Tiếp cận giả
2.2.3. Mơ hình đóng gó
Mơ hình này u cầu tính bắc cầu của ràng buộc sắp xếp. Trong mơ hình này, ta chỉ cần xác định xem hàng hóa nào cần được xếp vào trong ngăn xếp nào. Vị trí của mỗi hàng hóa trong ngăn xếp của nó được xác định thơng qua tính bắc cầu của ràng buộc sắp xếp giữa các hàng hóa trong cùng ngăn xếp. Ta sử dụng các biến nhị phân xiq vớii∈I vàq∈Qtheo ý nghĩa
xij =
{
1 nếuiđược xếp vào ngănq,
0 nếu ngược lại.
Ta sử dụng thêm các biếnzq vớiq ∈Qvới ý nghĩa
zq =
{
1 nếu có hàng hóa được xếp trong ngăn q,
0 nếu ngược lại.
Ký hiệu
Fbin={(i, q)∈If ix×Q|iđược xếp trong ngănq}
và
Fbintop ={(i, q)∈If ix×Q|ilà hàng If ix cao nhất trongq}.
Ký hiệu tập hợp các ngăn xếp chứa ít nhất một hàng hóa loạiIf ix
bởi Qf ix. Với mỗi q ∈Qf ix, gọi bq là số hàng hóa If ix đã có sẵn trong ngăn xếp đó. Bài tốn #St có thể mơ hình hóa như sau.
(StBin) min ∑
q∈Q
s.t. xiq= 1 ∀(i, q)∈Fbin, (2.38) ∑ i∈I xiq≤bzq ∀q∈Q, (2.39) xiq≤zq ∀i∈I, q∈Q, (2.40) ∑ q∈Q xiq= 1 ∀i∈I, (2.41) ∑ j∈I∗\{i} sij=sji=0 xjq≤b(1−xiq) ∀(i, q)∈I∗×Q, (2.42) ∑ j∈I∗\{i} sji=0
xjq= 0 ∀(i, q)∈Fbintop, (2.43)
xiq∈ {0,1} ∀i∈I, q∈Q, (2.44)
zq∈ {0,1} ∀q∈Q. (2.45)
Với bài toán #BI, chúng ta cần xử lý các “hàng hóa tương
đương”. Ta nói các hàng hóai, j là tương đương nếu
• chúng thuộc cùng một tập hợp hàng hóa Iλ trong thứ tự sắp xếp If ix→I1→. . .→IK, và
• sij =sji= 1.
Bổ đề 1. Cho trước một ma trận sắp xếp bắc cầu S = (sij) ∈ {0,1}n×n và giả sử tồn tại các hàng hóa tương đương. Khi đó ta có thể chuyển S về một ma trận sắp xếp S′ sao cho
(i) khơng có hàng hóa tương đương theo quan hệ định nghĩa bởi S′,
(ii) S′ bắc cầu, và
(iii) mỗi phương án sắp xếp khả thi theo S có thể chuyển về một phương án khả thi theo S′ mà không làm tăng số ngăn xếp
được sử dụng cũng như số hàng hóa bị xếp ở vị trí khơng thuận lợi.
Với mỗi i∈I, đặtB′
các biến sau.
βiq =
{
1 nếu iđược xếp không thuận lợi trong ngănq,
0 nếu ngược lại,
γiq =
{
1 nếuiđược xếp thuận lợi trong ngăn q,
0 nếu ngược lại. Ta có mơ hình sau cho bài tốn#BI.
(BIBin) min ∑ i∈I ∑ q∈Q βiq (2.46) s.t. βiq+γiq= 1 ∀(i, q)∈Fbin, (2.47) ∑ i∈I (βiq+γiq)≤b ∀q∈Q, (2.48) ∑ q∈Q (βiq+γiq) = 1 ∀i∈I, (2.49) ∑ j∈I∗\{i} sij=sji=0
(βjq+γjq)≤b(1−βiq−γiq) ∀(i, q)∈I∗×Q,
(2.50)
∑
j∈I∗\{i}
sji=0
(βjq+γjq) = 0 ∀(i, q)∈Fbintop,
(2.51)∑ ∑ j∈B′ (βjq+γjq)≤b(1−γiq) ∀(i, q)∈I×Q, (2.52) βiq, γiq∈ {0,1} ∀i∈I, q∈Q. (2.53)
Chương 3