Chương 2 NHĨM TƠPƠ LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG
2.2. Điều kiện tổng quát để nhĩm tơpơ G là liên thơng địa phương
Một khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian liên thơng địa phương nếu mỗi điểm xX cĩ một cơ sở lân cận mở liên thơng chứa x. Trong một nhĩm tơpơ, điều này tương đương với điều kiện yếu hơn rằng phần tử đơn vị cĩ một cơ sở lân cận liên thơng (khơng nhất thiết mở).
2.2.1. Bổ đề Nhĩm tơpơ G là liên thơng địa phương khi và chỉ khi với mọi
e
U , U chứa một tập liên thơng với phần trong khác rỗng trong G.
Chứng minh
Trong nhĩm tơpơ G, lấy:
W là một lân cận của e.
V là một lân cận mở đối xứng của e sao cho V2 W
.
U là một lân cận của e sao cho U V .
Nếu mỗi U chứa một tập liên thơng K với một điểm trong p thì
o o
ep1 K p K1 . Do đĩ p K1 là một lân cận liên thơng của e và
p K1 V2 W. Vậy G là liên thơng địa phương. Chiều ngược lại hiển nhiên.
Mặt khác, ta cĩ: U e,K U với K là một tập liên thơng và cs-trù mật trong G G là liên thơng địa phương.
2.2.2. Định nghĩa Cho khơng gian tơpơ X , khơng gian tơpơ tích XX với đường chéo D. Cho V X X mở, DV , W mở và liên thơng :
DW V thì X được gọi là liên thơng theo đường chéo.
Từ đĩ dễ thấy rằng G là liên thơng địa phương khi và chỉ khi nĩ là liên thơng theo đường chéo.
2.2.3. Định lí Cho G là nhĩm tơpơ , G G là khơng gian tơpơ tích. Khi đĩ, các mệnh đề sau đây là tương đương:
i) G là liên thơng địa phương. ii) G G là liên thơng địa phương.
iii) G là liên thơng theo đường chéo.
iv) G chứa khơng gian con C liên thơng theo đường chéo và cs-trù mật trong
G.
Chứng minh
) ) ) )
i ii iii iv là hiển nhiên. ) )
iv i .
Lấy U e và đặt DC D C C , ta cĩ C C chứa một tập W mở tương đối và liên thơng sao cho DC W ULC C . Khi đĩ:
, c : c
c C U c U
và Uc mở tương đối trong C UcUc W.
Do C cs-trù mật trong G nên một trong những tập Uc là cs-trù mật trong
G theo Bổ đề 2.1.1. Do đĩ, c Uc1 cs-trù mật trong G. Vì c Uc1 F W
nên
F W cs-trù mật trong G.
Hơn nữa, F W là liên thơng và chứa trong Uvì W UL. Như vậy, i) suy ra từ Bổ đề 2.2.1.
Chú ý: Họ các tập mở chứa đường chéo của một khơng gian khơng compact thì rất rộng.
Như vậy ta cĩ thể thêm vào mệnh đề v) cho Định lí 2.2.3: )
v G chứa một khơng gian con C liên thơng đều theo đường chéo và cs-trù
mật trong G.
Trong đĩ, liên thơng đều theo đường chéo yêu cầu chỉ những tập
L
Chiều ngược lại iv)i)đưa ra một giới hạn cho các kiểu khơng gian mà được nhúng cs-trù mật trong một nhĩm liên thơng khơng địa phương.
2.2.4. Mệnh đề G là liên thơng địa phương khi và chỉ khi với mọi U e, tập F K cs-trù mật trong G, trong đĩ K là thành phần liên thơng của UL
chứa đường chéo D.
Chứng minh
Vì F K là tập con liên thơng, cs-trù mật của U nên với giả thiết trên G
là liên thơng địa phương (suy ra từ Bổ đề 2.2.1).
Tập F K cs-trù mật trong G nếu K chứa một tập dạng p S hoặc
S p trong đĩ S cs-trù mật trong G.
