C 1 Từ điều này và (2.18) ta được
Định lý duy nhất và bi-URS cho các hàm
3.2 Định lý duy nhất cho các hàm phân hình p-adic nhiều biến.
biến.
Giả sử f = f1
f2 là hàm phân hình trên Dr(m)(Cmp), ở đó f1, f2 là hai hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm chung trên Dr(m)(Cmp ).
Định nghĩa 14. Độ cao của f được xác định bởi Hf(r(m)) = max 16i62Hfi(r(m)). Cho d ∈ Cp, ta đặt Nf(d, r(m)) = Nf1−df2(r(m)), Nf(∞, r(m)) =Nf2(r(m)). Và hàm vfd : Cmp −→ (N∪ {+∞})m định nghĩa bởi vfd(d(m)) = vf01−df 2(d(m)), vf∞(d(m)) = vf0 2(a(m)). Cho tập con S của Cp∪ {∞}, với mỗi i = 1,2..., m. ta đặt Ei,f(S) = [
d∈S
(qi, a(m)) ∈ (N∪ {∞})ìCmp|f(a(m)) =d, vi,fd (a(m)) =qi . Định nghĩa 15. Họ S = {S1, ..., Sn} các tập con không rỗng củaCp∪ {∞}
được gọi là n tập xác định duy nhất tính bội (tương ứng, khơng tính bội) cho các hàm phân hình trên Cmp nếu với mọi cặp hàm phân hình f và g khác hằng trên Cmp thoả mãn điều kiện Ei,f(Sj) = Ei,g(Sj), (tương ứng, Ef(Sj) =Eg(Sj)), với i = 1, . . . , m, j = 1, ...n, ta có f ≡ g.
Để ngắn gọn, n tập xác định duy nhất tính bội (tương ứng, khơng tính bội) được gọi là n-URS (tương ứng, n-URSIM),
1-URS (tương ứng, 1-URSIM) là URS (tương ứng, URSIM), 2-URS (tương ứng, 2-URSIM) là bi URS (tương ứng, bi URSIM).
Giả sửγ là một đa chỉ số và f là hàm phân hình của Cmp . Khi đó, ký hiệu ∂γf là đạo hàm riêng ∂|γ|f
∂z1γ1 . . . ∂zmγm . Bổ đề 3.2.1. [23] Giả sử f = f1
f2 là hàm phân hình khác hằng trên Cmp . Khi đó tồn tại một đa chỉ số γ1 = (0, . . . ,0, γ1e,0, . . . ,0) với γ1e = 1 thoả mãn ∂γ1f = ∂ γ1ef1.f2 −∂γ1ef2.f1 f22 và Wronskian Wfe = det f1 f2 ∂γ1ef1 ∂γ1ef2 6≡ 0.
Bổ đề 3.2.2. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cmp và aj ∈ Cp, j = 1, . . . , q. Khi đó qHf(r(m)) 6 q X j=1 Nf(aj, r(m)) +Nf(∞, r(m)) +O(1), trong đó O(1) là đại lượng giới nội, không phụ thuộc r(m).
Chứng minh. Đặt G = {Gβ1. . . Gβq}, ở đó (β1, . . . , βq) là q số bất kỳ trong tập {1, . . . , q + 1}, Gj = f1 − ajf2 với j = 1, . . . , q, Gq+1 = f2, HG(r(m)) = max (β1,...,βq) HGβ 1...Gβq(r(m)). Giả sử với r(m) cố định ta có: HGβ 1(r(m)) ≥ HGβ 2(r(m)) ≥. . . ≥ HGβq+1(r(m)). Khi đó HG(r(m)) = max (β1,...,βq)HGβ 1...Gβq(r(m)) = max (β1,...,βq) X 16j6q HGβj(r(m)) = HGβ 1(r(m)) +HGβ 2(r(m)) + ã ã ã+ HGβq(r(m)). (3.3) Do a1, . . . , aq là các số phân biệt trong Cp, nên
fi = bi0Gβq +bi1Gβq+1, i = 1,2, ở đóbi0, bi1 là các hằng số khơng phụ thuộc r(m). Do đó Hfi(r(m)) 6 max n HGβq(r(m)), HGβq+1(r(m)) o +O(1). 6 HGβj(r(m)) +O(1), với i = 1,2và j = 1, . . . , q.
