Cấu trúc chương trình được sử dụng trong các cơng trình

Ưu điểm lớn nhất trong phép cải tiến này của chúng tôi là việc chuẩn bị ma trận E(F) và A0(k; )ti không tốn quá nhiều thời gian đối với các hệ nguyên tử. Đồng thời chúng tôi chỉ cần chuẩn bị các ma trận dữ liệu đầu vào một lần duy nhất cho mỗi hệ nguyên tử/phân tử xác định.

Để kiểm chứng sự hiệu quả của phiên bản cải tiến IP so với phiên bản CP đang được sử dụng trong các cơng trình [8],[9], chúng tơi tiến hành một số tính tốn cho trường hợp đơn giản nhất là nguyên tử hydro với thế năng tương tác có cùng dạng với cơng trình [8] 2 exp ( / 10) ( ) r V r r       . (3.1)

Thế năng đang xem xét có dạng thế năng Coulomb che chắn, nghĩa là tác động của hàm thế năng giảm rất nhanh khi r tăng lên. Cần lưu ý rằng, về nguyên tắc cả phiên bản cải tiến IP và phiên bản CP đều có thể xem xét cho thế năng Coulomb.

33

Nguyên nhân là do xác suất tái va chạm giữa quang electron và ion mẹ là rất nhỏ khi xét nguyên tử/phân tử chịu tác dụng của trường laser phân cực trịn, từ đó thành phần tán xạ giữa hàm sóng và đi Coulomb hồn tồn có thể được bỏ qua. Năng lượng liên kết của hydro ứng với trạng thái cơ bản 1s ứng với thế năng được xem xét là E0 = -0.485483 khi điện trường ngồi chưa được đặt vào.

Tính trị riêng phức E và biên độ phức TMD Ao cho F = 0 đến Fmax sử dụng chương trình Siegert

Bắt đầu Đọc thông số đầu vào Kiểm tra F0 > Fmax

Báo lỗi biên độ laser

Tính quỹ đạo cổ điển của electron theo pt ( 2.46 ) và (2.48 )

Tính tác dụng lượng tử theo pt ( 2.41) Xác định thời điểm ion hóa ti theo pt

(2.50) ứng với từng vị trí k Tính tác dụng cổ điển theo pt ( 2.47 )

Tính biên độ phức PEMD trong phương trình (2.44) ứng với từng vị

trí k Nội suy giá trị của Ao trong pt ( 2.44) ứng

với từng thời điểm ti

Ghi kết quả ra file End

Đúng

sai

Hình 3.2. Cấu trúc chính của IP. Những phần đã cải tiến đước đánh dấu bằng nền nâu

Trong bước kiểm chứng này, chúng tôi sử dụng trường laser có biên độ xung

F0 = 0.07 a.u (tương ứng với cường độ I = 3.51x1014 W/cm2), laser có độ dài xung bằng nửa chu kỳ quang học T = 40a.u, tần số góc   /T 0.079 .a u (bước sóng

580nm

 ). PEMD được tính trong mặt phẳng (kx,ky) với kx  2.5,0.5 và

 2.0,0.5

y

k   tương ứng với số điểm lưới được chọn là 10080. Chúng tôi lưu ý rằng số điểm lưới được chọn bằng phương pháp thử nghiệm sao cho độ phân giải

34

hình ảnh của PEMD là chấp nhận được. Khi này, phương trình (2.50) có tổng số nghiệm 9267

i

t

N  trong mặt phẳng động lượng với thông số lưới đang xét.

Sự cải tiến của IP được thể hiện rõ nhất ở thời gian tính tốn biên độ phức

0( ; )i

A k t tc, thời gian tính tốn cho các bước cịn lại của IP và CP là như nhau. Số liệu về thời gian tc khi sử dụng IP và CP được giới thiệu trong bảng 3.1

Bảng 3.1. Thời gian tính tốn biên độ phức A0(k; )ti tc

Hệ xem xét x y k k N N i t N tc (s) CP IP Nguyên tử hydro 10080 9267 63589 23 Nguyên tử hydro 250200 57354 396086 24

Số liệu ở bảng 1 cho thấy rất rõ sự chênh lệch về thời gian tính biên độ phức

0( ; )i

A k t tc khi sử dụng IP và CP. Trong trường hợp số lưới điểm là 10080 thì thời gian cần để tính đối với CP là 63589  17.66h trong khi đó IP chỉ cần 23s.

