Chương 2 NHĨM TƠPƠ LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG
3.2. Các lớp liên hợp
Trong phần này chúng ta đưa ra một số kết quả cho thấy trong vài trường hợp nhất định, tính liên thơng địa phương của G cĩ được từ sự phong phú của lớp liên hợp (là phạm trù thứ hai trong G hoặc phạm trù thứ hai trong chính nĩ và cs-trù mật trong G). Hiển nhiên, các kết quả này cũng cĩ thể xem như là các định lí về lớp liên hợp trong nhĩm liên thơng khơng địa phương.
Từ Hệ quả 2.3.13, chúng ta cĩ:
3.2.1. Định lí Nếu G thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai và cĩ một tập continum B trong G chứa e sao cho lớp liên hợp của các điểm của B là phạm trù thứ hai trong chính nĩ và cs-trù mật trong G thì G là liên thơng địa phương. Tập V được gọi là một lân cận bất biến của e trong nhĩm tơpơ H nếu
xVx1 V
với mọi xH . Nếu V là bất biến thì lân cận đối xứng V V1
cũng là bất biến.
Một nhĩm tơpơ H được gọi là cân bằng nếu các lân cận bất biến hình thành một cơ sở lân cận tại eH.
Tất cả các nhĩm compact cũng như các nhĩm Abel đều cân bằng. Một cách tổng quát hơn, G được cân bằng khi và chỉ khi các cấu trúc đều trái và phải tương đương.
Với mỗi aG, đặt ia là phép đẳng cấu trong được xác định bởi
a
i x axa1. Kí hiệu là tập tất cả các phép đẳng cấu trong của G. Với ,
a p G phép tốn a p ia p là một tác động liên tục của G lên chính nĩ. Như vậy, trong trường hợp nàyG G, là một nhĩm các phép biến đổi tơpơ. Chúng ta kí hiệu iG p là quỹ đạo của Gp cũng chính là lớp liên hợp
của p. Do đĩ, G G, p cũng là một nhĩm các phép biến đổi tơpơ. Với mỗi
pG, chúng ta cĩ hai ánh xạ sau: :
p
T Gđược cho bởi T ip a ia p
:
p
E GG được cho bởi Ep a a p ia p
Ở đây, được xem như là tính hội tụ đều của tơpơ và G giữ lại tơpơ thơng thường của nĩ.
3.2.2. Bổ đề Nếu G được cân bằng và với pG ánh xạ Tp: G p G
là mở hay hầu mở nếu Ep:G G p G là ánh xạ mở hay ánh xạ hầu mở.
Chứng minh
Đặt ia và WUL ia là một lân cận cơ sở của ia, trong đĩ U e. Vì G
được cân bằng nên tồn tại một lân cận bất biến đối xứng V của e sao cho
V2 U. Đặt iVa i v Vva . Ta chỉ ra rằng: iVa WUL ia . Nếu vV và xG thì ta cĩ: i xa 1iva x ax a vaxa v1 1 1 1 ax a v ax a v 1 1 1 1 1 1
Do đĩ iVa WUL ia .
Suy ra E Vap T ip Va T Wp UL ia . Từ đĩ suy ra được kết quả cần chứng minh.
3.2.3. Mệnh đề Nếu G được cân bằng và với bất kì pG cĩ: 1) Ep:GG là ánh xạ hầu mở hoặc
2) Ep :G G p là ánh xạ hầu mở và G p cs-trù mật trong G thì G là liên thơng địa phương.
Chứng minh
Điều này suy ra từ Bổ đề 3.2.2 và Định lí 2.3.3.
3.2.4. Định lí Nếu G được cân bằng, ω-hẹp ( Lindelưf hoặc khả ly) và với bất kì pG lớp liên hợp của p cũng là phạm trù thứ hai trong G hoặc phạm trù thứ hai trong chính nĩ và cs-trù mật trong G thì G là liên thơng địa phương.
Chứng minh
Giả sử G được cân bằng và ω-hẹp. Nếu Gp là phạm trù thứ hai trong G
thì theo Hệ quả 2.3.8, ánh xạ Ep:GG là hầu mở và ta cĩ 1) của Mệnh đề 3.2.3.
Mặt khác, nếu Gp là phạm trù thứ hai trong chính nĩ và cs-trù mật trong
G thì theo Hệ quả 2.3.8, ánh xạ Ep:G G p là hầu mở và như vậy ta cĩ 2) của Mệnh đề 3.2.3. Vậy từ Mệnh đề 3.2.3 ta suy ra điều cần chứng minh.
CÂU HỎI
Tiếp theo sau đây là một số câu hỏi mở rộng các bài tốn đã được giải quyết ở trên. Các câu hỏi được đưa ra ở đây xuất hiện tự nhiên trong quá trình
nghiên cứu giúp chúng ta mở rộng hơn các vấn đề liên quan đến tính chất liên thơng của khơng gian.
