8 MT VÀI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYÊN
8.2 Toơng cụa hai sơ chính phương
Trong phaăn này chúng ta sẽ trạ lời cho cađu hỏi: các sơ nguyeđn nào là toơng cụa hai sơ chính phương?
8.2. TOƠNG CỤA HAI SƠ CHÍNH PHƯƠNG 127
Định lý 8.2. Nêuplà sơ nguyeđn tơ khođng cĩ dáng4k+ 3thì cĩ các sơ nguyeđn
x, y sao cho x2+y2 =p.
Chứng minh. Khi p= 2,ta có 2 = 12+ 12.
Giạ sửplà sơ nguyeđn tơ có dáng4k+1.Do(−1)là thaịng dư bình phương modulopneđn cĩ sơ nguyeđnx,0< x < pđeơx2+ 12 =pvới sơ nguyeđnnào đĩ. Gĩimlà sơ nguyeđn dương nhỏ nhât sao cho phương trìnhx2+y2 =mpcĩ nghim nguyeđnx, y.Hieơn nhieđn làm < p,vìp=x2+12 ≤(p−1)2+1< p2.
Chúng ta sẽ chứng tỏ raỉng m= 1.
Giạ sử là m >1. Gĩi a, b là các sơ nguyeđn −m/2< a≤m/2, −m/2<
b≤m/2 với a ≡x (mod m) và b≡y (mod m), ta có
a2+b2 ≡x2+y2 =mp≡0 (mod m).
Thê thì cĩ sơ nguyeđn k sao cho a2+b2 =km. Suy ra
(a2+b2)(x2+y2) = (km)(mp) = km2p.
Từ đẳng thức
(a2+b2)(x2+y2) = (ax+by)2 + (ay−bx)2
vàa ≡x (modm), b≡y (modm), ta có
ax+by ≡x2+y2 ≡0 (mod m) ay−bx≡xy−yx≡0 (modm).
Như vy (ax+by)/m và (ay−bx)/m là các sơ nguyeđn và
ax+by m 2 + ay−bx m 2 = km 2p m2 =kp. Chúng ta cịn phại chứng tỏ 0< k < m. Ta có 0≤km=a2 +b2 ≤2(m2/4) =m2/2,
kéo theo 0≤ k ≤ m/2. Vaơy k < m. Nêu k = 0, thì a2+b2 =km = 0, kéo
theo a = b = 0. Thê thì x ≡ y ≡ 0 (mod m). Nhưng x2 +y2 = mp, neđn
Định lý 8.3. Sơ nguyeđn dương n là toơng cụa hai sơ chính phương khi và chư khi mi thừa sơ nguyeđn tô dáng 4k+ 3cụa n xuât hin với sơ mũ chẵn trong khai trieơn n thành tích các luỹ thừa nguyeđn tơ.
Chứng minh. ⇒.Giạ sử ngược lái là cĩ thừa sơ nguyeđn tôp≡3 (mod 4)
cụa n cĩ sơ mũ lẹ 2j + 1 và n = x2 +y2. Đaịt d = (x, y), a = x/d, b =
y/d, m=n/d2, thì (a, b) = 1 và
a2+b2 =m.
Giạ sử pk là luỹ thừa lớn nhât cụa p chia hêt d. Thê thì m chia hêt cho
p2j−2k+1 với 2j−2k+ 1 là sơ nguyeđn dương, vy p|m. Nhưng pa vì nêu
p|a thì p|b=m−a2, và đieău này vođ lý với (a, b) = 1.
Gĩi z là sơ nguyeđn mà az ≡b (modp). Thê thì
m=a2+b2 ≡a2+ (az)2 =a2(1 +z2) (modp).
Vì p | m neđn p | a2(1 +z2). Nhưng (a, p) = 1 neđn p | 1 +z2, hay z2 ≡ −1 (modp) và đieău này khođng xạy ra khi p≡3 (mod 4).
