4 Γ mụđun chộo bện và nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện
5.2. Hạt nhõn đẳng biến
Khỏi niệm hạt nhõn đẳng biến đó được giới thiệu bởi A. M. Cegarra và cỏc đồng tỏc giả [11]. Đú là bộ ba (Π, G, p), trong đú Π, G là cỏc Γ-nhúm và
p: Π →OutG là một đồng cấu của cỏc Γ-nhúm. Khi đú ZG là OutG-mụđun Γ- đẳng biến với tỏc động[f]a=f(a). Cỏi cản trở của hạt nhõn đẳng biến (Π, G, p)
là một phần tử thuộc HΓ3(Π, ZG) được xỏc định như sau (xem [11, tr. 996]). Với mỗi x∈Π, ta chọn tự đẳng cấu ϕx∈p(x) của G, trong đú ϕ1 =idG. Vỡ
p(xy) =p(x)p(y), σp(x) =p(σx), x, y ∈Π, σ ∈Γ
ϕxϕy =àf(x,y)ϕxy, σϕx=àf(x,σ)ϕ(σx),
trong đú àu là tự đẳng cấu trong của Γ-nhúm G sinh bởi u∈G.
Khi đú cặp (f, ϕ) cảm sinh một phần tử k ∈ ZΓ3(Π, ZG). Thật vậy, ỏp dụng luật kết hợp đối với tớch ϕxϕyϕz, ta được
ϕxf(y, z) +f(x, yz) = k(x, y, z) +f(x, y) +f(xy, z). (5.2.1) Cỏc hệ thức σ(ϕxϕy) =σϕxσϕy và τ(σϕx) = τ σϕx kộo theo
f(x, σ) +ϕ(σx)(f(y, σ)) +f(σx, σy) = k(x, y, σ) +σf(x, y) +f(xy, σ) (5.2.2)
τ f(x, σ) +f(σx, τ) =k(x, τ, σ) +f(x, τ σ) (5.2.3) Cỏc hệ thức (5.2.1)-(5.2.3) đảm bảo cho k ∈ZΓ3(Π, ZG).
Lớp đối đồng điều k được gọi là cản trở của (Π, G, p) và được ký hiệu là Obs(p).
Theo [11, Định lý 4.1], tồn tại mở rộng đẳng biến của G bởi Π cảm sinh p
khi và chỉ khi Obs(p) = 0. Khi đú [11, Định lý 4.2] chỉ ra song ỏnh
ExtΓ(Π, G)'Hom[DisΓΠ,HolΓG].
Định lý sau đõy sẽ mụ tả cỏc bất biến của nhúm phạm trự phõn bậc HolΓG
và chỉ ra mối liờn hệ giữa bất biến thứ ba của HolΓG với Obs(p).
5.2.1 Định lý. Giả sử (Π, G, p) là hạt nhõn đẳng biến. Khi đú nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ HolΓG cú cỏc bất biến:
(i) π0(HolΓG) = OutG, π1(HolΓG) = ZG;
(ii) h∈ZΓ3(OutG, ZG) sao cho p∗h∈Obs(p).
Chứng minh. (i) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa của phạm trự HolΓG và phạm trự thu gọn.
(ii) Theo [11, Mục 3], tồn tại tương đương phõn bậc monoidal
(H,He) :
Z
Γ
(OutG, ZG, h)→HolΓG.
Trước hết ta nhận xột rằng mỗi mũi tờn (a, σ) : r→s trong RΓ(OutG, ZG, h) cú thể phõn tớch thành
Ta ký hiệu
H(r −−−→(0,σ) σr) = (H(r)−−−−−−→(g(r,σ),σ) σH(r)).
Do H(r −−−→(a,1) r) = (a,1) với r ∈ OutG và a ∈ ZG (xem [35, Mệnh đề 13]) nờn
hàm tử monoidal phõn bậc (H,He) xỏc định hàm f cho bởi
f(x, y) =Hepx,py = (p∗He)(x, y), f(x, σ) = g(px, σ) = (p∗g)(x, σ).
