Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3.3. Nhĩm thương đối với nhĩm con khả mêtric compact địa phương
Trong phần này chúng ta tiếp tục nghiên cứu sự thác triển của nhĩm tơpơ với tác động của nhĩm con compact mêtric địa phương.
Arhangel’skii đã phát hiện ra một số định lý mở rộng trong nhĩm tơpơ khi ơng nghiên cứu về nhĩm thương trong mối liên quan với nhĩm con compact địa phương hoặc khơng gian con compact mêtric địa phương. Chúng ta cĩ các kết quả sau:
3.3.1. Định nghĩa Một khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian Cech đầy đủ nếu nĩ cĩ chứa một dãy đầy đủ của phủ mở.
3.3.2. Tính chất Cho G là một nhĩm tơpơ và H là nhĩm con của G:
a) Nếu H là compact địa phương và khơng gian thương G H/ là khơng gian Cechđầy đủ khơng gian, khơng gian mạnh, pkhơng gian, kkhơng gian, khơng gian paracompact) thì nhĩm G cũng là compact địa phương.
b) Nếu H là compact mêtric địa phương và khơng gian thương G H/ là khơng gian Fréchet (khơng gian Fréchet mạnh, hoặc cĩ tính chất đếm được ngặt) thì G cũng là compact mêtric địa phương.
Ta cĩ bổ đề đã được Arhangel’skii chứng minh:
3.3.3. Bổ đề [3] Cho H là nhĩm con compact địa phương của nhĩm tơpơ G
và :GG H/ là phép chiếu của G lên khơng gian thương G H/ . Khi đĩ, tồn tại một lân cận mở U của phần tử đơn vị e sao cho U là đĩng trong
/
G H và ánh xạ hạn chế :
U U U là ánh xạ hồn chỉnh, và như vậy là ánh xạ đầy đủ mở địa phương.
3.3.4. Định lý Cho H là một nhĩm con khả mêtric compact địa phương của nhĩm tơpơ G. Khi đĩ, nếu khơng gian thương G H/ cĩ tính dãy thì G cũng cĩ tính dãy.
Chứng minh
Theo bổ đề 3.3.3, giả sử lân cận mở U của phần tử đơn vị e trong G sao cho U :U U là ánh xạ đầy đủ và U là đĩng trong G H/ .
Khẳng định 1: Giả sử rằng xn n là dãy trong U sao cho n
n
x là dãy hội tụ trong U . Nếu y là điểm tụ của dãy xn n thì tồn tại một dãy con của xn n hội tụ về x với x y.
Do
U là ánh xạ hồn chỉnh nên mỗi dãy con của xn ncĩ một điểm tụ trong U . Đặt: 1 ( ) F x U
Ta cĩ 1( )x là mêtric và G chính quy nên tồn tại dãy Uk kcác tập
con mở trong G sao cho Uk1 Uk với mỗi k N và x F k N Uk. Lấy dãy con xnk của xn nsao cho
k
n k
x U với mỗi k N . Cho p là điểm hội tụ của dãy con của dãy xnk . Khi đĩ p x và p k N Uk. Suy ra p x .
Điều đĩ chứng tỏ rằng x là điểm tụ duy nhất của mỗi dãy con của xnk , vì thế
k
n
x x.
Lấy một lân cận mở V của e trong G sao cho V U
Khẳng định 2: Nếu C là đĩng theo dãy trong V thì C là đĩng trong V . Cho yn n là một dãy trong C sao cho yn y trong V . Chúng ta sẽ chứng minh rằng y C .
Lấy xnCvới xn ynvới mỗi n N . Khi đĩ mỗi dãy con của dãy xn ncĩ một điểm tụ theo khẳng định 1 nên tồn tại một điểm x1 y và dãy con xnk k của dãy xn n sao cho
k
n
x x. Do C là tập đĩng theo dãy, nên
x C và y C . Điều đĩ chứng tỏ rằng C là tập đĩng theo dãy trong
V . Do U :U U là một ánh xạ đĩng và U là đĩng trong G H/ nên V là đĩng trong G H/ . Vì G H/ cĩ tính dãy nên V cũng cĩ tính dãy, và như vậy C là đĩng trong V .
Khẳng định 3: V là khơng gian dãy con của G.
Giả sử rằng tồn tại một tập con A đĩng theo dãy nhưng khơng đĩng trong
V . Lấy một điểm x cl A A V \ . Rõ ràng, cl AV A.