Trường hợp số thứ 2 hai số lưới điểm tăng lên 250200 nhằm tăng độ phân giải của PEMD thì thời gian cần để tính biên độ phức A0(k; )ti đối với CP là 396086 

110h 4.58 ngày, trong khi đó IP gần như khơng thay đổi chỉ cần khoảng 24s. Rõ

ràng, thời gian tính tốn của CP rất phụ thuộc vào số điểm lưới được chọn bởi số nghiệm

i

t

N là rất khác nhau. Trong khi đó, thời gian tính của IP chỉ phụ thuộc vào q trình nội suy vốn có tốc độ rất nhanh, từ đó thời gian tính của IP hầu như khơng thay đổi ngay cả khi

i

t

N tăng lên khoảng 6 lần từ 9267 lên 57354. Kết quả này đã khẳng định sự cải tiến vượt trội về thời gian tính tốn của IP so với CP.

Chúng tôi lưu ý rằng, dù thời gian tính tốn được rút ngắn đáng kể, nhưng thông số quan trọng nhất đối với việc tính số là độ chính xác cần phải được giữ nguyên. Như đã phân tích ở trên, cách tính biên độ phức A0(k; )ti trong IP phụ thuộc vào quá trình nội suy, tức là sự gần đúng của CP. Do đó, việc so sánh kết quả tính tốn thực tế khi sử dụng IP đối với CP là điều vô cùng cần thiết để tái khẳng định việc cải tiến của chúng tơi có thể được áp dụng với độ tin cậy cao.

35

Trong hình 3.3, PEMD của nguyên tử hydro dưới tác dụng của trường laser nửa chu kỳ với các thông số đã đề cập ở trên được tính tốn và trình bày. Trong hình 3.3a và 3.3b, PEMD được tính trong mặt phẳng (kx,ky) tương ứng với mặt phẳng phân cực của trường laser khi sử dụng IP và CP. Trong hình 3.3a, quỹ đạo cổ điển của electron ka( )ti được thể hiện bằng đường cong liền nét màu trắng còn PEMD được phân bố theo dạng hình xuyến bao quanh đường này. Về mặt trực quan, chúng ta có thể rút ra kết luận từ hai hình 3.3a và 3.3b là kết quả tính tốn khi sử dụng hai phiên bản chương trình là hồn tồn giống nhau. Tuy nhiên, để việc đánh giá sự phù hợp giữa hai phiên bản cần phải được xem xét về mặt định lượng. Do đó, chúng tơi trích xuất dữ liệu PEMD dọc theo đường cắt đi qua

(0) ( 0.67, 0.74)

a   

k là đỉnh dưới của quỹ đạo cổ điển từ hai hình 3.3a và 3.3b. Kết quả trích xuất này được thể hiện trong hình 3.3c và 3.3d lần lượt tương ứng với PEMD dọc theo đường I và đường II trong hình 3.3a. Ngồi ra, sai số tương đối giữa hai kết quả trích xuất cũng được thể hiện tương ứng trong các hình 3.3e và 3.3f. Ta thấy kết quả tính từ IP và CP là hồn toàn trùng khớp nhau với sai số tương đối ln nhỏ hơn 2% trong tồn miền khảo sát. Sự sai lệch giữa hai phương pháp này là điều khơng thể tránh khỏi vì CP tính trực tiếp biên độ phức A0(k; )ti từ trạng thái Seigert [8],[9] nên cho kết quả chính xác hơn , còn IP dựa vào phép nội suy bicubic spline [46] để trích xuất biên độ phức A0(k; )ti . Ta có thể làm giảm sai số tương đối này một cách dễ dàng bằng cách tăng số điểm lưới khi chuẩn bị ma trận dữ liệu đầu vào của A0(k; )ti bằng chương trình trạng thái Siegert. Độ sai lệch tương đối 2% là một bằng chứng cho thấy dữ liệu đầu mà chúng tôi chuẩn bị đã đủ số điểm lưới cần thiết để thu được kết quả có độ tin cậy cao.

36

Hình 3.3. [45] PEMD của nguyên tử hydro được đặt dưới tác dụng của laser

phân cực trịn nửa chu kỳ có F0 = 0.07a.u,  0.079 .a u, và T = 40a.u khi tính

bằng IP (hình a) và CP (hình b) trong mặt phẳng (kx,ky) khi kz 0.Trong hình

a, đường cong liền nét màu trắng thể hiện quỹ đạo cổ điển ka( )ti của electron,

hai đường đứt nét màu trắng tương ứng với trường hợp kax(0) (I) và kay(0)

(II). Hình c và d tương ứng với PEMD dọc theo đường I và II. Hình e và f thể hiện sai số tương đối giữa IP so với CP tương ứng với hình c và d.

