ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H.
iii) hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K.
iv) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0.
hx, yi được gọi là tích vơ hướng của hai vectơ x và y.
Cặp (H,h., .i) được gọi là khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi là không gian Unita).
Từ định nghĩa ta nhận thấy rằng khi K là trường thực thì tích vơ hướng là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H.
Ví dụ
1) Lấy H = Rn, với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ H và biểu thức hx, yi = n X i=1 xiyi,
§1. Khái niệm về không gian Hilbert 91
2) Lấy H = C[0,1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0,1] nhận giá trị phức, với x, y ∈ H biểu thức
hx, yi =
Z 1
0
x(t)y(t)dt,
xác định một tích vơ hướng trên C[0,1]. Khi đó khơng gian này là một khơng gian tiền Hilbert và thường kí hiệu C[0,1]L .
Định lý 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau
|hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi, bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Chứng minh. Với y = 0 bất đẳng thức đúng. Giả sử y 6= 0, với mọi λ ∈ K ta có
hx + λy, x + λyi ≥ 0
suy ra
hx, xi + λhy, xi + ¯λhx, yi + |λ|2hxy, yi ≥ 0.
92 Chương 4. Khơng gian Hilbert
Vì λ tuỳ ý và y 6= 0 nên ta có thể chọn λ = −hx,yihy,yi. Thay vào bất đẳng thức trên ta được
hx, xi − |hx, yi| 2
hy, yi ≥ 0. Vậy bất đẳng thức Schwarz được chứng minh.
Nhận xét 1. Trong bất đẳng thức Schwarz dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Định lý 1.3. Cho H là khơng gian tiền Hilbert. Khi đó, kxk = hx, xi12, x ∈ H
xác định một chuẩn trên H.
Chứng minh. Từ định nghĩa của tích vơ hướng ta suy ra
i) kxk ≥ 0, với mọi x ∈ H; và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0. ii) Với mọi x ∈ H và α ∈ C ta có kαxk = hαx, xαi12 = |α|kxk.
§1. Khái niệm về không gian Hilbert 93
iii) Với mọi x, y ∈ H ta có
kx + yk2 = hx + y, x + yi
= kxk2 + hy, xi + hx, yi + kyk2
= kxk2 + hx, yi + hx, yi + kyk2
= kxk2 + 2Re(hx, yi) + kyk2 ≤ kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2.
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có
kx + yk2 ≤ kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = (kxk + kyk)2.
Vậy kx + yk ≤ kxk + kyk.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian tiền Hilbert H, theo Định lý 1.3 thì H là một khơng gian tuyến tính định chuẩn. Nếu H là khơng gian đầy đủ thì ta gọi H là
khơng gian Hilbert.
Ví dụ
94 Chương 4. Khơng gian Hilbert
1) Lấy H = Cn với tích vơ hướng xác định bởi hệ thức hx, yi =
n X
i=1
xiy¯i,
trong đó x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Cn. Khi đó H là một khơng gian Hilbert.
2) Cho (Ω,B, µ) là một khơng gian độ đo. Ký hiệu
L2(Ω) = {f : Ω −→ C :
Z
Ω
|f(x)|2dµ < ∞}. Với tích vơ hướng
hf, gi =
Z
Ω
f(x)g(x)dµ,
L2(Ω) là một khơng gian Hilbert.