Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
2.2. Tính chất thớ nghịch đảo Tính chất ba khơng gian đối với các tập
compact dãy
2.2.1. Định nghĩa Cho H là nhĩm con đĩng bất biến của nhĩm tơpơ G và khơng gian thương G H/ . Một tính chất P (tơpơ, đại số, hoặc cả hai) được gọi là tính chất ba khơng gian nếu cả khơng gian H và cĩ tính chất P thì G cũng cĩ tính chất P .
2.2.2. Định nghĩa Một tính chất tơpơ P được gọi là tính chất thớ nghịch đảo nếu với mọi tồn ánh liên tục f X: Y ta cĩ khơng gian Y và thớ của f cĩ tính chất P , thì khơng gian X cũng cĩ tính chất P .
2.2.3. Định nghĩa Tính chất P được gọi là tính chất thớ nghịch đảo chính quy nếu với mọi ánh xạ f X: Y sao cho khơng gian X là chính quy và khơng gian Y cùng với thớ của f cĩ tính chất P , thì khơng gian X cũng cĩ tính chất
P .
2.2.4. Bổ đề Mỗi tính chất thớ nghịch đảo là tính chất ba khơng gian. Chứng minh
Cho P là một tính chất sợi nghịch đảo và H là một nhĩm con đĩng bất biến của nhĩm tơpơ G. Giả sử rằng cả H và khơng gian thương G H/ đều cĩ tính chất sợi nghịch đảo P . Ta chứng minh khơng gian G cũng cĩ tính chất P .
Lấy y G H / thì tồn tại x G : ( ) x y. Suy ra 1 y xH là một ảnh đồng phơi của H, vì thế sợi 1 y cĩ tính chất P với mỗi y G H / . Theo Định nghĩa tính chất sợi nghịch đảo thì G cũng cĩ tính chất P .
2.2.5. Định nghĩa Cho P là một tính chất tơpơ. Khơng gian X được gọi là
P đĩng (P compact) nếu với mỗi tập con của X với tính chất P là tập đĩng (compact).
2.2.6. Bổ đề Cho P là tính chất tơpơ được bảo tồn qua ánh xạ liên tục và di truyền qua tập đĩng. Khi đĩ tính chất P đĩng là một tính chất thớ nghịch đảo chính quy và tính chất P compact là một tính chất thớ nghịch đảo.
Chứng minh
1. Tính chất P đĩng là một tính chất thớ nghịch đảo chính quy.
Lấy f X: Y là một ánh xạ sao cho khơng gian X là chính quy và khơng gian Y cùng với thớ của f là P đĩng.
Giả sử C là tập con của X cĩ tính chất P và C khơng đĩng, khi đĩ ta cĩ thể lấy một điểm x C C \ . Tập D C f1f x là tập con đĩng của C nên cĩ tính chất P .
Mặt khác, do thớ f1f x là P đĩng nên D là đĩng trong X.Vì X là khơng gian chính quy và x D , chúng ta cĩ thể chọn một lân cận mở U của
x X sao cho D U . Khi đĩ E U C cĩ tính chất P do nĩ là tập con đĩng của C và x E E \ . Suy ra từ cách chọn của U sao cho D E và
\
f x f E f E , nên f E là một tập con khơng đĩng của Y với tính chất
P , mâu thuẫn với Y là P đĩng . Vậy C đĩng trong X.
2. Tính chất P compact là một tính chất thớ nghịch đảo.
P compact. Giả sử A là một tập con của X cĩ tính chất P , khi đĩ ảnh
B f A là một tập con của Ycĩ tính chất P , cho nên B là compact. Mặt khác, nếu y B , thì Ay A f1 y là một tập con đĩng của A nên nĩ cĩ tính chất P . Do f1 y là một P compact, suy ra rằng Ay là compact, vì vậy
:
A
g f A B là một ánh xạ cĩ thớ compact.
Lấy K là tập con đĩng trong A, khi đĩ K là một tập con của X cĩ tính chất P cho nên f K g K là tập con cĩ tính chất P trong Y, do đĩ g K là compact và đĩng trong B. Vậy ta cĩ g là ánh xạ hồn chỉnh. Do B là compact, chúng ta kết luận rằng A cũng là compact.