⇐ . Giạ sử phađn tích cụa n khođng cĩ thừa sơ nguyeđn tơ dáng 4k+ 3
với sơ mũ lẹ. Khi đĩ ta cĩ n = t2u trong đĩ u khođng cĩ thừa sô nguyeđn tô dáng 4k+ 3. Vì mi thừa sơ nguyeđn tơ khođng có dáng 4k+ 3, theo định lý 8.2 đeău là toơng cụa hai sơ chính phương và h thức (r2+s2)(v2+w2) = (rv+sw)2+ (rw−sv)2 ta suy ra u là toơng cụa hai sơ chính phương. Giạ sử
u=x2 +y2, ta có n = (tx)2+ (ty)2.
8.3 Toơng cụa bơn sơ chính phương
Bađy giờ chúng ta quan tađm đên cađu hỏi: sơ nguyeđn dương nhỏ nhât nlà bao nhieđu đeơ mĩi sơ nguyeđn dương đeău là toơng cụa n sơ chính phương?
Ta thây raỉng sơ 7 khođng là toơng cụa ba sơ chính phương. Chúng ta sẽ chư ra raỉng mĩi sơ nguyeđn dương đeău là toơng cụa 4 sơ chính phương.
Định lý 8.4. Nêum, nđeău là toơng cụa bơn sơ chính phương thì tích mncũng là toơng cụa bơn sơ chính phương.
8.3. TOƠNG CỤA BƠN SƠ CHÍNH PHƯƠNG 129 Chứng minh. Giạ sử m=x2+y2 +z2+w2 và n=a2+b2+c2+d2. Ta có
mn= (x2+y2+z2+w2)(a2+b2+c2+d2 = (ax+by+cz+dw)2+ +(bx−ay+dz−cw)2 + (cx−dy−az+bw)2+ (dx+cy−bz−aw)2.
Định lý 8.5. Nêu p là sơ nguyeđn tơ thì cĩ các sơ nguyeđn x, y, z, w sao cho
x2+y2+z2+w2 =p.
Chứng minh. Trường hợp p= 2, hieơn nhieđn ta có 12+ 12+ 02+ 02 =p.
Trước hêt chúng ta chứng tỏ raỉng nêu p là sơ nguyeđn tơ lẹ thì cĩ các sơ nguyeđn x, y, với 0 ≤ x, y < p/2 sao cho x2+y2 + 1 = p. Vì đoăng dư
x2 ≡y2 (mod p) kéo theo x≡ ±y (mod p) neđn các sô
02,12,· · · ,(p−1 2 )
2
là đođi mt khođng đoăng dư modulo p. Cũng vy, các sơ
−1−02,−1−12,· · · ,−1−(p−1 2 )
2
đođi mt khođng đoăng dư modulo p.Vì
{02,12,· · · ,(p−1 2 )
2,−1−02,−1−12,· · · ,−1−(p−1 2 )
2}
có cạ thạy p+ 1 sơ neđn cĩ0≤x, y < p/2sao cho x2+y2+ 1 =p.Gĩi mlà sơ nguyeđn dương nhỏ nhât sao cho phương trình x2+y2+z2+w2 =mp có nghieơm nguyeđn x, y, z, w. Hieơn nhieđn là m < p, vì p=x2+y2+ 12+ 02 ≤
2((p−1)/2)2+ 1< p2.Chúng ta sẽ chứng tỏ raỉngm = 1;hay cũng vy, nêu
m >1 thì sẽ dăn đên đieău vođ lý. Giạ sử m >1.
Nêu m chẵn. Thê thì tât cạ các sơ x, y, z, w đeău là sơ chẵn hoaịc đeău là sơ lẹ, hoaịc hai trong chúng là sơ chẵn và hai sơ cịn lái là sơ lẹ. Như vy, khođng mât tính toơng quát, ta cĩ theơ giạ sử raỉng x ≡ y (mod 2) và z ≡ w
(mod 2). Khi đĩ các sơ (x−y)/2, (x+y)/2, (z−w)/2, (z+w)/2 đeău là sơ nguyeđn và x−y 2 2 +x+y 2 2 +z−w 2 2 +z+w 2 2 = (m/2)p,
đieău này vođ lý với giạ thiêt veă tính nhỏ nhât cụa m.
