8 MT VÀI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTUS PHI TUYÊN
8.4 Phương trình Pell
Suy ra X = (ax+by+cz+dw)/m Y = (bx−ay+dz−cw)/m Z = (cx−dy−az+bw)/m W = (dx+cy−bz−aw)/m là các sơ nguyeđn. Ta cĩ X2+Y2+Z2+W2 =m2kp/m2 =kp,
và đieău này vođ lý với giạ thiêt veă tính nhỏ nhât cụa m.
Định lý 8.6. Mĩi sơ nguyeđn dương đeău là toơng cụa bơn sơ chính phương. Chứng minh. Khi n = 1 là hieơn nhieđn. Khi n > 1 thì n là tích cụa các sơ nguyeđn tơ. Theo các định lý 8.4 và 8.5 ta suy ra đieău phại chứng minh.
8.4 Phương trình Pell
Phaăn này chúng ta sẽ nghieđn cứu các phương trình Diophantus dáng
x2−dy2 =n,
trong đĩ d và n là các sơ nguyeđn cơ định. Khi d < 0 và n < 0 thì phương trình vođ nghim. Khi d <0 và n >0 thì phương trình nêu cĩ thì chư cĩ hữu
hán nghim. Cũng chú ý raỉng khi d = D2 là sơ chính phương thì phương
trình được đưa veă h
x+Dy =a x−Dy =b
trong đĩa, b là các sơ nguyeđn vớiab=n,do đĩ nêu phương trình cĩ nghim thì nĩ cũng chư cĩ hữu hán nghim vì chư cĩ hữu hán các sơ nguyeđn a, b.
Như vy, chúng ta chư quan tađm đên phương trình x2−dy2 =n, trong đĩ
d và n là các sơ nguyeđn với d khođng là sơ chính phương. Định lý sau đađy chư ra raỉng phađn sô lieđn túc đơn giạn cụa √d được sử dúng đeơ nghieđn cứu phương trình này.
Định lý 8.7. Giạ sử d và n là các sơ nguyeđn với d > 0 khođng là sơ chính phương và |n|<√
d.Khi đĩ nêu các sơ dương x, y thoạ x2−dy2 =n thì x/y
là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Chứng minh. Trước tieđn ta xét trường hợp n >0.Vì x2−dy2 =n neđn
(x+y√
d)(x−y√
d) =n.
Từ phương trình tređn ta suy ra x > y√
d, hay x y −√d >0. Vì 0< n <√ d neđn x y −√d= x−y√ d y = x2−dy2 y(x+y√ d) < n y(2y√ d) < √ d y(2y√ d) = 1 2y2.
Do 0 < x/y−√d và định lý 7.14 ta suy ra x/y là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Khi n < 0. Chia hai vê cụa phương trình x2−dy2 =n cho (−d) ta được
y2−(1/d)x2 =−n/d.
Do (−n/d) > 0, neđn lý lun như tređn ta suy ra y/x là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa 1/d= 1/√
d. Nhưng do giạn phađn thứ k cụa 1/α
chính là nghịch đạo cụa giạn phađn thứ (k−1) cụa α, nêu α >1 neđn ta suy
ra x/y là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d.
Nhớ lái định lý 7.16 : Giạ sửdkhođng là sơ chính phương. ĐaịtP0 = 0, Q0 = 1, αk= (Pk+√
d)/Qk, ak= [αk], Pk+1 =akQk−Pk, Qk+1 = (n−Pk+12 )/Qk
vớik = 0,1,2, ... . Khi đĩ nêupk/qklà giạn phađn thứ kcụa√dthìp2k−nqk2 = (−1)k−1Qk+1. Định lý này sẽ giúp chúng ta xác định tât cạ các nghim cụa phương trình Pell: x2−dy2 = 1, cũng như cụa phương trình: x2−dy2 =−1.