Đặt ϕ=H◦p : Π→OutG →AutG, khi đú cặp (f, ϕ) xỏc định k ∈Obs(p) theo cỏc hệ thức (5.2.1)-(5.2.3). Cỏc hệ thức này cú thể được viết dưới dạng hỡnh thức k =δf dự rằng f khụng nhận giỏ trị trong ZG.
Tớnh tương thớch của (H,He) với cỏc ràng buộc kết hợp kộo theo h=δHe. Do đú với x, y, z ∈Π, ta cú
(p∗h)(x, y, z) =h(px, py, pz) = (δHe)(px, py, pz) = (δf)(x, y, z)(5.2.1)= k(x, y, z).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh(p∗h)(x, y, σ) = k(x, y, σ). Do(H,He)là một⊗-hàm tử nờn biểu đồ sau giao hoỏn
H(r)⊗H(s) He // H(u)⊗H(v) H(r⊗s) H(u⊗v) H(r0)⊗H(s0) e H / /H(r0⊗s0) với u= (r −−−→(0,σ) r0) và v = (s−−−→(0,σ) s0). Cỏc hệ thức (1.3.2), (5.1.2) và (5.1.1) suy ra H(u⊗v)◦Her,s = (σHr,s+g(rs, σ) +h(r, s, σ), σ), e Hr0,s0◦(H(u)⊗H(v)) = (g(r, σ) +H(r0)g(s0, σ) +Her0,s0, σ). Chỳ ý rằng Hr,s =Hpx,py =f(x, y), h(r, s, σ) = (p∗h)(x, y, σ), g(r, σ) = g(p(x), σ) = (p∗g)(x, σ) = f(x, σ), H(r0) =H(σr) =σH(r) = σH(p(x)) =σϕx.
Do đú ta cú
(p∗h)(x, y, σ) +σf(x, y) +f(xy, σ) =f(x, σ) +σϕxf(y, σ)f(σx, σy).
Điều này chứng tỏ (p∗h)(x, y, σ)(5.2.2)= k(x, y, σ).
Cuối cựng, ta dựa vào tớnh hàm tử của H để chứng minh (p∗h)(x, τ, σ) =
k(x, τ, σ). Với hợp thành r−−−→(0,σ) s−−−→(0,τ) t, ta cú H[(0, τ)◦(0, σ)](1.3.1)= H[(h(r, τ, σ), τ σ)] =H[h(r, τ, σ),1)◦(0, τ σ)] =H[(h(r, τ, σ),1)]◦H[(0, τ σ)] = (h(r, τ, σ),1)◦(g(r, τ σ), τ σ) (5.1.1) = (g(r, τ σ) +h(r, τ, σ), τ σ). Mặt khỏc, H(0, τ)◦H(0, σ) =H(r)−−−−−−→(g(r,σ),σ) H(s)−(−−−−−g(s,τ),τ→) H(t) (5.1.1) = H(r)−−−−−−−−−−−−−→(τ g(r,σ)+g(σr,τ),τ σ) H(t).
Hơn nữa vỡ h(r, τ, σ)∈ZG và tớnh hàm tử của H nờn
h(r, τ, σ) +g(r, τ σ) = τ g(r, σ) +g(σr, τ),
nghĩa là h(r, τ, σ) = δg. Vỡ vậy ta được
(p∗h)(x, τ, σ) =h(px, τ, σ) = δg(px, τ, σ) =δf(x, τ, σ)(5.2.3)= k(x, τ, σ).
Định lý đó được chứng minh.
5.3. Phõn lớp cỏc mở rộng nhúm đẳng biến là mở rộng tõmTrong mục này, chỳng tụi phõn lớp cỏc mở rộng nhúmΓ-đẳng biếnAE