Bađy giờ giạ sử m là sơ lẹ. Gĩi a, b, c, d là các sơ nguyeđn sao cho
a≡x (mod m), b≡y (mod m), c≡z (mod m), d≡w (modm)
và −m/2< a < m/2, −m/2< b < m/2, −m/2< c < m/2, −m/2< d < m/2. Ta có a2+b2+c2+d2 ≡x2+y2 +z2+w2 (modm). Do đĩ a2+b2+c2+d2 =km,
với k là sơ nguyeđn nào đĩ. Nhưng
0≤a2+b2+c2+d2 <4(m/2)2 =m2
neđn 0 ≤k < m. Nêu k = 0 ta có a =b = c=d= 0 cũng như x ≡y ≡z ≡
w≡0 (mod m). Đieău này kéo theo m2 |mp, hay m|p; và đieău này khođng xạy ra vì 1< m < p. Thê thì k > 0.Ta có (x2+y2+z2+w2)(a2+b2+c2+d2) =mp·km =m2kp. Theo định lý 8.4 ta có m2kp= (ax+by+cz+dw)2 + (bx−ay+dz −cw)2+ +(cx−dy−az +bw)2+ (dx+cy−bz−aw)2. Từ
a≡x (mod m), b≡y (mod m), c≡z (mod m), d≡w (modm)
ta có
ax+by+cz+dw≡x2+y2+z2+w2 ≡0 (mod m) bx−ay+dz−cw≡yx−xy−xz+yw≡0 (modm) cx−dy−az +bw ≡zx−wy−xz+yw≡0 (mod m) dx+cy−bz−aw≡wx+zy−yz−xw≡0 (modm).
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 131Suy ra Suy ra X = (ax+by+cz+dw)/m Y = (bx−ay+dz−cw)/m Z = (cx−dy−az+bw)/m W = (dx+cy−bz−aw)/m là các sơ nguyeđn. Ta cĩ X2+Y2+Z2+W2 =m2kp/m2 =kp,
và đieău này vođ lý với giạ thiêt veă tính nhỏ nhât cụa m.
Định lý 8.6. Mĩi sơ nguyeđn dương đeău là toơng cụa bơn sơ chính phương. Chứng minh. Khi n = 1 là hieơn nhieđn. Khi n > 1 thì n là tích cụa các sơ nguyeđn tơ. Theo các định lý 8.4 và 8.5 ta suy ra đieău phại chứng minh.
8.4 Phương trình Pell
Phaăn này chúng ta sẽ nghieđn cứu các phương trình Diophantus dáng
x2−dy2 =n,
trong đĩ d và n là các sơ nguyeđn cơ định. Khi d < 0 và n < 0 thì phương trình vođ nghim. Khi d <0 và n >0 thì phương trình nêu cĩ thì chư cĩ hữu
hán nghim. Cũng chú ý raỉng khi d = D2 là sơ chính phương thì phương
trình được đưa veă h
x+Dy =a x−Dy =b
trong đĩa, b là các sơ nguyeđn vớiab=n,do đĩ nêu phương trình cĩ nghim thì nĩ cũng chư cĩ hữu hán nghim vì chư cĩ hữu hán các sơ nguyeđn a, b.
Như vy, chúng ta chư quan tađm đên phương trình x2−dy2 =n, trong đĩ
d và n là các sơ nguyeđn với d khođng là sơ chính phương. Định lý sau đađy chư ra raỉng phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d được sử dúng đeơ nghieđn cứu phương trình này.
Định lý 8.7. Giạ sử d và n là các sơ nguyeđn với d > 0 khođng là sơ chính phương và |n|<√
d.Khi đĩ nêu các sơ dương x, y thoạ x2−dy2 =n thì x/y
là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Chứng minh. Trước tieđn ta xét trường hợp n >0.Vì x2−dy2 =n neđn
(x+y√
d)(x−y√
d) =n.