2.2.7. Bổ đề Tính chất “thỏa tiên đề đếm được thứ nhất” là một tính chất thớ
nghịch đảo đối với tập compact dãy.
Chứng minh
Bổ đề trên cĩ thể phát biểu lại là: Tính chất “mọi tập compact dãy đều thỏa tiên đề đếm được thứ nhất” là tính chất thớ nghịch đảo.
Cho tồn ánh liên tục f X: Y. Giả sử mọi tập con compact dãy của cả hai khơng gian Y và thớ f1 y với mọi y Y đều thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. Lấy E là tập con compact dãy của X, thì ảnh F f E là compact dãy, do đĩ thỏa mãn F
Lấy một điểm tùy ý x E và đặt y f x . Thì y F, cho
:
E
g f E F. Do khơng gian F thỏa tiên đề đếm được thứ nhất và mọi tập con compact dãy của khơng gian đếm được thứ nhất là đĩng nên g là ánh xạ đĩng. Tập Ex g y1 E f1f x là tập con đĩng compact dãy của E, cho nên Ex . Chúng ta cĩ g x F , và x E, x , khi đĩ ta cĩ
x E, . Điều này chứng tỏ rằng E , nên E thỏa tiên đề đếm được thứ nhất.
2.2.8. Định nghĩa Khơng gian X được gọi là P địa phương nếu với mọi
x Xtồn tại một lân cận U của x cĩ tính chất P .
Bổ đề sau cĩ thể vận dụng vào các khơng gian sau: khơng gian dãy, khơng gian Fréchet, khơng gian Fréchet ngặt, khơng gian Fréchet ngặt và khơng gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất.
2.2.9. Bổ đề Cho P là một tính chất tơpơ thoả:
i. Tổng tơpơ rời rạc của các khơng gian cĩ tính chất P thì cĩ tính chất P . ii. P được di truyền qua các tập mở.
iii. P được bảo tồn qua ánh xạ mở liên tục.
Khi đĩ khơng gian X là P địa phương nếu và chỉ nếu X cĩ tính chất P
2.2.10. Định lý Cho H là một nhĩm con đĩng của nhĩm tơpơ G và khơng gian thương /G H. Những tính chất sau là tính chất ba khơng gian:
(a) Mọi tập con compact dãy là đĩng. (b) Mọi tập con compact dãy là compact. (c) Mọi tập con compact dãy cĩ tính chất dãy.
(d) Mọi tập con compact dãy đều thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. (e) Mọi tập con compact dãy là mêtric.
Chứng minh
- Theo bổ đề 2.2.4 và 2.2.6 ta cĩ (a) và (b).
- Chứng minh (c). Giả sử rằng H là một tập con đĩng của nhĩm tơpơ G và mọi tập con compact dãy của cả nhĩm H và khơng gian thương G H/ cĩ tính chất dãy. Theo bổ đề 2.1.14 thì mọi tập con compact dãy của H và G H/ là đĩng và từ (a) ta cĩ tất cả tập con compact dãy của G là đĩng. Lấy F là một tập con compact dãy của G, giả sử rằng E là tập con đĩng theo dãy của F, thì E
cũng là tập con compact dãy của G, do đĩ E đĩng trong G tức là F cĩ tính dãy.
Vậy, mọi tập con compact dãy của G đều cĩ tính chất dãy. Do đĩ ta cĩ (c). - Theo bổ đề 2.2.4 và 2.2.7 ta cĩ (d).
- Theo bổ đề 2.1.17 và (d) ta cĩ (e).
2.2.11. Bổ đề Nếu mỗi khơng gian con compact (compact đếm được, compact
dãy) của nhĩm tơpơ G là Fréchet thì mỗi khơng gian con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhĩm tơpơ G cũng là khơng gian Fréchet mạnh.
Chứng minh
Đầu tiên mỗi tập con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhĩm tơpơ G là đĩng theo giả thiết và mệnh đề 2.1.15. Cho A là tập con compact (compact đếm được, compact dãy) của G, khi đĩ A là đĩng và là khơng gian Fréchet.
