4 Γ mụđun chộo bện và nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện
5.5. Kết luận của Chương 5
Trong chương này, luận ỏn đó giải quyết được những vấn đề sau:
- Chỉ ra mối liờn hệ giữa bất biến thứ ba của nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ HolΓG với cản trở của hạt nhõn đẳng biến;
- Trỡnh bày lý thuyết Schreier cho cỏc mở rộng nhúm đẳng biến của A bởi Π
là mở rộng tõm nhờ vào cỏc tự hàm tử monoidal phõn bậc của nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ RΓ(Π, A,0);
- Xõy dựng nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ từ một nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ với một Γ-đồng cấu.
KẾT LUẬN CHUNG
Luận ỏn đó thu được cỏc kết quả chớnh sau đõy:
- Đưa ra một cỏch tiếp cận mới đối với cỏc phạm trự Picard phõn bậc thụng qua khỏi niệm giả hàm tử (hệ nhõn tử) để giải thớch nhúm đối đồng điều đối xứng thứ 2 và thứ 3 của cỏc Γ-mụđun. Từ đú, thu lại được kết quả về sự phõn lớp cỏc phạm trự Picard phõn bậc của A. M. Cegarra và E. Khmaladze, và thu được kết quả mới về phõn lớp cỏc mở rộng Γ-mụđun;
- Xõy dựng tương đương phạm trự giữa phạm trự cỏc mụđun chộo bện với phạm trự cỏc nhúm phạm trự chặt chẽ bện; Xõy dựng tương đương phạm trự cho phạm trự cỏc mụđun chộo aben và phạm trự cỏc phạm trự Picard chặt chẽ; - Đưa ra định nghĩa nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện và xõy dựng tương đương phạm trự giữa phạm trự cỏc nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện với phạm trự cỏc Γ-mụđun chộo bện;
- Phỏt biểu và giải bài toỏn mở rộng aben kiểu mụđun chộo aben và bài toỏn mở rộng Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben;
- Ứng dụng nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ vào bài toỏn phõn lớp cỏc mở rộng nhúm đẳng biến là mở rộng tõm.
DANH MỤC CễNG TRèNH
LIấN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN
1. N. T. Quang, P. T. Cuc and C. T. K. Phung (2013), Factor sets in graded Picard categories,Universal Journal of Mathematics and Mathematical Sci- ences, 4(2), 253-284.
2. N. T. Quang, C. T. K. Phung and N. S. Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories, Albanian Journal of Mathematics,
7(1), 37–48.
3. N. T. Quang and C. T. K. Phung (2013), Some results on strict graded categorical groups, Algebra, Vol. 2013, Article ID 306978, 7 pages.
4. N. T. Quang, C. T. K. Phung and P. T. Cuc, Braided equivariant crossed modules and cohomology ofΓ-modules,Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 21 pages (to appear).
Cỏc kết quả trong luận ỏn đó được bỏo cỏo tại:
•Hội thảo khoa học nghiờn cứu sinh của Trường Đại học Vinh (Trường Đại học Vinh, 12/2010)
• Xemina của Bộ mụn Đại số, Khoa Sư phạm Toỏn học, Trường Đại học Vinh
• Xemina của Bộ mụn Đại số, Khoa Toỏn - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gũn
•Xemina của Hội đồng Khoa học và Đào tạo, Khoa Sư phạm Toỏn học, Trường Đại học Vinh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Anh
[1] E. Aldrovandi and B. Noohi (2009), Butterflies. I. Morphisms of 2-group stacks, Adv. Math., 221(3), 687–773.
[2] J. C. Baez and A. D. Lauda (2004), Higher-dimensional algebra. V. 2-groups,
Theory Appl. Categ., 12, 423–491.
[3] R. Brown and N. D. Gilbert (1989), Algebraic models of 3-types and auto- morphism structures for crossed modules, Proc. London Math. Soc., 59(1), 51–73.
[4] R. Brown and O. Mucuk (1994), Covering groups of nonconnected topological groups revisited, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 115(1), 97–110. [5] R. Brown and C. B. Spencer (1976), G-groupoids, crossed modules and the
fundamental groupoid of a topological group,Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 79=Indag. Math., 38(4), 296–302.
[6] M. Bullejos, P. Carrasco and A. M. Cegarra (1993), Cohomology with coef- ficients in symmetric cat-groups. An extension of Eilenberg-MacLane’s clas- sification theorem, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 114(1), 163–189. [7] M. Calvo, A. M. Cegarra and N. T. Quang (2012), Higher cohomologies of
modules, Algebr. Geom. Topol., 12(1), 343–413.