Do đó Hf(r(m)) 6 HGβj(r(m)) +O(1), j = 1, . . . , q. (3.4) Lấy tổng q bất đẳng thức trong (3.4) và từ (3.3), ta có qHf(r(m)) 6HG(r(m)) + O(1). (3.5) Vậy: qHf(r(m)) 6 q+1 X j=1 HGj(r(m)) +O(1). Theo Bổ đề 3.1.2 ta có HGj(r(m)) = NGj(r(m)) +O(1). Do đó qHf(r(m)) 6 q X j=1 Nf(aj, r(m)) +Nf(∞, r(m)) +O(1), Bổ đề 3.2.2 được chứng minh.
Bổ đề 3.2.3. Tập hữu hạn S của Cp∪ {∞} là URS cho các hàm phân hình trênCmp . Khi đó #S ≥2.
Chứng minh. Giả sử S là URS tính bội cho các hàm phân hình trên Cmp . Giả sử ngược lạiS = {a}. Lấy các đa thức P(z1), F2(z1), G2(z1) đơi một khơng có khơng điểm chung vàP(z1) khác hằng.
Đặt F1(z1) = P(z1) +aF2(z1), G1(z1) = P(z1) +aG2(z1), và F = F(z1, ..., zm) = F1(z1) F2(z1), G = G(z1, ..., zm) = G1(z1) G2(z1). Khi đó F −a = F1(z1)−aF2(z1) F2(z1) = P(z1) F2(z1), G−a = P(z1) G2(z1). Ta có: Ei,F(S) = n
pi, a(m) = (a1, ..., am)
: F = a với vi,Fa (a(m)) =pi o
,
với ai, bi là các số tuỳ ý trong Cp, Mặt khác, ta có
p1 = q1 = vP0(a1), theo (3.1) suy ra E1,F(S) =E1,G(S),
và pi = ∞ và qi = ∞, nên Ei,F(S) = Ei,G(S), i= 2, ..., m. (3.7) Do đó: Ei,F(S) = Ei,G(S), i= 1, ..., m nhưng F 6= G. Vậy #S ≥ 2. Bổ đề 3.2.3 được chứng minh.
Bổ đề 3.2.4. Nếu F là hàm phân hình khác hằng trên Cmp , và #S ≥ 2. Khi đóEi,F(S) 6= ∅, i = 1, ..., m.
Chứng minh. Do #S ≥ 2 nên tồn tại a1, a2 ∈ S.
Xét a1 6= ∞và a2 6= ∞. áp dụng Bổ đề 3.2.2 vớia1, a2 ta có 3HF(r(m)) 6 2 X j=1 NF(aj, r(m)) + NF(∞, r(m)) +O(1), suy ra: 2HF(r(m)) 6 P2j=1NF(aj, r(m)) +O(1). Khi ri → ∞, i = 1, ..., m, thì Hf(r(m)) → ∞, nên P2
j=1
NF(aj, r(m)) → ∞. Do đó, F −a1 hoặc F −a2 có khơng điểm.
Xét a2 = ∞. áp dụng Bổ đề 3.2.2 với a1 ta có
2HF(r(m)) 6 NF(a1, r(m)) +NF(∞, r(m)) +O(1). Tương tự trên, cũng được F −a1 hoặc F −a2 có khơng điểm.
Vậy Ei,F(S) 6= ∅. Bổ đề 3.2.4 được chứng minh.
Mệnh đề 3.2.5. Tập hữu hạn S của Cp∪ {∞} là URS tính bội (tương ứng, khơng tính bội) cho các hàm phân hình trên Cmp khi và chỉ khi nó là URS tính bội (tương ứng, khơng tính bội) cho cho các hàm phân hình trên Cp. Chứng minh. Giả sử S là URS tính bội cho các hàm phân hình trên Cmp , và f(z1), g(z1) là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp thoả mãn Ef(S) = Eg(S). Đặt F = F(z1, ..., zm) =f(z1), G = G(z1, ..., zm) =g(z1).
Tương tự (3.7) và giả thiết Ef(S) = Eg(S), suy ra E1,F(S) = E1,G(S), vàEi,F(S) = Ei,G(S), i = 2, ..., m. Vậy
Ei,F(S) = Ei,G(S), i = 1, ..., m. (3.8) Từ (3.8) và S là URS tính bội cho các hàm phân hình trên Cmp, ta có F = G. Vậy f = g.
