1.4 Quy hoạch DC và giải thuật DCA
1.4.2 Bài toỏn tối ưu lồi (Convex Optimization Problems)
Bài toỏn tối ưu lồi (cũn được gọi là quy hoạch lồi) là dạng rất điển hỡnh và cơ bản trong cỏc bài toỏn tối ưu. Những tớnh chất đặc biệt của tối ưu lồi (convex optimization) về nghiệm toàn cục và nghiệm cận tối ưu khiến tối ưu lồi trở nờn quan trọng và phổ biến.
- Tập lồi (convex set): Một tập D n được gọi là tập lồi khi và chỉ khi:
, , [0,1] .
x y D x+(1- )y D
Một đặc điểm đồ thị của tập lồi là nếu một đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập đú thỡ luụn nằm trọn vẹn trong tập đú. Hỡnh 1.10 là một số vớ dụ về tập lồi, trong đú hỡnh cú đường biờn thể hiện tập lồi bao gồm cả biờn, cũn chỗ khụng cú đường biờn đậm cú nghĩa là tập khụng tớnh biờn. Đường thẳng, siờu phẳng và nửa khụng gian trong khụng gian n chiều đều là những tập lồi.
Hỡnh 1.10: Vớ dụ về một số tập lồi.
- Hàm lồi (convex function): Một hàm f: ℝk →ℝ được gọi là một hàm lồi nếu tập xỏc định D của hàm f (D = dom f) là một tập lồi và đạo hàm bậc hai của f khụng õm hoặc thỏa món
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), , , (0,1)
f x+ − y f x + − f y x yD .
Một đặc điểm đồ thị của hàm lồi là nếu nối hai điểm bất kỳ trờn đồ thị của hàm số f đú luụn được một đoạn thẳng nằm về phớa trờn hoặc nằm trờn đồ thị.
Chỳ ý: Tập xỏc định (Domain- dom f0) của bài toỏn tối ưu lồi cũng là một tập lồi. Do vậy, bài toỏn tối ưu lồi là tối thiểu một hàm mục tiờu lồi trờn một tập lồi.
Một bài toỏn tối ưu lồi là một bài toỏn tối ưu cú dạng: ( ) ( ) * 0 arg min . . 0, 1, 2, , 0, 1, 2, , . i T j j f s t f i m j n = = − = = w w w w a w b (1.29)
Trong đú: Hàm mục tiờu f0(w) là một hàm lồi; cỏc ràng buộc bất đẳng thức
fi(w) là cỏc hàm lồi và ràng buộc đẳng thức là một hàm affine.
Điểm khỏc biệt của bài toỏn tối ưu lồi so với cỏc lớp bài toỏn tối ưu khỏc là mọi phương ỏn tối ưu cục bộ cũng là phương ỏn tối ưu toàn cục.