[8] P. Carrasco, A. M. Cegarra and A. R.-Grandjeỏn (2002), (Co)homology of crossed modules. Category theory 1999, J. Pure Appl. Algebra, 168(2-3), 147–176.
[9] A. M. Cegarra and A. R. Garzún (2003), Some algebraic applications of graded categorical group theory, Theory Appl. Categ., 11(10), 215–251. [10] P. Carrasco and A. R. Garzún (2004), Obstruction theory for extensions of
[11] A. M. Cegarra, J. M. Garcớa-Calcines and J. A. Ortega (2002), On graded categorical groups and equivariant group extensions,Canad. J. Math.,54(5), 970–997.
[12] A. M. Cegarra, J. M. Garcớa-Calcines and J. A. Ortega (2002), Cohomology of groups with operators, Homology Homotopy Appl., 4(1), 1–23.
[13] A. M. Cegarra, A. R. Garzún and J. A. Ortega (2001), Graded extensions of monoidal categories, J. Algebra, 241(2), 620–657.
[14] A. M. Cegarra and E. Khmaladze (2007), Homotopy classification of braided graded categorical groups, J. Pure Appl. Algebra, 209(2), 411–437.
[15] A. M. Cegarra and E. Khmaladze (2007), Homotopy classification of graded Picard categories, Adv. Math., 213(2), 644–686.
[16] S. Eilenberg and S. MacLane (1947), Cohomology theory in abstract groups. II, Group extensions with a non-Abelian kernel, Ann. Math. 48(2), 326-341. [17] S. Eilenberg and S. MacLane, Cohomology theory of Abelian groups and homotopy theory I, II, III, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 36, (1950), 443– 447; 36, (1950), 657–663; 37, (1951), 307–310.
[18] S. Eilenberg and S. MacLane, On the groups H(Π, n) I, II, Ann. of Math.,
58, (1953), 55–106; 60, (1954), 49–139.
[19] A. Frăohlich and C. T. C. Wall (1974), Graded monoidal categories, Com- positio Math., 28, 229–285.
[20] L. Fuchs (1970), Infinite abelian groups. Vol. I. Pure and Applied Mathe- matics, Academic Press, New York-London.
[21] A. R. Garzún and A. Del Rớo (2005), Equivariant extensions of categorical groups, Appl. Categ. Structures, 13(2), 131–140.
[22] A. Joyal and R. Street (1993), Braided tensor categories, Adv. Math.,
102(1), 20–78.
[23] M. L. Laplaza (1983), Coherence for categories with group structure: an alternative approach, J. Algebra, 84(2), 305–323.
[24] S. MacLane (1952), Cohomology theory of Abelian groups, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 2, 8–14.
[25] S. MacLane (1963), Natural associativity and commutativity, Rice Univ. Studies, 49(4), 28–46.
[26] S. MacLane (1963), Homology, Springer-Verlag, New York.
[27] B. Noohi (2007), Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules, Ho- mology, Homotopy Appl., 9(1), 75–106.
[28] B. Noohi (2011), Group cohomology with coefficients in a crossed module,
J. Inst. Math. Jussieu, 10(2), 359–404.
[29] K. Norrie (1990), Actions and automorphisms of crossed modules,Bull. Soc. Math. France, 118(2), 129–146.
[30] N. T. Quang (1994), Ann-categories and the Mac Lane-Shukla cohomology of rings.Abelian groups and modules, No. 11, 12 (Russian), 166–183, Tomsk. Gos. Univ., Tomsk..
[31] N. T. Quang (2010), The factor sets of Gr-categories of the type(Π, A), Int. J. Algebra, 4(14), 655–668.
[32] N. T. Quang and P. T. Cuc (2012), Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math. Commun., 17(2), 575–598.
[33] N. T. Quang and P. T. Cuc, Equivariant crossed modules and Cohomology of group with operators, arXiv:1320.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013.
[34] N. T. Quang, P. T. Cuc and N. T. Thuy (2014), Crossed modules and strict Gr-categories, Communications of the Korean Mathematical Society, 29(1), 9–22.
[35] N. T. Quang, N. T. Thuy and P. T. Cuc (2011), Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J. Math., 13(2), 163–186.
[36] N. T. Quang, P. T. Cuc and C. T. K. Phung (2013), Factor sets in graded Picard categories, Universal Journal of Mathematics and Mathematical Sci- ences, 4(2), 253-284.
[37] N. T. Quang and C. T. K. Phung (2013), Some results on strict graded categorical groups, Algebra, Vol. 2013, Article ID 306978, 7 pages.