Định lý 8.8. Giạ sửd >0 khođng là sơ chính phương, pk/qk là giạn phađn thứ
k và n là đ dài chu kỳ cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d. Khi đĩ, nêu
n chẵn thì các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2 −dy2 = 1 là
x=pjn−1, y=qjn−1, j = 1,2,3, ...và phương trình Diophantusx2−dy2 =−1
vođ nghim. Nêu n lẹ thì các nghim dương cụa phương trình Diophantus
x2 −dy2 = 1 là x = p2jn−1, y = q2jn−1, j = 1,2,3, ... và các nghim cụa phương trình Diophantusx2−dy2 =−1làx=p(2j−1)n−1, y =q(2j−1)n−1, j = 1,2,3, ... .
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 133 Chứng minh. Theo định lý 8.7, nêu x0, y0 là nghim cụa phương trình x2 −
dy2 =±1 thì x0 =pk, y0 =qk, với pk/qk là giạn phađn cụa phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa √d. Vì phađn sơ lieđn túc cụa √d có dáng √d = [a0;a1, ..., an ]
neđn Qjn=Q0 = 1 với j = 1,2,3, ... , trong đĩ Pj, Qj, αj, aj được xác định trong định lý 7.16. Ta có
p2k−nqk2 = (−1)k−1Qk+1;
suy ra, trong trường hợp n chẵn thì
p2jn−1−dqjn−12 = (−1)jnQjn= 1.
Cũng vy, nêu n lẹ thì
p22jn−1−dq2jn−12 = (−1)2jnQ2jn= 1
và
p2(2j−1)n−1−dq2(2j−1)n−1 = (−1)(2j−1)nQ(2j−1)n=−1.
Đeơ chứng tỏ các Diophantus x2 − dy2 = 1 và x2 −dy2 = −1 khođng còn các nghim khác, ta chư caăn chứng tỏ raỉng Qk+1 = 1 sẽ kéo theo n | k và
Qj =−1 với j = 1,2,3, ... .
VìQk+1 = 1thì αk+1 =Pk+1+√
dvàαk+1 = [ak+1;ak+2, ...]có biu din phađn sơ lieđn túc tuaăn hồn thuaăn chụng. Từ đĩ −1< α = Pk+1−√d < 0.
Suy ra Pk+1 = [√
d], cũng vy αk =α0 vàn |k.
Giạ sửQj =−1với j ≥1nào đĩ. Thê thì αj =−Pj−√d.Vìαj có biu din phađn sơ lieđn túc tuaăn hồn thuaăn chụng neđn −1< αj =−Pj +√
d <0
vàαj >1.Suy ra √d < Pj <−1−√d, và đieău này khođng theơ xạy ra.
Ví dú 8.4.1. Vì phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa√13là[3; 1,1,1,1,6 ]neđn các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2−13y2 = 1 làx=p10j−1, y=
q10j−1, với p10j−1/q10j−1 là giạn phađn thứ (10j−1) cụa phađn sô lieđn túc cụa
√
13, j = 1,2,3, ... .Nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1
là x1 = p9 = 649, y1 = q9 = 180. Các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2 −13y2 = −1 là x = p10j−6, y = q10j−6, với j = 1,2,3, ... .
Nghieơm dương nhỏ nhât cụa phương trìnhx2−13y2 =−1làp4 = 18, q4 = 5.
Ví dú 8.4.2. Vì phađn sơ lieđn túc đơn giạn cụa 14là [3; 1,2,1,6 ] neđn các nghim dương cụa phương trình Diophantus x2−14y2 = 1 là x=p4j−1, y =
q4j−1, với p4j−1/q4j−1 là giạn phađn thứ (4j −1) cụa phađn sô lieđn túc cụa
√
14, j = 1,2,3, ... .Nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1
là x1 = p3 = 15, y1 = q3 = 4. Phương trình Diophantus x2−14y2 = −1 vođ nghieơm.
Định lý 8.9. Nêux1, y1 là nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình Diophan- tus x2−dy2 = 1 và sơ nguyeđn dương d khođng là sơ chính phương thì tât cạ các nghim dươngxk, yk được cho bởi
xk+yk√
d = (x1+y1√
d)k , với k= 1,2,3, ... .