Ngược lại, giả sử S là URS tính bội cho các hàm phân hình trên Cp, và F = F1
F2, G = G1
G2 là hai hàm phân hình khác hằng trên Cmp thoả mãn Ei,F(S) = Ei,G(S), i= 1, ..., m.
VìF khác hằng, theo Bổ đề 3.2.1 tồn tại đa chỉ sốγ1 = (0, . . . ,0, γ1i,0, . . . ,0) với γ1i = 1 thoả mãn Wronskian
WFi = det F1 F2 ∂γ1iF1 ∂γ1iF2 6≡0. Đặt IF = n i ∈ {1, ..., m} : WFi 6≡ 0 o , thì IF 6= ∅. Theo Bổ đề 3.1.1, ta có XF(r(m)) ={u = u(m) ∈ Dr(m) :|F1(u)| = |F1|r(m),|F2(u)| = |F2|r(m), |WFi(u)| = |WFi|r(m), i ∈ IF} 6= ∅.
i) Nếu u ∈ XF(r(m)), khi đó Fi,u khác hằng. Vì #S ≥ 2, theo Bổ đề 3.2.4 EFi,u(S) 6= ∅.
Do đó, tồn tại a ∈ S sao cho Fi,u − a có khơng điểm b với bội qi ∈ N∗, nghĩa là tồn tại ui(b) = (u1, ..., ui−1, b, ui+1, ..., um) là không điểm của F −a = F1 −aF2
F2 với vi,F1−aF20 = qi.
DoEi,F(S) =Ei,G(S), nên tồn tại c ∈ S sao choui(b) là không điểm của G−c = G1 −cG2
G2 với vi,G1−cG20 = qi. Suy ra b là không điểm của Gi,u −c với bộiqi. VậyGi,u khác hằng, và EFi,u(S) ⊂EGi,u(S).
Tương tự, ta cũng chứng minh được EGi,u(S) ⊂ EFi,u(S). Vậy
Từ (3.9) và giả thiết S là URS cho các hàm phân hình trên Cp, ta có Fi,u = Gi,u, do đó F(u) = G(u) với u ∈ XF(r(m)), i∈ IF. (3.10) Ngược lại, nếu Gi,u khác hằng, lý luận tương tự trên, Fi,u khác hằng.
ii) Nếu i 6∈ IF, thì WFi ≡ 0, nên Fi,u là hằng, suy ra Gi,u là hằng. Từ Fi,u, Gi,u là hằng và (3.10) suy ra
Fi,u = Gi,u = F(u), với i 6∈ IF. (3.11) Từ (3.10) và (3.11) suy ra
Fi,u = Gi,u với mọi i = 1, ..., m. (3.12) Tiếp theo, ta chứng minh F = G.
Giả sử ngược lại F 6= G, khi đó h = F1G2 −F2G1 6≡ 0.
Khi đó, theo Bổ đề 3.1.1 tồn tại u ∈ XF(r(m)) sao cho |h(u)| = |h|r(m) 6= 0. Từ (3.12), ta có hi,u ≡ 0, suy ra |h|r(m) = 0, mâu thuẫn. Vậy F = G. Mệnh đề 3.2.5 được chứng minh.
Trong trường hợp khơng tính bội, chứng minh tương tự. Lý luận tương tự Mệnh đề 3.2.5 ta nhận được:
Mệnh đề 3.2.6. Họ S là n-URS tính bội (tương ứng, khơng tính bội) cho các hàm phân hình trênCmp khi và chỉ khi nó là n-URS tính bội (tương ứng, khơng tính bội) cho cho các hàm phân hình trênCp.
áp dụng Mệnh đề 3.2.6 cho Định lý 3.1 [39], ta nhận được
Định lý 3.2.7. Giả sửf, g là hai hàm phân hình khác hằng trênCmp sao cho Ef(ai) = Eg(ai), ai ∈ Cp∪ {∞}, i= 1,2, ..., q. Nếu q ≥ 4thì f ≡ g.
áp dụng Mệnh đề 3.2.5 cho Định lý 6.3.3 [39] với hàm phân hình, ta được Định lý 3.2.8. Giả sử f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cmp sao cho Ei,f(aj) = Ei,g(aj), i = 1,2, ..., m, aj ∈ Cp ∪ {∞}, j = 1,2,3. Khi đó f ≡ g.