Điều này chỉ ra rằng các tập con được chuyển sang G G và bởi vì khơng giống như điều kiện của Bổ đề 2.2.1, tập p S và S p khơng đâu trù mật trong G G . Do đĩ, chúng ta cĩ hệ quả sau:
2.2.5. Hệ quả G là liên thơng địa phương khi và chỉ khi với mọi U e, thành phần liên thơng K của UL chứa D bao gồm một tập dạng p S hoặc
S p , trong đĩ S cs-trù mật trong G. Trong phần tiếp theo ta xét:
F là một họ các ánh xạ trên tập X vào khơng gian đều Y, . Với mỗi V đặt W V là tập của tất cả các cặp f g, sao cho f x g x , V với mỗi x
trong X . Khi đĩ, W V f là tập của tất cả g sao cho g x V f x với mọi x trong X .
Với mọi U V, ta cĩ: W V 1 W V 1
, W U VW U W V và
W U V W U W V . Như vậy với V , họ tất cả các tập W V là một cơ sở đối với F bởi cấu trúc đều . Khi đĩ được gọi là tính đều của sự hội tụ đều và tơpơ của được gọi là tơpơ của sự hội tụ đều.
Trong đĩ: , : , W V f g g f1V : : , W V f g g V f g g x V f x xX . 2.3. Các ánh xạ vào G
Trong phần này, A là một khơng gian liên thơng và T là một họ của các
ánh xạ liên tục đi từ A vào G sao cho với hai phần tử f g, của T trùng nhau
trên một tập mở bất kì chứa trong tập liên thơng A. Với aA, đặt: T a =f a f T T A =f a a A và f T Ta :TG xác định bởi T fa f a Nếu U e và B T T, ta sử dụng kí hiệu: L U L W f g, T T f a g a, U , a A L L U U W f g T f g, W B f a g a , f g, B và a A
Ta thấy rằng tập
L U
W như là một cơ sở của tính đều của sự hội tụ đều đối với L. Cho tơpơ tương ứng T, trong đĩ
L U
W f là một lân cận cơ sở của f . Đây chính là tơpơ của sự hội tụ đều. Với tơpơ này, Ta là ánh xạ liên tục. Khi A
compact, tơpơ của sự hội tụ đều trùng với tơpơ compact mở.
2.3.1. Bổ đề Nếu mỗi U e, f T và p A sao cho
L U
W f p cs-trù mật trong G thì G là liên thơng địa phương.
Chứng minh
ĐặtU e với hàm f tương ứng và điểm p A . Với mỗigT,
f g, f a g a a A , là liên thơng, do đĩ nĩ là ảnh liên tục của A. Vì vậy, tập K D f WUL f liên thơng vì nĩ là hợp của các tập liên thơng, mỗi tập giao với D. Hơn nữa, K U L và chứa
L U
f p W f p . Như vậy chứng minh được suy ra từ Hệ quả 2.2.5.
2.3.2. Định lí Nếu T là Lindelưf và điểm p A sao cho T p là tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong G thì G là liên thơng địa phương.
Chứng minh
Xét U e. Vì T là Lindelưf nên họ các tập đếm được
L U i W f phủ T. Suy ra các tập L U i W f p phủ T p . Vì T p là tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong G nên tồn tại f T sao cho
L
o U
W f p . Kết quả suy ra từ Bổ đề 2.3.1.
Chú ý điều kiện để T là Lindelưf :A và T A là tập hợp đếm được thứ hai và A compact vì trong trường hợp này, tơpơ của T là tơpơ compact mở và chứa một tập continum B chứa e, đồng thời tồn tại một tập các đồng cấu liên tục của G vào chính nĩ sao cho b là tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong G
với mọi bB( ánh xạ thu hẹp trên B). Tuy nhiên, cách tiếp cận trong định lí sau đây cĩ lẽ sẽ hữu ích hơn trong vấn đề này.
2.3.3. Định lí Nếu tồn tại điểm pA sao cho một trong hai điều kiện sau đây thỏa mãn:
i) Tp là ánh xạ hầu mở hoặc
ii) Tp là ánh xạ hầu mở như một ánh xạ đi từ T vào T p và T p cs-trù mật trong G.
thì G là liên thơng địa phương.
