chỉnh hình p-adic
Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu Vấn đề 3.1: Tương tự Vấn đề 1, Vấn đề 2 trong trường hợp p-dic như đã nói ở phần mở đầu. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [13]. Cụ thể:
1. Tìm q siêu phẳng ở vị trí tổng quát để từ đó xác định duy nhất đường cong chỉnh hình p-dic khác hằng bởi ảnh ngược khơng tính bội.
2. Tìm siêu mặt X để từ đó xác định duy nhất đường cong chỉnh hình khơng suy biến đại số p-dic bởi ảnh ngược tính cả bội.
Chúng tơi đưa ra một số định lý duy nhất cho các đường cong chỉnh hình p-dic khác hằng (Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.7).
Chúng tôi đưa ra hai lớp đa thức duy nhất và siêu mặt xác định duy nhất cho các đường cong chỉnh hình p-dic khơng suy biến đại số (Định lý 2.3.3, Định lý 2.3.4).
Chú ý rằng Định lý chính thứ hai trong trường hợp p-adic khác trường hợp phức, nên số q trong Định lý 2.2.3 nhỏ hơn trong Định lý 1.2.3.
Cho đến nay, chưa có kết quả tương tự Định lý 2.2.7 trong trường hợp phức.
Các Định lý trên là tương tự kết quả của W. Adams và E. Straus, P.C.Hu và C.C. Yang [39] và M. Ru [54], và theo hướng trả lời câu hỏi của F. Gross trong trường hợp p-dic.
2.1 Một số khái niệm.
Trường các số phức p− adic Cp. Cho p là số nguyên tố cố định. Qp là bổ sung đầy đủ của trường hữu tỷ Q theo chuẩn p−adic. Ký hiệu Qp là bao đóng đại số của Qp. Khác với trường hợp phức, Qp là trường không đầy đủ. Ký hiệu Cp = b
Qp là bổ sung đầy đủ của bao đóng đại số của Qp. Cp được gọi là trường các số phức p−adic (xem [39]).
Định lý 2.1.1. [39] Cp là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn khơng Acsimet.Cp là trường khả ly nhưng không compact địa phương.
Độ cao của hàm chỉnh hình [41].
Đặt: Dr = z ∈ Cp : |z| 6 r, r > 0
Giả sử f(z) 6≡ 0 là hàm chỉnh hìnhp−adic trên Dr cho bởi chuỗi hội tụ
f(z) = ∞ X n=0 anzn. Do lim
n→∞|an|rn = 0 nên tồn tại n để |an|rn lớn nhất. Ký hiệu
|f|r = max