tất cả những đa thức f, g∈R[x, y]với f =λg, λ∈R\ {0}hoặc fr, r ∈N∗,xác định cùng một đồ thị phẳng nên ta chỉ xét đa thức f =f1. . . fs với các đa thức bất khả quy phân biệt fi thuộc R[x, y]. Nếu đa thức f là khả qui, chẳng hạnf(x, y) =g(x, y)h(x, y)và cả hai đa thức này đều có bậc lớn hơn 0, thì V(f) =V(g)∪V(h)với V(g) được xác định bởi phương trình g(x, y) = 0, cịn V(h) bởi h(x, y) = 0 và V(g)6=V(h).
Bổ đề 1. Cho hai đa thức f, g∈R[x, y] khơng có nhân tử chung. Khi đó V(f, g) =V(f)∩V(g)
là một tập hữu hạn điểm. Mệnh đề 3. Hệ phương trình (A) f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 f, g ∈R[x, y]
được giải qua phương trình đa thức một ẩn.
Định nghĩa 2. Đồ thị phẳng V(f) được gọi là đồ thị phẳng hữu tỷ nếu có hai hàm hữu tỷ ϕ(t), ψ(t)∈R(t) của biến t và cả hai không đồng thời thuộcR thỏa mãn f(ϕ(t), ψ(t)) = 0.
Đồ thị phẳng hữu tỷ có quan hệ tới việc tìm các nghiệm (a, b)∈R2 của phương trình f(x, y) = 0 hoặc tìm các điểm thuộc đồ thị phẳng với tọa độ là những số hữu tỷ hay xác định những điểm không tầm thường với tọa độ nguyên thuộc đa tạp Fermat V :xn+yn−zn = 0, n>3.
Khi biểu diễn đồ thị phẳng V(f) qua x = ϕ(t), y =ψ(t) ∈ R(t), ta nói rằng đã tham số hóa được V(f). Việc tham số hóa đồ thị phẳng qua các hàm hữu tỷ như sau: Chọn điểm P ∈ V và viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua P sao cho (d) cắt V tại đúng một điểm thứ hai khác P.