Chứng minh
Ta chỉ cần giả thiết rằng cĩ ii). Xét U e. Theo giả thiết, các tập
p p UL
IntT ClT W f p phủ T p giống như f thỏa trên tồn T. Như vậy, do T p cs-trù mật trong G nên một trong những tập WUL f p cũng cs-trù mật trong G theo Bổ đề 2.1.2. Từ Bổ đề 2.3.1 ta cĩ được chứng minh.
Cho các tập X và Y. Nếu tồn tại một đơn ánh f X: Y thì ta viết card X card Y nếu tồn tại một song ánh f X: Y thì ta viết card X card Y ; nếu tồn tại một đơn ánh nhưng khơng tồn tại một song ánh từ X lên Y thì ta viết card X card Y .
Ta gọi card X là lực lượng (hay bản số) của tập X . Bản số bất biến là một ánh xạ cho giá trị là các bản số.
Bây giờ chúng ta trở lại với các định lí ánh xạ mở hay hầu mở. Chúng ta sẽ sử dụng bất biến bản số sau đây ([15]).
Ta kí hiệu:
Nếu S H trong đĩ H là nhĩm tơpơ thì: 1.w S minB B là cơ sở đối với : S + ω. 2.d S minQ Q: là một tập con trù mật của S.
3.L S số phần tử nhỏ nhất sao cho mọi phủ mở của S cĩ một phủ con mà bản số của nĩ .
4. S số phần tử nhỏ nhất sao cho với mỗi lân cận mở U của e trong H
tồn tại một tập S S sao cho S' và S S U .
Nếu 0 là một bản số, chúng ta nĩi rằng tập con A của một khơng gian
X là -phạm trù thứ hai trong X nếu A khơng chứa trong hợp của các tập con khơng đâu trù mật của X cĩ bản số . Do đĩ, ω-phạm trù thứ hai nghĩa là
giống như một phạm trù thứ hai và 1-phạm trù thứ hai cĩ nghĩa rằng tập đĩng cĩ phần trong khác rỗng.
Chú ý rằng điều kiện H ω giống như định nghĩa của H là ω-hẹp, như trong [3, tr.117].
2.3.4. Bổ đề ([15, Bổ đề 2]) Với mỗi S G khác rỗng,
S mind S L S ,
.
Vì vậy, chúng ta cĩ:
Đặt H X, là một nhĩm phép biến đổi tơpơ, pX và Ep :H X là ánh xạ định giá tại p E: p h hp. Do đĩ, Ep H Hp là quỹ đạo của p.
2.3.6. Định lí ([15, Định lí 2]) Nếu Hcĩ tập con S sao cho Ep S là S - phạm trù thứ hai trong X thì Ep là ánh xạ hầu mở.
2.3.7. Hệ quả ([15, Hệ quả 1]) Nếu H cĩ một khơng gian con S khả ly hoặc Lindelưf và thỏa mãn điều kiện Ep S là phạm trù thứ hai trong X thì Ep là ánh xạ hầu mở.
Từ các hệ quả trước ta thấy rằng:
2.3.8. Hệ quả Nếu H là ω-hẹp và Ep H là phạm trù thứ hai trong X
(trong chính nĩ) thì Ep là ánh xạ hầu mở đối với H (trongEp H ).
Các kết quả này cho chúng ta thấy các định lí ánh xạ hầu mở đối với đồng cấu nhĩm. Một đồng cấu liên tục f H: K cảm sinh một tác động liên tục của
H trên K được xác định bởi h k f h k . Đối với tác động này,
K
e
E f . Bổ đề sau đây dựa vào Hệ quả 2.3.7 và các kết quả tổng quát hĩa khác nhau được tìm thấy trong các tài liệu như: [19, Mệnh đề 11, tr.98], [3, Mệnh đề 4.3.32].
2.3.9. Bổ đề Đặt f X: Y là một đồng cấu liên tục của nhĩm tơpơ. Nếu X
cĩ một khơng gian con S là Lindelưf hoặc khả ly và f S là phạm trù thứ hai trong Y thì f là ánh xạ hầu mở.
2.3.10. Bổ đề Nếu f X: Y là một đồng cấu liên tục của nhĩm tơpơ sao cho
X là ω-hẹp và f X là phạm trù thứ hai trong chính nĩ, đồng thời cs-trù mật trong Y thì f là ánh xạ hầu mở.