[38] N. T. Quang, C. T. K. Phung and P. T. Cuc, Braided equivariant crossed modules and cohomology of G-modules,Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 21 pages (to appear).
[39] N. T. Quang, C. T. K. Phung and N. S. Tung (2013), Abelian crossed modules and strict Picard categories,Albanian Journal of Mathematics,7(1), 37–48.
[40] R. L. Taylor (1953), Compound group extensions. I. Continuations of nor- mal homomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc., 75, 106–135.
[41] J. H. C. Whitehead (1949), Combinatorial homotopy. II, Bull. Amer. Math. Soc., 55, 453–496.
Tiếng Phỏp
[42] J. Bộnabou (1963), Catộgories avec multiplication, C. R. Acad. Sci. Paris,
256, 1887–1890.
[43] P. Dedecker (1964), Les foncteursExtΠ,HΠ2 etHΠ2 non abộliens, C. R. Acad. Sci. Paris, 258, 4891–4894.
[44] A. Grothendieck (1971), Catộgories fibrộes et descente (SGA I, exposộ VI), Lecture Notes in Math. 224, Springer-Verlag: Berlin, 145–194.
[45] N. S. Rivano (1972),Catộgories Tannakiennes, Lecture Notes in Mathemat- ics, 265, Springer-Verlag, Berlin-New York.
[46] H. X. Sinh (1975), Gr-catộgories, Thốse de doctorat, Universitộ Paris VII.
Zs2(Cokerd,Kerd0), 57 (F,F , Fe ∗), 17 (C, gr), 23 BrCross, 55 BrGr∗, 55 HΓn,ab(M, N), 25 ∆F, 33 DisΓM, 41 ExtcΓ(Π, A), 90 ExtZΓ(M, N), 41 Γ, 23 Γ-mụđun chộo, 87 đối xứng, 68 aben, 77 bện, 68 Γ-phõn bậc, 23 ổn định, 23 Hom(ϕ,f)[S,S0], 29
HomΓ,s[DisΓM,RedΓN], 42
Obs(p), 87 RedΓN, 42 AbCross∗, 59 Picstr∗, 59 SymCross, 55 ΓPiGr∗, 77 ΓSymCross, 77 R Γ(Π, A,0) , 90 R Γ(Π, A, h), 24 P, 19, 20 P(h), 20 E, 60 F, 31 M, 48 π0(P), 20 π1(P), 20 ψ∗h, 64 gr, 23 AbCross, 58 BrCross, 53 BrGr∗, 54 PiGr∗, 55 Picstr, 58 ΓBrCross, 75 ΓBrGr∗, 76 Hom(ϕ,f)[S,S0], 22 đồng cấu mụđun chộo
đẳng biến bện, 72 bện, 51 đồng luõn, 18 bện, 19 cản trở của hàm tử, 22 của hạt nhõn đẳng biến, 87 của một hàm tử phõn bậc, 28 103
hàm tử kiểu (ϕ, f), 21 hàm tử monoidal, 17 đối xứng, 19 phõn bậc, 23 phõn bậc đối xứng, 27 hạt nhõn đẳng biến, 87 hệ đại diện, 21 hệ nhõn tử đối xứng, 31 chớnh qui, 69 khỏ chặt chẽ, 32
hai mở rộng tương tương, 41 mở rộng Γ-mụđun, 41
kiểu Γ-mụđun chộo aben, 78 mở rộng aben
kiểu mụđun chộo aben, 60 mở rộng phõn bậc, 27 mở rộng tớch chộo liờn kết, 61 mụđun chộo, 48 đẳng biến đối xứng, 68 đẳng biến bện, 68 đối xứng, 49 đẳng biến, 87 aben, 56 aben liờn kết, 56 bện, 49 bện liờn kết, 50 nhúm phạm trự, 18 phõn bậc bện, 27 đối xứng, 19 bện, 19 bện thu gọn, 20 chặt chẽ bện liờn kết, 49 chặt chẽ đối xứng, 49 chặt chẽ bện, 49 phõn bậc, 24 thu gọn, 25 phõn bậc bện thu gọn, 28 phõn bậc chặt chẽ, 86 phõn bậc chặt chẽ bện, 69 phạm trự monoidal, 16 phõn bậc bện, 27 bện, 19 phõn bậc, 23 phõn bậc đối xứng, 27 phạm trự phõn bậc, 23 phạm trự Picard, 19 chặt chẽ, 56 chặt chẽ liờn kết, 56 phõn bậc, 27 phõn bậc thu gọn, 28 thu gọn, 21 ràng buộc đơn vị, 17 giao hoỏn, 19 kết hợp, 17
tương đương monoidal, 18 phõn bậc, 24