Lấy f V :V V . Tập B A f1f x là tập đĩng theo dãy do nĩ là một tập con đĩng của A và do thớ f1f x 1 x V cĩ tính dãy nên ta cĩ B là đĩng trong V . Ta cĩ x B nên tồn tại lân cận mở W của x trong
V sao cho W B . Khi đĩ C W A cũng là tập đĩng theo dãy do nĩ là tập con đĩng của A và x C C \ . Suy ra C f1f x W B .
Ta cĩ f x f C \ f C , do đĩ f C C là khơng đĩng trong V
, mâu thuẫn với khằng định 2.
Theo khẳng định 3 và tính thuần nhất của G suy ra G là một khơng gian dãy địa phương. Như vậy, G là một khơng gian dãy.
Nhận xét: Tính dãy khơng phải là tính chất ba khơng gian. Thật vậy, tồn tại
ngặt. Đặt H' e H với e là phần tử đơn vị trong G. Khi đĩ H' là nhĩm con
bất biến đĩng của G H và nhĩm thương G H / 'H đẳng cấu với G. Suy ra,
'
H và G H / 'H cĩ tính dãy, nhưng G H lại khơng cĩ tính dãy.
3.3.5. Hệ quả Cho H là nhĩm con bất biến, compact địa phương, thỏa tiên đề đếm được thứ hai của nhĩm tơpơ G. Khi đĩ, nếu nhĩm thương G H/ là một khơng gian dãy với một cslưới (hay k lưới, wcs*lưới) đếm được điểm thì
G cũng là một khơng gian dãy với cslưới (hay k lưới, wcs* lưới) đếm được điểm.
3.3.6. Định lý Cho H là một nhĩm con khả mêtric compact địa phương của nhĩm tơpơ G. Khi đĩ, nếu khơng gian thương G H/ là khơng gian Fréchet ngặt thì G cũng là khơng gian Fréchet ngặt.
Chứng minh
Do Bổ đề 3.3.3, tồn tại một lân cận mở U của phần tử đơn vị e trong nhĩm tơpơ G sao cho U :U U là ánh xạ hồn chỉnh và U là đĩng trong
/
G H. Đặt
U :
f U U .
Hiển nhiên, f U U là khơng gian Fréchet ngặt và
1 ( ) 1 ( )
f f b b U bH U là compact và mêtric với mọi b U .
Mặt khác ta cĩ khơng gian khả mêtric là cũng là khơng gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nên tập một điểm b là một Gtập. Theo bổ đề 2.2.13, U là khơng gian Fréchet ngặt.
3.3.7. Định lý Cho H là một nhĩm con bất biến và liên thơng, khả mêtric, compact địa phương của nhĩm tơpơ G. Khi đĩ, nếu nhĩm thương G H/ là liên thơng dãy thì G cũng là liên thơng dãy.
Chứng minh
Ta đã biết nếu nhĩm tơpơ G khơng liên thơng dãy thì tồn tại hai tập con khác rỗng, rời nhau, mở theo dãy A và B của G sao cho G A B . Nếu
/
y G H, thì x y với x G , nên 1 y xH là liên thơng dãy. Do đĩ
1
y A hay 1 y B. Dẫn đến tồn tại hai tập con khác rỗng, rời nhau C
và D của G H/ sao cho G H C D/ ,1 C A
và 1 D B.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng C và D là mở theo dãy trong G H/ . Điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn do G H/ là liên thơng dãy.
Giả sử C khơng mở theo dãy trong G H/ thì tồn tại dãy yn n trong /
G H sao cho yn y Cvới ynCvới n . Khi đĩ y yn 1 e Cy 1 trong /
G H, với e là phần tử đơn vị của G H/ .
Lấy U là lân cận mở của e trong G như trong chứng minh của định lý 3.3.4, với e là phần tử đơn vị của G. Do U là mở nên ta cĩ thể giả sử rằng
1
n
y y U với mọi n .
Theo khẳng định 1 trong chứng minh của định lý 3.3.4, tồn tại một dãy hội tụ xk k trong U sao cho xk x với x thuộc G và
k
k n
x y y với mỗi
,
k ở đây xk klà một dãy con của yn nvới nk . Khi đĩ x e Cy 1,
Do 1 C A là mở theo dãy trong G nên 1 C 1 y1 cũng là mở theo dãy trong G, khi đĩ x 1 C 1 y1 với k . Vì vậy,
1 1 k n k y y x Cy và k n
y C, mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy, C là mở theo dãy. Chứng minh tương tự, ta cũng cĩ D là mở theo dãy.