Từ phương trình tređn ta suy ra x > y√
d, hay x y −√d >0. Vì 0< n <√ d neđn x y −√d= x−y√ d y = x2−dy2 y(x+y√ d) < n y(2y√ d) < √ d y(2y√ d) = 1 2y2.
Do 0 < x/y−√d và định lý 7.14 ta suy ra x/y là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Khi n < 0. Chia hai vê cụa phương trình x2−dy2 =n cho (−d) ta được
y2−(1/d)x2 =−n/d.
Do (−n/d) > 0, neđn lý lun như tređn ta suy ra y/x là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa 1/d= 1/√
d. Nhưng do giạn phađn thứ k cụa 1/α
chính là nghịch đạo cụa giạn phađn thứ (k−1) cụa α, nêu α >1 neđn ta suy
ra x/y là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Nhớ lái định lý 7.16 : Giạ sửdkhođng là sơ chính phương. ĐaịtP0 = 0, Q0 = 1, αk= (Pk+√
d)/Qk, ak= [αk], Pk+1 =akQk−Pk, Qk+1 = (n−Pk+12 )/Qk
vớik = 0,1,2, ... . Khi đĩ nêupk/qklà giạn phađn thứ kcụa√dthìp2k−nqk2 = (−1)k−1Qk+1. Định lý này sẽ giúp chúng ta xác định tât cạ các nghim cụa phương trình Pell: x2−dy2 = 1, cũng như cụa phương trình: x2−dy2 =−1.
Định lý 8.8. Giạ sửd >0 khođng là sơ chính phương, pk/qk là giạn phađn thứ
k và n là đ dài chu kỳ cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d. Khi đĩ, nêu
n chẵn thì các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2 −dy2 = 1 là
x=pjn−1, y=qjn−1, j = 1,2,3, ...và phương trình Diophantusx2−dy2 =−1
vođ nghim. Nêu n lẹ thì các nghim dương cụa phương trình Diophantus
x2 −dy2 = 1 là x = p2jn−1, y = q2jn−1, j = 1,2,3, ... và các nghim cụa phương trình Diophantusx2−dy2 =−1làx=p(2j−1)n−1, y =q(2j−1)n−1, j = 1,2,3, ... .
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 133 Chứng minh. Theo định lý 8.7, nêu x0, y0 là nghim cụa phương trình x2 −
dy2 =±1 thì x0 =pk, y0 =qk, với pk/qk là giạn phađn cụa phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d. Vì phađn sơ lieđn túc cụa √d có dáng √d = [a0;a1, ..., an ]
neđn Qjn=Q0 = 1 với j = 1,2,3, ... , trong đĩ Pj, Qj, αj, aj được xác định trong định lý 7.16. Ta có
p2k−nqk2 = (−1)k−1Qk+1;
suy ra, trong trường hợp n chẵn thì
p2jn−1−dqjn−12 = (−1)jnQjn= 1.
Cũng vy, nêu n lẹ thì
p22jn−1−dq2jn−12 = (−1)2jnQ2jn= 1
và
p2(2j−1)n−1−dq2(2j−1)n−1 = (−1)(2j−1)nQ(2j−1)n=−1.
Đeơ chứng tỏ các Diophantus x2 − dy2 = 1 và x2 −dy2 = −1 khođng còn các nghim khác, ta chư caăn chứng tỏ raỉng Qk+1 = 1 sẽ kéo theo n | k và
Qj =−1 với j = 1,2,3, ... .
VìQk+1 = 1thì αk+1 =Pk+1+√
dvàαk+1 = [ak+1;ak+2, ...]có biu din phađn sô lieđn túc tuaăn hồn thuaăn chụng. Từ đĩ −1< α = Pk+1−√d < 0.
Suy ra Pk+1 = [√
d], cũng vy αk =α0 vàn |k.
Giạ sửQj =−1với j ≥1nào đĩ. Thê thì αj =−Pj−√d.Vìαj có biu din phađn sơ lieđn túc tuaăn hồn thuaăn chụng neđn −1< αj =−Pj +√
d <0
vàαj >1.Suy ra √d < Pj <−1−√d, và đieău này khođng theơ xạy ra.
