Chương 1 : HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN NHIỀU CHIỀU
3.1. Hàm nhạy và tiêu chuẩn M cho hệ MIMO
Trong phần trước, ta đã khảo sát với hệ SISO, nội dung chương này sẽ
đề cập tới việc khảo sát, tính tốn ổn định của hệ MIMO. Về cơ bản, các lý
thuyết đối với hệ MIMO cũng tương tự hệ SISO. Tuy nhiên, đối với hệ
MIMO, ta phải làm việc với các ma trận hàm truyền và các vector tín hiệu. Xét hệ MIMO có cấu trúc như hình 3.1.
Hình 3.1. Cấu trúc hệ MIMO đơn giản
Trong đó, X(s), E(s), U(s), Y(s) lần lượt là các vector tín hiệu vào của hệ
kín, tín hiệu sai lệch, tín hiệu điều khiển và tín hiệu ra. R(s) và G(s) lần lượt là ma trận bộ điều khiển và hàm truyền đạt đối tượng MIMO.
Đối với hệ MIMO, hàm nhạy được định nghĩa là hàm truyền của hệ kín
thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu sai lệch với tín hiệu vào:
Фe(s) = [I + R.G(s)]-1
Hàm nhạy được xây dựng bắt nguồn từ hàm truyền đạt hệ kín:
Phân tích, tính tốn tính ổn định và bền vững cho hệ điều khiển nhiều chiều
31
hay còn được gọi là hàm bù nhạy. Bằng những biến đổi đơn giản, đễ
dàng kiểm tra rằng:
Ф(s) + Фe(s) = I (3.1)
Để xét ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn M, tiến hành khảo sát đặc tính
tần số của hàm truyền hệ kín Фe(j) của tín hiệu đầu sai lệch với tín hiệu đầu vào. Khi đó các tín hiệu được khảo sát trên miền tần số với tín hiệu vào là X(j)=XAiexp{ji} và tín hiệu sai lệch là E(j)=EAiexp{ji} với i = 1,2, …N. Từ đây sẽ sử dụng ký hiệu X0 và E0 thay cho X(j) và E(j). Ta có:
E0 = Фe(j).X0 = [I + Wh(i)]-1.X0 (3.2)
Cho trước một vec tơ k có |k| = 1. Đặc tính hàm truyền của hệ MIMO
theo chiều k là hàm thực Ak().
0 0
A ( )=k E e(j ).k X
(3.3)
Thay đổi tần số từ 0 đến ∞ sẽ có được đường đặc tính tần số. Các đường đặc tính này thể hiện tính chính xác của hệ MIMO theo chiều k. Xây
dựng với mọi chiều ta sẽ có tập hợp các đường đặc tính hàm truyền của hệ MIMO. Khi đó Gọi Asup() là hàm cực đại (tương ứng với đường đặc tính trên cùng) và Ainf() là hàm cực tiểu (tương ứng với đường đặc tính dưới cùng). Asup() và Ainf() cũng có giá trị chính bằng đường giá trị |E0| tương
ứng với tín hiệu vào X0 : |X0| = 1. Các đường đặc tính được thể hiện trên hình
3.2. 0 0 sup 0 | | 1 | | 1 ( ) sup | | sup | ( ) | X X A E j (3.4)
Phân tích, tính tốn tính ổn định và bền vững cho hệ điều khiển nhiều chiều
32
0 0
inf( ) |inf || 1 0| inf || | 1 ( ) |
X X
A E j
(3.5)
Giá trị cực đại của hàm cực đại được gọi là hệ số dao động M của hệ
MIMO. M được biểu diễn trong cơng thức 3.6.
Hình 3.2. Đặc tính tần số của hệ MIMO
0
0 | | 1 0
sup sup | ( ) | sup ( )
X M j j (3.6)
Hệ số dao động M không chỉ thể hiện độ dự trữ ổn định mà cịn thể hiện
độ chính xác của hệ MIMO đối với tín hiệu vào dạng sin.
Đối với hệ MIMO, M cũng được định nghĩa theo một cách khác nhưMột định nghĩa khác của hệ số dao động M:
0 sup ( ) i i M j (3.7) Với i = 1,2,3 …. N
Phân tích, tính tốn tính ổn định và bền vững cho hệ điều khiển nhiều chiều
33
Giá trị của Mi được xác định nhờ việc xây dựng đường quỹ tích nghiệm của hệ hở như hình 3.3.
Khi xây dựng tồn bộ họ đường quỹ tích nghiệm của hệ hở (hình 3.3) sẽ
xác định được M = {Mi}. Giá trị lớn nhất của Mi là Mimax sẽ biểu thị rõ nhất độ sai lệch của hệ kín và do đó có thể được dùng để xác định biên giới ổn định. max 1ax i i i N M m M (3.8) Hình 3.3. Xác định hệ số dao động Mi của hệ
Như vậy, hệ số dao động M được xác định dựa trên hàm truyền đạt hệ
kín Ф(s) biểu diễn mối quan hệ giữa tín hiệu sai lệch và tín hiệu vào. Một cách khác để định nghĩa hệ số dao động M là dựa trên đặc tính tần số của hàm
truyền đạt hệ kín Ф(s) = [I + R.G(s)]-1.R.G(s) biểu diễn mối quan hệ giữa tín hiệu ra với tín hiệu vào. Khi đó hệ số dao động M là giá trị lớn nhất của hàm cực đại của họ các đường đặc tính tần của hàm truyền hệ kín (hình 3.4).
Phân tích, tính tốn tính ổn định và bền vững cho hệ điều khiển nhiều chiều
34
Mi được biểu diễn bởi công thức 3.9.
0 sup ( ) i i M j (3.9)
Hình 3.4. Định nghĩa hệ số dao động M dựa trên hàm truyền hệ kín của tín hiệu ra và tín hiệu vào
Cũng tương tự hệ SISO, trong thực tế thiết kế bộ điều khiển cho hệ
MIMO để hệ ổn định, hệ số dao động Mimax được chọn thỏa mãn: 1.3 ≤
Mimax ≤ 2.5÷3.