thức
Trần Viết Tường, Trường THPT Trần Phú - Đà Nẵng
Trong tốn học phổ thơng các bài tốn về phương trình hàm là các loại tốn thường mới và rất khó, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán khu vực và Quốc tế, Olympic sinh viên giữa các trường Đại học và cao đẳng. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về các đặc trưng khác nhau của hàm số và các tính chất liên quan với chúng. Để hệ thống các phương trình hàm, cần thiết phải hệ thống các kiến thức cơ bản và nâng cao về các dạng phương trình hàm cũng như các ứng dụng của chúng.
Đối với các bài tốn về phương trình hàm với nhiều ẩn hàm trong các lớp hàm cụ thể: liên tục, khả vi, tuần hoàn, lồi lõm,... cần nắm được một số kĩ thuật về biến đổi hàm số, khảo sát các tính chất cơ bản của hàm thực và các phép biến hình trên trục thực.
0.1 Phương trình hàm sinh bởi phi đẳng thức a2 + b2 6≡
g(a +b)h(a −b)
Bài tốn 1. Tìm các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f(x2+y2) =g(x+y).h(x−y), ∀x, y ∈R. (1)
Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trênR thỏa mãn điều kiện f(x2−y2) =g(x−y) +h(x+y), ∀x, y ∈R. (2)
Bài tốn 3. Tìm tất cả các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trênR thỏa mãn điều kiện f(x2 −y2) =g2(x)−h2(y), ∀x, y ∈R. (3)
Bài tốn 4. Tìm các hàm sốf, g, h liên tục và xác định trên R thỏa mãn điều kiện
f(x)−g(y) =xh(y)−yh(x), ∀x, y ∈R. (4)
Bài tốn 5. Tìm tất cả các hàm sốf, g xác định và liên tục trênR thỏa mãn điều kiện
f(x)−f(y) = (x+y)g(x−y), ∀x, y ∈R. (5)
Bài tốn 6. Tìm tất cả các hàm sốf, g xác định và liên tục trênR thỏa mãn điều kiện
f(x) +f(y) + 2xy = (x+y)g(x+y), ∀x, y ∈R. (6)
Bài toán 7. Tìm tất cả các hàm sốf, g xác định và liên tục trênR thỏa mãn điều kiện
f(x).g(y) =x2−y2, ∀x, y ∈R. (7)
Bài tốn 8. Tìm tất cả các hàm sốf, g, h xác định và liên tục trênR thỏa mãn điều kiện f(x+y) +g(x−y) =h(xy), ∀x, y ∈R. (8)
Bài tốn 9. Tìm tất cả các hàm số dương f, g, hxác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f(x+y).g(x−y) = h(xy), ∀x, y ∈R. (9)
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục
[2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu, 2009, Phương trình hàm với nhóm hữu hạn các biến đổi phân tuyến tính, Kỷ yếu HNKH "Các phương pháp và chun đề tốn sơ cấp" tại Bắc Giang, 27-29/11/2009. [4] Christopher G. Small, 2000, Functinal equations and how to solve them, Springer.