37

3.2. Mở rộng cho nhiều chu kì

Trong các cơng trình [8],[9], các tác giả chỉ tập trung nghiên cứu PEMD của các nguyên tử đơn giản như nguyên tử hydro do nhược điểm về thời gian tính tốn đã được trình bày ở mục 3.1. Ngồi ra, các cơng trình [8,][9] cũng chỉ dừng lại ở việc khảo sát PEMD khi nguyên tử được đặt trong laser mơ hình có độ dài xung từ nửa đến một chu kỳ quang học. Những laser như vậy khó có thể được tạo ra trong thực tế, do đó việc định hướng và hỗ trợ về mặt lý thuyết cho các nhà thực nghiệm trong việc đo đạc PEMD là khó khăn.

Sau khi đào sâu tìm hiểu và phân tích chương trình tính số dựa trên lý thuyết đoạn nhiệt, chúng tơi nhận thấy hạn chế của chương trình trong việc xem xét các laser có độ dài lớn hơn liên quan chặt chẽ đến quy trình tìm nghiệm vật lí ứng với động lượng k trong cơng thức (2.51). Trong các cơng trình của [8],[9], ngồi việc xác định nghiệm thực ti( )k thông qua công thức (2.50), các tác giả phải tiếp tục tìm kiếm các nghiệm ảo tương ứng với động lượng k. Mỗi một nghiệm ti( )k sẽ tương ứng với các nghiệm ( )

i

t k trong không gian phức với ( )

i t k được xác định theo phương trình 1 2 0 ( , ) ( ) 0 ( ) 2 i t E t t ti      u k k . (3.2)

Cần lưu ý để tính được nghiệm phức ( )

i

t k thì điện trường ngồi cũng phải có dạng phức. Trong miền không gian phức của ( )

i

t k có tồn tại những họ điểm tương ứng với những điểm bất thường của điện trường ngoài. Nghiệm ti( )k được xem như là có ý nghĩa vật lí nếu ti( )k có thể kết nối được đến một nghiệm phức ( )

i

t k , nghĩa là đường nối từ ti( )k trên trục thực đến ( )

i

t k trong mặt phẳng phức không bị chia cắt bởi các điểm bất thường của điện trường ngồi.

Những phân tích trên được thể hiện trong hình (3.4). Trong đó hình 3.4a mơ tả số lượng nghiệm thực ti( )k trong không gian động lượng khi xét cho laser có độ dài nửa chu kỳ quang học. Có những vùng động lượng chỉ có một nghiệm ti( )k

38

tương ứng với hình cuối cùng trong hình 3.4b, nghiệm đó đảm bảo là nghiệm vật lí. Tuy nhiên, tồn tại những vùng động lượng có nhiều hơn một nghiệm ti( )k như trong hình đầu tiên và hình thứ hai của hình 3.4b lần lượt tương ứng với 3 và 2 nghiệm ti( )k . Sau khi đặt phép phân tích sự kết nối từ trục thực đến khơng gian ảo, chương trình chỉ đưa ra một nghiệm thực như minh họa trong hình 3.4b. Các nghiệm thực tương ứng với các vị trí khác nhau trong khơng gian động lượng sẽ liên kết chặt chẽ với nhau.

Phân tích trên cho thấy, chương trình tính tốn rất cồng kềnh khi tương ứng với mỗi điểm trong khơng gian động lượng k, chương trình phải đồng thời tính tốn nghiệm thực ti( )k và nghiệm phức ( )

i

t k , từ đó tiếp theo kiểm tra sự kết nối giữa hai họ nghiệm này để suy ra và lưu trữ lại giá trị chính xác của nghiệm vật lí. Theo khảo sát của chúng tôi trong phần tiếp theo, phương pháp này chỉ có thể áp dụng được cho các laser có dạng xung rất ngắn, không phù hợp cho điều kiện thực nghiệm.

Hình 3.4. [8] Số lượng nghiệm ti( )k trong mặt phẳng động lượng và mặt

phẳng phức thể hiện sự kết nối giữa nghiệm thực ti( )k và họ nghiệm ảo ( )

i

t k

tương ứng với laser có độ dài nửa chu kỳ quang học. Những đường caro tương ứng với các điểm kỳ dị của điện trường.

39

Khi xét cho laser có độ dài xung lớn hơn, ví dụ như 5 chu kỳ quang học, chúng tôi nhận thấy số lượng nghiệm của ti( )k tăng lên đáng kể, tại một số vị trí trong khơng gian động lượng, số lượng nghiệm ti( )k có thể tăng lên đến 14 hoặc 16 như thể hiện trong hình 3.5. Điều này có nghĩa, về mặt ngun tắc tính tốn được sử dụng trong cơng trình [8],[9], ứng với từng vị trí trong khơng gian động lượng, chương trình tính số phải rà sốt sự kết nối giữa từng nghiệm thực ti( )k với nghiệm phức ( )

i

t k nhằm phát hiện ra các nghiệm vật lí thật sự. Việc này nếu có thể thực hiện được sẽ vẫn tốn rất nhiều thời gian tính tốn, đặc biệt khi mở rộng cho những bài toán laser thực với độ dài lên đến vài chục chu kỳ quang học.