- Từ kết quả của hệ quả 3.1.14 ta đạt được một phương pháp chứng minh khơng gian hầu liên thơng đường địa phương và câu hỏi ở đây là chúng ta cần thêm những tính chất gì của khơng gian để đạt được kết quả là khơng gian liên thơng đường địa phương.
- Một câu hỏi khác là khi nào thì các thành phần liên thơng đường của tập mở trong nhĩm tơpơ là hầu mở hoặc tập Borel?
KẾT LUẬN
Sau đây là tổng hợp một số kết quả mà bài luận văn đã trình bày:
1) Đưa ra một số điều kiện để một nhĩm tơpơ trở thành nhĩm liên thơng địa phương, liên thơng đường địa phương hay hầu liên thơng đường địa phương. Từ đĩ phát sinh các định lí nền tảng cho nhĩm liên thơng khơng địa phương, chẳng hạn định lí cho phép hạn chế các khơng gian con như các tập hợp con cs- trù mật hay định lí về tính gầy của các lớp liên hợp trong nhĩm tơpơ.
2) Nghiên cứu thêm các tính chất liên thơng trong nhĩm tơpơ và mối liên hệ giữa liên thơng địa phương và liên thơng đường cũng như liên thơng đường địa phương. Đồng thời đưa vào các lớp liên hợp mà mang đến tính liên thơng địa phương cho nhĩm tơpơ.
Trong thực tế, việc nghiên cứu các tính chất trong nhĩm tơpơ là khá mới mẻ và hấp dẫn đối với các nhà tốn học hiện nay. Việc hiểu các cấu trúc thỏa điều kiện của các phát biểu trong nhĩm Polish hay nhĩm tơpơ tổng quát là một bài tốn được quan tâm và tìm hướng giải quyết. Các kết quả này chỉ là trình bày lại các khái niệm, tính chất và hệ quả trong tài liệu “Local connectedness in topological groups” của tác giả Keith Whittington với các chứng minh được viết một cách chi tiết và cụ thể hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1. Đậu Thế Cấp (2005), “Tơpơ đại cương”, NXB Giáo dục.
2. Trần Tráng (2001), “Tơpơ đại cương”, NXB Đại học Sư phạm Tp.HCM.
Tiếng Anh
3. AlexanderArhangel’skii, Mikhail Tkachenko, Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press/World Scientific Publisbing Co. Pte. Ltd., Paris/Hackensack, NJ, 2008, xiv+781 pp.
4. Andrew M. Gleason, Arcs in locally compact groups, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 36 (1950) 663-667.
5. Andrew M. Gleason, Groups without small subgroups, Ann. Math. 56 (1952) 193-212.
6. Andrew M. Gleason, Richard S. Palais, On a class of transformation groups, Am. J. Math. 79 (1957) 631-648.
7. Deane Montgomery, Leo Zippin, Small subgroups of finite-dimensional groups, Ann. Math. (2) 56 (1952) 213-241.
8. Deane Montgomery, Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers, New York/London, 1955, xi+282 pp.
9. Elliot Pearl (Ed.), Open Problems in Topology II, Elsevier B.V., Amsterdam, 2007, xii+763 pp.
10. G.S. Ungar, On all kinds of homogeneous spaces, Trans. Am. Math. Soc 212 (1975) 393-401.
11. Hidehiko Yamabe, A generalization of a theorem of Gleason, Ann. Math. (2) 58 (1953) 351-365.
12. Hidehiko Yamabe, On the conjecture of Iwasawa and Gleason, Ann. Math. (2) 58 (1953) 48-54.
13. John C. Oxtoby, Measure and Category, A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces, 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics, vol. 2, Springer-Verlag, New York/Berlin, 1980, x+106 pp.
14. John L. Kelley, General Topology, D. Van Nostrand Company, Inc., Toronto/New York/London, 1955, xiv+298 pp.
15. K. Whittington , Local connectedness in transformationgroups, Proc. Am. Math .Soc 130 (3) (2001) 903-907.
16. Markus Stroppel, Locally Compact Groups, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2006, x+302 pp.
17. Neil W. Rickert, Arcs in locally compact groups, Math. Ann. 172 (1967) 222-228.
18. Ryszard Engelking, General Topology, Translated from the Polish by the author, 2nd edition, Sigma Series in Pure Mathematics, vol.6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989, viii+529 pp.
19. Taqdir Husain, Introduction to Topological Groups, W.B. Saunders Co., Philadelphia, Pa./London, 1966, xi+218 pp.
20. K. Whittington, Local connectedness in topological groups, Topology and its Applications 180 (2015) 111-123.