Giả sử rằng An n là một dãy giảm của tập con của A với n.
n
a A
Chúng ta cĩ thể giả sử rằng a là một điểm tụ của A. Khi đĩ A là Fréchet, tồn tại một dãy an n trong A a\ hội tụ về a.
Đặt:
1
B a A và Bn a A b1 n, n a a1 n với mỗi n
Khi đĩ, tập B đĩng trong G. Cho e là phần tử đơn vị trong nhĩm G. Thì
1
n n , n \
e a A B B b B e với mỗi n , và dãy bn n hội tụ về e. Tồn tại dãy Vn n của lân cận đối xứng mở của e trong G với bnVn2, n . Với mỗi n , đặt Cn b Bn( n Vn) . Khi đĩ bnCn với e B nVn , trong đĩ
n
e C khi Vn Cn Vnb Vn n . Đặt:
n : D C n và S e b nn: . Khi đĩ: n n n D b B SB
Tiếp theo, chúng ta chứng tỏ rằng khơng gian con SB của G là đĩng và Fréchet. Rõ ràng, S là compact và compact dãy. Khi A là tập compact (compact đếm được, compact dãy), thì B cũng là compact (compact dãy, vì khơng gian Fréchet đếm được là compact dãy), do dĩ tích S B của khơng gian S và B là compact (compact dãy). Khi phép nhân trong G là đồng thời liên tục và tập con
SB của G là ảnh liên tục của tập con S B của G G dưới ánh xạ nhân, SB là compact (compact dãy). Cho nên, SB là đĩng và Fréchet theo giả thiết.
Khi bnCn với mỗi n và bn e, thì e D SB , và cĩ một dãy dk k trong D hội tụ về e. Với mỗi n , khi e C n, Cn chứa hữu hạn phần tử của dãy dk k. Ta cĩ dãy con Cnk k của dãy Cn n sao cho
k k n d C với mỗi k .Vì 1 k k k k k n n n n n C b B b a A nên ta cĩ 1 k k k n n d b a x với k k n n x A và với mỗi k . Suy ra ( )1 k k n n k x a b d a khi k . Đặt k n n y x với 1 k k
n n n , ta cĩ ynAn với mỗi n và yn a. Do đĩ, A là Fréchet mạnh.
2.2.12. Bổ đề. Cho X là khơng gian chính quy và f X: Y là ánh xạ đĩng. Giả sử rằng b X là một Gđiểm trong khơng gian F f 1( ( ))f b (tập một điểm b là một Gtập trong khơng gian F) và F là Fréchet tại b. Nếu khơng gian Y là Fréchet mạnh thì X là Fréchet tại b.
2.2.13. Bổ đề Cho X là một khơng gian chính quy và ánh xạ f X: Y là đĩng. Giả sử rằng b X là một G điểm trong khơng gian F f 1( ( ))f b và
F là compact đếm được, Fréchet ngặt tại b. Nếu khơng gian Y Fréchet ngặt tại
Chứng minh
Áp dụng tính chất chính quy của khơng gian tơpơ X , chúng ta cĩ thể xây dựng dãy Un n của tập con mở trong X sao cho
n
n
b F U , và Un1Un
với mỗi n .
Cho An n là dãy trong tập con của X và
n n b A . Với mỗi n , đặt n n n
B A U và Cn f B( )n . Rõ ràng, b B n và vì vậy sự liên tục của f thể hiện rằng c f b C ( ) n . Khi Y là Fréchet hồn tồn tại c, tồn tại ynCn với mỗi n sao cho dãy yn hội tụ về c. Với mỗi n , lấy xnBn An với
n n
f x y . Chúng ta kết luận rằng dãy xn n hội tụ về b, cĩ nghĩa X là Fréchet hồn tồn tại b.
Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng mỗi dãy con của dãy xn n trong X cĩ một điểm hội tụ trong tập compact đếm được F. Lấy xnk klà dãy con của dãy xn n, thì k n f x c. Nếu ( ): k n f x k là một tập hữu hạn, chúng ta giả sử rằng k n
f x c với mỗi k . Khi F là tập compact đếm được, dãy xnk k
trong X cĩ một điểm hội tụ trong F. Nếu :
k
n
f x k khơng là tập hữu hạn, thì nĩ khơng là tập đĩng rời rạc trong Y. Nếu f là đĩng, dãy xnk k một điểm hội tụ trong F. Suy ra, mỗi dãy con của xn n một điểm hội tụ trong F.