Hình 3.5. Số lượng nghiệm ti( )k trong mặt phẳng động lượng tương ứng với

laser có độ dài 5 chu kỳ quang học.

Ngoài ra, việc xác định ( )

i

t k đòi hỏi dữ liệu đầu vào từ chương trình tính số dựa trên phương pháp trạng thái Siegert cho trường hợp tổng quát ứng với điện trường có dạng số phức như những tính tốn đã được thực hiện trong [8],[9]. Việc tính tốn hàm riêng và trị riêng của trạng thái Siegert khi đặt nguyên tử/phân tử trong điện trường có dạng phức chỉ có thể thực hiện được với nguyên tử hydro bởi

40

cấu trúc các mặt trị riêng (các mặt Riemann) của nguyên tử hydro là không quá phức tạp. Khi xét cho các hệ phức tạp hơn nguyên tử hydro như các nguyên tử khí hiếm (He, Ne, Ar, …) thì chương trình tính tốn trạng thái Siegert khơng thể tính được cho điện trường phức bởi khi đó các mặt trị riêng rất phức tạp và tồn tại rất nhiều điểm kỳ dị mà tại đó trạng thái này bị chuyển lên trạng thái khác khi điện trường tăng lên một lượng rất nhỏ. Điều này có nghĩa chương trình tính số của trạng thái Siegert khơng thể kiểm sốt được trạng thái đang tính tốn.

Từ những phân tích trên, chúng tơi nhận thấy chương trình tính số dựa vào AA sẽ không thể được áp dụng cho những hệ nguyên tử phức tạp hơn, và cho các xung laser có độ dài gần với điều kiện thực nghiệm nếu khơng thể cải tiến được quy trình tính tốn này. Trong phiên bản chương trình CP, chúng tơi xét thấy khơng cần tìm kiếm sự kết nối giữa nghiệm thực ti( )k và nghiệm phức ( )

i

t k nhằm tìm ra nghiệm vật lí, bởi các thơng tin của ( )

i

t k là khơng có khi xét cho những bài tốn đang xem xét. Thay vào đó, chúng tơi đề xuất tính đến sự đóng góp vào việc tính tốn PEMD của tất cả các nghiệm ti( )k . Để kiểm chứng sự tin cậy của đề xuất này, chúng tôi vẽ sự phân bố của các nghiệm ti( )k trên trục thời gian tương ứng với trường hợp laser 5 chu kỳ quang học và xét điểm k trong không gian động lượng sao cho số nghiệm

( )

i

t k là 13. Rõ ràng, các nghiệm ti( )k cách nhau một khoảng nửa chu kỳ quang học. Điều này có nghĩa sự đóng góp của nghiệm ti( )k ứng với đỉnh của laser là lớn nhất, hai nghiệm ti( )k ngay trước và ngay sau nghiệm trung tâm hồn tồn khơng đóng góp vào PEMD, sự đóng góp của hai nghiệm ti( )k tiếp theo tính từ trung tâm là nhỏ và có tác dụng giao thoa với sự đóng góp của nghiệm trung tâm, tạo ra cấu trúc giao thoa trong PEMD sẽ được giới thiệu trong phần sau.

41

Hình 3.6. Sự biến thiên điện trường của laser có độ dài 5 chu kỳ quang học và

vị trí của các nghiệm ti( )k trên trục thời gian ứng với vị trí và xét điểm k trong

khơng gian động lượng sao cho số nghiệm ti( )k là 13.

Để kiểm chứng độ tin cậy trong những đề xuất cải tiến trên, chúng tơi sử dụng chương trình CP có xét đến những cải tiến trong việc xác định ti( )k để tính tốn cho nguyên tử hydro và so sánh với các tính tốn từ phương pháp TDSE vốn được xem là phương pháp có độ chính xác cao nhất. Thế năng tương tác trong nguyên tử khi này được xem xét là thế năng thuần Coulomb có dạng

1 ( )

V r r

  . (3.3)

Laser được chọn để kiểm chứng có độ dài 3 chu kỳ quang học bởi đây là độ dài lớn nhất mà TDSE có thể tính tốn với độ hội tụ chấp nhận được. Thời gian đặc trưng của laser được chọn tăng dần T = 240, 300, và 330 a.u. và F00.07a.u. PEMD được tính trong hai mặt phẳng, mặt phẳng chứa vector điện trường của laser và mặt phẳng vng góc với mặt phẳng phân cực của laser. Kết quả tính tốn được cho trong hình 3.7 trong đó hàng đầu tiên, hàng giữa, và hàng cuối lần lượt tương