5 Phương trình vi phân
5.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
5.2.1 Định nghĩa.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình vi phân có dạng
y0 +p(x)y=q(x) hay dy
dx +p(x)y =q(x)
trong đó p(x), q(x) là các hàm số liên tục.
Đặc biệt nếuq(x) = 0phương trình được gọi làphương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, nếuq(x)6= 0 khi đó phương trình được gọi làphương trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất.
5.2.2 Cách giải.
Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Với q(x) = 0, ta có phương trình y0 +p(x)y= 0 hay
dy
dx +p(x)y= 0 (5.1) y 6= 0 chia cả hai vế của phương trình cho y ta có dy
y =−p(x)dx. Lấy tích phân hai
vế ta được
ln|y|=−
Z
p(x)dx+ ln|C|
với C là hằng số tùy ý.
Do đóy=C.e−Rp(x)dx là nghiệm tổng quát của phương trình 5.1.
Mặt khác y= 0 cũng là nghiệm riêng của phương trình 5.1 ứng với C = 0.
Giải phương trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất(Phương pháp biến thiên hằng số)
Với q(x)6= 0, ta có phương trình y0 +p(x)y=q(x)hay
dy
Bộ mơn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2
+ Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 5.1, có nghiệm tổng quát là
y=C.e−Rp(x)dx.
+ Coi C là hàm số của x;C =C(x), ta có
y0 =C0(x).e−Rp(x)dx+C(x).(−p(x)).e−Rp(x)dx
Thay vào phương trình 5.2 ta được
C0(x).e−Rp(x)dx−C(x).p(x).e−Rp(x)dx+C(x).p(x).e−Rp(x)dx =q(x)hay C0(x) = q(x).eRp(x)dx
do đó
C =
Z
q(x).eRp(x)dxdx+K
trong đó K là một hằng số tùy ý. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 5.2 là
y=e− R p(x)dx Z q(x).e R p(x)dx dx+K.e− R p(x)dx
Ví dụ 1. Tìm nghiệm riêng của phương trình (x2 + 1)y0 +xy= 1 thỏa mãn điều kiện
y|x=0 = 2.
Giải:+ Giải phương trình thuần nhất
(x2+ 1)y0 +xy= 0 hay (x2+ 1)dy
dx =−xy hay dy
y =− x
x2+ 1dx
Lấy tích phân hai vế ta được
ln|y|=−1
2ln x
2+ 1+ ln|C|
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y= √ C
x2+ 1. + Coi C là hàm số của x ta có y0 = C 0(x2+ 1)−Cx (x2+ 1)√ x2+ 1
thay y và y0 vào phương trình ban đầu ta được
C0(x2+ 1)−Cx √ x2+ 1 + Cx √ x2+ 1 = 1 hay C 0 = √ 1 x2+ 1 hay C = ln x+√ x2+ 1 +K
trong đó K là hằng số tùy ý. Do đó nghiệm tổng qt của phương trình là
y= ln x+√ x2+ 1+K √ x2+ 1
Mặt khác ta có y|x=0 = 2 ⇒ K = 2. Vậy nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn
điều kiện y|x=0 = 2 là y= ln x+√ x2+ 1+ 2 √ x2+ 1