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng tỏ raỉng xk, yk là nghim cụa phương trình và mi nghim dương cụa phương trình đeău cĩ dáng này.
Vì xk+yk√ d= (x1+y1√ d)k neđn xk−yk√ d= (x1−y1√ d)k. Suy ra x2k−dyk2 = (xk+yk√ d)(xk−yk√ d) = (x1+y1√ d)k(x1−y1√ d)k = (x21−dy12)k= 1.
Bađy giờ ta giạ sửX, Y là nghim dương cụa phương trình nhưng khođng baỉng mt xk, yk nào cạ. Thê thì cĩ sơ nguyeđn dương n sao cho
(x1 +y1√ d)n< X +Y√ d <(x1+y1√ d)n+1. Suy ra 1<(x1+y1√ d)−n(X+Y√ d) = (x1−y1√ d)n(X+Y√ d)<(x1 +y1√ d). Đaịt r+s√ d= (x1−y1√ d)n(X+Y√ d). Ta có r2−ds2 = (r−s√ d)(r+s√ d) = (x1+y1√ d)n(X−Y√ d)(x1−y1√ d)n(X+Y√ d) = (x21−dy12)n(X2−dY2) = 1.
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 135 Vì r, slà nghim cụa phương trình Diophantus x2−dy2 = 1 và1< r+s√
d ta suy ra 0<(r+s√ d)−1 = (r−s√ d)<1. Do đĩ r= 1 2 (r+s√ d) + (r−s√ d) >0 và s= 1 2 (r+s√ d)−(r−s√ d) >0.
Như vy thìr, slà nghim dương cụa phương trình mà r+s√
d < x1+y1√
d
và đieău này vođ lý giạ thiêt veă x1, y1.
Ví dú 8.4.3. Chúng ta đã biêt x1 = 649, y1 = 180 là nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình x2−13y2 = 1,vy phương trình cĩ tât cạ các nghim dương xk, yk mà xk+yk√ 13 = (x1+y1√ 13)k. Chẳng hán x2+y2√ 13 = (x1+y1√ 13)2 = 842401 + 233640√ 13
neđn x2 = 842401, y2 = 233640 là nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình
x2−13y2 = 1, khác x1 = 649, y1 = 180.
BÀI TP CHƯƠNG VIII
1. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là b ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì hoaịc
x hoaịc y là bi cụa 3.
2. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là b ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì cĩ
3. Chứng minh raỉng nêu x, y, z là b ba Pythagoras nguyeđn thuỷ thì cĩ
mt trong ba sơ x, y, z là bi cụa 4.
4. Chứng minh raỉng mi sơ nguyeđn dương lớn hơn 2 đeău là mt thành
phaăn cụa ít nhât mt b ba Pythagoras.
5. Đaịt x1 = 3, y1 = 4, z1 = 5 và với n= 2,3,4, ... đaịt
xn+1 = 3xn+ 2zn+ 1
yn+1 = 3xn+ 2zn+ 2
zn+1 = 4xn+ 3zn+ 2.
Hãy chứng tỏ raỉng xn, yn, zn là b ba Pythagoras với mĩi n.
6. Chứng tỏ raỉng nêu x, y, z là b ba Pythagoras với y =x+ 1 thì x, y, z
là b ba Pythagoras trong bài tp 5.
7. Tìm tât cạ các nghim dương cụa phương trình Diophantusx2+2y2 =z2.
8. Tìm tât cạ các nghim dương cụa phương trình Diophantusx2+3y2 =z2.
9. Tìm tât cạ các nghim dương cụa phương trình Diophantus:
w2+x2 +y2 =z2.