Cho nhĩm tơpơ G và H là nhĩm con compact địa phương và liên thơng dãy của G. Nếu khơng gian thương G H/ là liên thơng dãy thì cĩ kết luận được rằng G cũng là liên thơng dãy hay khơng?
Câu trả lời là “cĩ”. Kết quả sau cĩ được trong [11, Định lý 3.5]:
Cho H là một nhĩm con đĩng, liên thơng dãy, chứa được của một nhĩm tơpơ Hausdorff G. Nếu khơng gian thương G liên thơng dãy thì G cũng liên thơng dãy.
KẾT LUẬN
Với mục đích đặt ra của luận văn là tìm hiểu sự “Thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhĩm tơpơ”, chúng tơi đã trình bày một số kiến thức chuẩn bị, các khái niệm và kết quả liên quan đến một số tính chất ba khơng gian trong dấu hiệu hội tụ của các tập compact dãy. Các tính chất liên quan đến lưới của nhĩm tơpơ cĩ thương đối với nhĩm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai, nhĩm con mêtric, compact địa phương. Cụ thể như sau:
Trình bày khái niệm và một số tính chất của tập compact dãy, tập thỏa tiên đề đếm được thứ hai và tập mêtric trong sự thác triển của nhĩm tơpơ.
Trình bày các tính chất ba khơng gian đối với các tập con compact dãy như tính đĩng, tính compact, tính thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, tính dãy, tính khả mêtric. Các tính chất ba khơng gian đối với các tập con compact, compact dãy và compact đếm được như tính Fréchet, tính Fréchet ngặt, tính Fréchet mạnh.
Tính dãy, tính Fréchet ngặt là các tính chất thác triển đối với nhĩm con H
khả mêtric, compact địa phương.
Tính 0 khơng gian, cslưới (wcs* lưới, lưới) hình sao đếm được,
cs lưới (wcs* lưới, k lưới) đếm được điểm là các tính chất thác triển liên quan đến lưới đối với nhĩm con H đĩng và thỏa tiên đề đếm được thứ hai.
Sự thác triển của tính liên thơng dãy với nhĩm con H là nhĩm con chuẩn tắc, liên thơng, khả mêtric, compact địa phương.
Thơng qua việc nghiên cứu về các tính chất ba khơng gian của các tập con compact, compact đếm được và compact dãy, ta thấy được vai trị quan trọng của nhĩm tơpơ thương trong việc thác triển các tính chất tơpơ với các nhĩm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai, các nhĩm con khả mêtric, compact địa phương. Đĩ là cơ sở để chúng tơi tiếp cận các vấn đề liên quan trong tương lai.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1. Trần Tráng (2001), Tơpơ đại cương, Nxb Đại học Sư phạm Tp.HCM. 2. Đậu Thế Cấp (2005), Tơpơ đại cương, Nxb Giáo dục.
Tiếng Anh
3. A.V. Arhangel’skiǐ, M.G. Tkachenko (2008), “Topological Groups
and Related Structures”, Atlanltis Press/ World Scientific, Paris/Hackensack, NJ.
4. A.V. Arhangel’skiǐ, V. V. Uspenskij (2006), “Topological groups: local versus global”, Appl. Gen. Topol, 7 (1), pp. 67-72.
5. M. Bruguera, M. Tkachenko (2004), “Extensions of topological groups do not respect countable compactness”, Quest. Answ. Gen. Topol, 22 (1),
pp.3337.
6. A. Fedeli, A. Le Donne (2002), “On good connected preimages”, Topol.
Appl, 125, pp. 489496.
7. S.P. Franklin (1965), “Spaces in which sequences suffice”, Fundam. Math,
(57), pp. 107115.
8. G. Gruenhage (1984), “Generalized metric spaces”, in: K. Kunen, J.E.
Vanghan (Eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, pp. 423501.
9. J.A. Guthrie (1971), “A characterization of o space”, Gen. Topol. Appl,
(1), pp. 105110.
10. Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its
Applications, 180, pp.167-180.
11. Shou Lin, M. Tkachenko (2013), “Connected LCA groups are sequentially connected”, Comment. Math. Univ. Carol, 54 (2), pp. 263272.
12. Chuan Liu, Shou Lin (2012), “Generalized metrics spaces with algebraic structures”, Topol. Appl, (157), pp. 19661974.
13. K. Morita (1962), “Paracompactness and product space”, Fund. Math,(50), pp 223 - 236.
14. M. Tkachenko (2014), “Paratopological and semitopological groups vs topological groups”, in: K.P.Hart, J. van Mill, P. Simon (Eds), Recent