Tiếp theo, lấy một điểm tùy ý z F khác b. Tồn tại m sao cho
m
z U . Nếu x n mn: Um, ta cĩ z khơng thể là điểm hội tụ của bất kì dãy con của xn n. Do đĩ, b là điểm hội tụ duy nhất của mọi dãy con của xn n, cĩ nghĩa là xn nhội tụ về b.
2.2.14. Định lý Giả sử rằng H là nhĩm con đĩng của nhĩm tơpơ G sao cho mọi tập con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhĩm H thỏa tiên đề đếm được thứ nhất.
Nếu khơng gian thương G H/ cĩ một trong những tính chất sau:
(a) Mọi tập con compact (compact đếm được, compact dãy) là Fréchet mạnh;
(b) Mọi tập con compact (compact đếm được, compact dãy) là Fréchet ngặt,
thì G cũng cĩ tính chất đĩ.
Thêm nữa, nếu H là nhĩm con bất biến của nhĩm G và nhĩm thương /
G Hcĩ tính chất sau thì G cũng cĩ tính chất đĩ:
(c) Mọi tập con compact (compact đếm được, compact dãy) là khơng gian Fréchet.
Chứng minh
Dễ thấy rằng mọi nhĩm tơpơ T2 là khơng gian chính quy. Lấy C là tập con compact (compact đếm được, compact dãy) của nhĩm tơpơ G. Theo mệnh đề 2.1.14, 2.2.4 và 2.2.6, tập C là đĩng trong G.
Đặt :
C
f C C , thì ta cĩ C là compact (compact đếm được, compact dãy) trong G H/ . Theo bổ đề 2.1.6 ta cĩ f là ánh xạ đĩng và
1 1
( ) ( )
b C. Khi đĩ, b là tập con của khơng gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất
1 (b) f f nên b là G tập. Theo bổ đề 2.2.11 và 2.2.12 ta cĩ (a). Theo bổ đề 2.2.13 ta cĩ (b).
Theo bổ đề 2.3.11 ta cĩ C là khơng gian Fréchet mạnh, cho nên C
Chương 3. NHĨM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHĨM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI
VÀ NHĨM CON COMPACT ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 3.1. Lưới trong khơng gian tơpơ và 0khơng gian
3.1.1. Định nghĩa Cho P là một họ các nhĩm con của khơng gian tơpơ X. - Họ P được gọi là lưới của X nếu bất kì x U với U là mở trong X thì tồn tại PP sao cho x P U .
- Họ P được gọi là klưới của X nếu với mọi A U , trong đĩ A là compact và U là mở trong X, thì tồn tại một họ hữu hạn P' P sao cho
A P' U.
- Họ P được gọi là cslưới của X nếu dãy xn n hội tụ về x trong X và một lân cận U của x trong X thì x x n nn : 0 P U với n0 và
P P .
Họ P được gọi là wcs* lưới của X nếu dãy xn n hội tụ về x trong X
và một lân cận U của x trong X thì tồn tại dãy con xnk k của xn n sao cho
:
k
n
x k P U với n0 và PP .
3.1.2. Mệnh đề Cho X là một khơng gian tơpơ, ta cĩ: i. Mọi cơ sở là một klưới và cslưới trong X.
ii. Mọi klưới hoặc cslưới là một wsc* lưới trong X.
3.1.3. Mệnh đề Những điều dưới đây là tương đương trong khơng gian X: i. X cĩ một cs lưới đếm được.
ii. X cĩ một k lưới đếm được. iii. X cĩ một wsc*lưới đếm được.
3.1.4. Định nghĩa [9] Khơng gian X là 0 khơng gian nếu nĩ là khơng gian chính quy và cĩ một cs lưới (k lưới) đếm được.
3.1.5. Định nghĩa Khơng gian X là khơng gian cosmic nếu nĩ là T1 khơng gian và cĩ một lưới đếm được.
3.1.6. Mệnh đề [8]
i. Mọi khơng gian khả ly mêtric là 0 khơng gian. ii. Mọi 0 khơng gian là khơng gian cosmic.