Ví dú 8.4.1. Vì phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa√13là[3; 1,1,1,1,6 ]neđn các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2−13y2 = 1 làx=p10j−1, y=
q10j−1, với p10j−1/q10j−1 là giạn phađn thứ (10j−1) cụa phađn sô lieđn túc cụa
√
13, j = 1,2,3, ... .Nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1
là x1 = p9 = 649, y1 = q9 = 180. Các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2 −13y2 = −1 là x = p10j−6, y = q10j−6, với j = 1,2,3, ... .
Nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trìnhx2−13y2 =−1làp4 = 18, q4 = 5.
Ví dú 8.4.2. Vì phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa 14là [3; 1,2,1,6 ] neđn các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2−14y2 = 1 là x=p4j−1, y =
q4j−1, với p4j−1/q4j−1 là giạn phađn thứ (4j −1) cụa phađn sô lieđn túc cụa
√
14, j = 1,2,3, ... .Nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1
là x1 = p3 = 15, y1 = q3 = 4. Phương trình Diophantus x2−14y2 = −1 vođ nghieơm.
Định lý 8.9. Nêux1, y1 là nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình Diophan- tus x2−dy2 = 1 và sơ nguyeđn dương d khođng là sơ chính phương thì tât cạ các nghim dươngxk, yk được cho bởi
xk+yk√
d = (x1+y1√
d)k , với k= 1,2,3, ... .
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng tỏ raỉng xk, yk là nghim cụa phương trình và mi nghim dương cụa phương trình đeău cĩ dáng này.
Vì xk+yk√ d= (x1+y1√ d)k neđn xk−yk√ d= (x1−y1√ d)k. Suy ra x2k−dyk2 = (xk+yk√ d)(xk−yk√ d) = (x1+y1√ d)k(x1−y1√ d)k = (x21−dy12)k= 1.
Bađy giờ ta giạ sửX, Y là nghim dương cụa phương trình nhưng khođng baỉng mt xk, yk nào cạ. Thê thì cĩ sơ nguyeđn dương n sao cho
(x1 +y1√ d)n< X +Y√ d <(x1+y1√ d)n+1. Suy ra 1<(x1+y1√ d)−n(X+Y√ d) = (x1−y1√ d)n(X+Y√ d)<(x1 +y1√ d). Đaịt r+s√ d= (x1−y1√ d)n(X+Y√ d). Ta có r2−ds2 = (r−s√ d)(r+s√ d) = (x1+y1√ d)n(X−Y√ d)(x1−y1√ d)n(X+Y√ d) = (x21−dy12)n(X2−dY2) = 1.
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 135 Vì r, slà nghim cụa phương trình Diophantus x2−dy2 = 1 và1< r+s√
d ta suy ra 0<(r+s√ d)−1 = (r−s√ d)<1. Do đĩ r= 1 2 (r+s√ d) + (r−s√ d) >0 và s= 1 2 (r+s√ d)−(r−s√ d) >0.
Như vy thìr, slà nghim dương cụa phương trình mà r+s√
d < x1+y1√
d
và đieău này vođ lý giạ thiêt veă x1, y1.
Ví dú 8.4.3. Chúng ta đã biêt x1 = 649, y1 = 180 là nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1,vy phương trình cĩ tât cạ các nghim dương xk, yk mà xk+yk√ 13 = (x1+y1√ 13)k. Chẳng hán x2+y2√ 13 = (x1+y1√ 13)2 = 842401 + 233640√ 13
neđn x2 = 842401, y2 = 233640 là nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình
x2−13y2 = 1, khác x1 = 649, y1 = 180.
BÀI TP CHƯƠNG VIII
1. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là b ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì hoaịc
x hoaịc y là bi cụa 3.
2. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là b ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì cĩ
3. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là b ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì cĩ
mt trong ba sơ x, y, z là bi cụa 4.
4. Chứng minh raỉng mi sơ nguyeđn dương lớn hơn 2 đeău là mt thành