Chứng minh
Theo Hệ quả 2.3.8 và các Bổ đề theo sau ta cĩ ánh xạ f X: f X hầu mở. Đặt N là một lân cận mở của eX . Khi đĩ,
Y f X f X
e Int Cl f N f N . Do đĩ, f N chứa một tập V khác rỗng,
Y
e V f X sao cho V mở tương đối trong f X .
Từ đĩ f X là một nhĩm tơpơ, nĩ được phủ bởi các tập f x V . Theo Bổ đề 2.1.1, tồn tại f x V và như vậy V cs-trù mật trong G. Vì thế, f N cs-trù mật trong G. Chứng minh được suy ra từ Bổ đề 2.1.4.
Bổ đề sau đây là sự hồn thiện hơn của ([19, Hệ quả 6, tr.99]) , đặc biệt nĩ khơng yêu cầu ánh xạ là tốn ánh.
2.3.11. Bổ đề Nếu f X: Y là một đồng cấu liên tục của nhĩm Polish sao cho f X là phạm trù thứ hai trong chính nĩ và cs-trù mật trong Y thì f là ánh xạ mở.
Chứng minh
Điều này suy ra từ [3, Định lí 4.3.30]. Các điều kiện của định lí này là X
và Y là Čech đầy đủ, điều này luơn được cho bởi [18, Định lí 4.3.26] và do Bổ đề 2.3.10 nên f là ánh xạ hầu mở.
Đặt B là một sự mở rộng. Tập GB của tất cả các ánh xạ liên tục f B: G
là một nhĩm tơpơ đối với tơpơ compact mở và phép tốn nhĩm:
fg b f b g b .
Từ đĩ, B là compact, tơpơ compact mở tương đương với tơpơ của sự hội tụ đều. Chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu eˆ cho phần tử đơn vị: e bˆ e. Đặt qB và
trước, Tb:TG được xác định bởi Tb f f b . Lưu ý rằng mỗi Tb là một đồng cấu liên tục của nhĩm tơpơ.
2.3.12. Hệ quả Nếu G thỏa tiên đề đếm được thứ hai và tồn tại bB, T b
là phạm trù thứ hai trong chính nĩ và cs-trù mật trong G thì G là liên thơng địa phương.
Chứng minh
Vì B cũng thỏa tiên đề đếm được thứ hai nên T thỏa tiên đề đếm được thứ hai và do đĩ ω-hẹp. Như vậy, Tb là ánh xạ hầu mở theo Bổ đề 2.3.10. Chứng minh được suy ra từ Định lí 2.3.3.
2.3.13. Hệ quả Nếu G thỏa tiên đề đếm được thứ hai, e B G, bB và tồn tại tập của các ánh xạ liên tục từ G vào chính nĩ, cố định e, b là phạm trù thứ hai trong chính nĩ và cs-trù mật trong G thì G là liên thơng địa phương.
Chứng minh
Thu hẹp các thành phần của trên B và áp dụng Hệ quả 2.3.12.
Trong Hệ quả 2.3.13, chú ý rằng thay vì G thỏa tiên đề đếm được thứ hai thì tất cả những gì cần thiết là b thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai và tương tự cho T B trong Hệ quả 2.3.12.
Chương 3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG VÀ LIÊN THƠNG ĐƯỜNG CŨNG NHƯ LIÊN THƠNG
ĐƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG 3.1. Thành phần liên thơng đường
Cho p S H , trong đĩ H là một nhĩm tơpơ, chúng ta sử dụng kí hiệu p S cho thành phần liên thơng đường của S chứa p.
Khi đĩ, ta cĩ:
p S p e p S1
H là liên thơng đường địa phương nếu các thành phần liên thơng của các tập mở là mở.
Trong trường hợp này, đặt e U là một lân cận của e với U e. Để chứng minh được điều nĩi trên, ta đặt C là một thành phần liên thơng của một tập mở W và xC. Khi đĩ, tồn tại U e sao cho xU W . Do đĩ:
U
x e C.
Hơn nữa, nếu e U là một lân cận của e thì x e U là một lân cận của x
chứa trong C. Như vậy C mở.