10. Tìm tât cạ các b ba Pythagoras chứa sơ 12.
11. Tìm tât cạ các b ba Pythagoras x, y, z với z =y+ 1.
12. Tìm tât cạ các b ba Pythagoras x, y, z với z =y+ 2.
13. Chứng minh raỉng sơ các b ba Pythagoras x2+y2 =z2 với xcơ định, baỉng (τ(x2)−1)/2 nêu x lẹ, và baỉng (τ(x2/4)−1)/2 nêu x chẵn. 14. Tìm tât cạ các nghim dương cụa phương trình Diophantusx2+py2 =z2,
trong đó plà sơ nguyeđn tơ.
15. Tìm tât cạ các nghim dương cụa phương trình Diophantus:
1/x2+ 1/y2 = 1/z2.
16. Hãy viêt các sơ sau thành toơng cụa hai sơ chính phương:
8.4. PHƯƠNG TRÌNH PELL 137 17. Xác định xem sơ nào trong các sơ sau viêt được thành toơng cụa hai
bình phương:
19, 25, 29, 45, 65, 80, 99, 999, 1000.
18. Chứng minh raỉng sơ nguyeđn dng là hiu cụa hai sơ chính phương khi và chư khi nĩ khođng có dáng 4k+ 2.
19. Chứng minh raỉng sơ nguyeđn dng khođng là toơng cụa ba sơ chính
phương khi nĩ cĩ dáng 8k+ 7.
20. Chứng minh raỉng sơ nguyeđn dng khođng là toơng cụa ba sơ chính phương khi nĩ cĩ dáng 4m(8k+ 7), với m≥0.
21. Hãy viêt các sơ sau thành toơng cụa bơn sơ chính phương:
7, 15, 34, 105, 510, 238, 3570.
22. Chứng minh raỉng mĩi sơ nguyeđn n ≥170đeău là toơng các bình phương cụa nm sơ nguyeđn dương.
23. Chứng minh raỉng sơ 2m khođng là toơng các bình phương cụa bơn sơ
nguyeđn dương, với mĩi sơ lẹ m.
24. Chứng minh raỉng nêu p nguyeđn tơ và a khođng chia hêt cho p thì cĩ các sơ nguyeđn x, y sao cho ax≡y (modp) và 0<|x|,|y|<√
p.
25. Tìm tât cạ các nghim cụa các phương trình Diophantus sau: a) x2+ 3y2 = 4
b) x2+ 5y2 = 7
c) 2x2+ 7y2 = 30
26. Tìm tât cạ các nghim cụa các phương trình Diophantus sau: a) x2−y2 = 8
b) x2−4y2 = 40
c) 4x2−9y2 = 100
27. Phương trình Diophantus x2 −31y2 = n cĩ nghim với những giá trị
nào cụa n cho sau đađy:
28. Tìm nghim dương nhỏ nhât cụa các phương trình Diophantus sau:
a) x2−29y2 =−1, b) x2−29y2 = 1
29. Tìm ba nghim dương nhỏ nhât cụa phương trình Diophantusx2−37y2 = 1.
30. Phương trình Diophantus x2 −dy2 = −1 cĩ nghim với những giá trị nào cụa d cho sau đađy:
a) 2, b) 3, c) 6, d) 13, e) 17, f) 31, g) 41, h) 50.
31. Chứng minh raỉng nêu d là sơ nguyeđn dương chia hêt cho sơ nguyeđn
tơ dáng 4k+ 3 thì phương trình Diophantus x2−dy2 = −1 khođng có nghieơm.
32. Cho d, n là các sơ nguyeđn dương.
a) Chứng tỏ raỉng nêur, slà nghim cụa phương trình Diophantus x2−
dy2 = 1 vàX, Y là nghim cụa phương trình Diophantus x2−dy2 =n
thì Xr±dY s, Xs±Y r cũng là nghim cụa phương trình Diophantus
x2−dy2 =n.
b) Chứng tỏ raỉng phương trình Diophantusx2−dy2 =nhoaịc vođ nghieơm, hoaịc cĩ vođ sơ nghim.
33. Chứng minh raỉng các phương trình Diophantus sau đađy khođng cĩ nghim khođng taăm thường:a) x4−2y4 = 1, b) x4−2y2 =−1.