Định hƣớng xây dựng hoạt động mơ hình hóa

CHƢƠNG 1 .CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

2.1. Định hƣớng xây dựng hoạt động mơ hình hóa

Việc xây dựng hoạt động mơ hình hóa trong dạy học cần tn theo một số định hƣớng nhất định, nhằm đảm bảo việc vận dụng đạt hiệu quả cao.

Đảm bảo tính khoa học của tốn học

Các mơ hình đƣợc thiết kế phải đảm bảo tính khoa học, tính chính xác của tốn học và mơ tả đƣợc các tình huống trong thực tiễn. HS sử dụng các phƣơng pháp tốn học để giải bài tốn, từ đó đối chiếu kết quả với thực tế để điều chỉnh mơ hình hóa tốn học cho phù hợp.

Chú trọng rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề

HS phân tích những cái đã cho, những mối quan hệ ràng buộc và mục tiêu, lập giả thuyết, lập kế hoạch tìm kiếm lời giải hơn là thử ngay kết quả của nó. Xét các bài tốn tƣơng tự, cố gắng đơn giản hóa bài tốn ban đầu để có thể tìm hiểu sâu và dễ dàng đi tìm kết quả. Kiểm sốt và đánh giá quá trình và thay đổi giả thuyết nếu thấy cần thiết. Phụ thuộc vào ngữ cảnh tình huống thực tế, thay đổi biểu thức đại số, thay đổi biểu diễn của mơ hình, giải thích tƣơng ứng giữa các phƣơng trình, mơ tả bằng lời, bảng biểu, đồ thị hoặc biểu đồ, sơ đồ của những đặc trƣng, tính chất quan trọng, mối quan hệ, biểu diễn số liệu, xu hƣớng. Phụ thuộc vào các đối tƣợng hoặc hình ảnh cụ thể để giải bài toán. Kiểm tra câu trả lời sử dụng các phƣơng pháp khác nhau, hiểu đƣợc ƣu thế của từng phƣơng pháp. Thông qua MHH, HS đƣợc phát triển các kỹ năng GQVĐ, đặc biệt là những vấn đề trong thực tiễn.

Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức

Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đƣợc hiểu là khả năng thực hiện đƣợc (xây dựng đƣợc, sử dụng đƣợc). Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chƣơng trình, SGK, kế hoạch dạy học và quỹ thời

gian thực hiện, trình độ nhận thức chung của HS, khả năng và trình độ thực hiện của GV, sự tƣơng hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các tình huống... vì vậy, các hoạt động và hệ thống bài tập MHH cần phải đƣợc tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lƣợng và mức độ.

Các hoạt đơng và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần đƣợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết đƣợc một bài tốn có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngƣợc lại việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho q trình hoạt động tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập MHH, GV cần chú ý đến các cấp độ sau đây:

- Cấp độ 0: HS khơng hiểu tình huống (bài tốn) thực tiễn và khơng thể vẽ,

phác thảo hay viết bất cứ điều gì về vấn đề.

- Cấp độ 1: Sau khi tìm hiểu tình huống (bài toán) thực tiễn, HS hiểu đƣợc

tình huống nhƣng khơng biết chuyển đổi thành bài toán toán học.

- Cấp độ 2: HS chuyển đƣợc tình huống (bài toán) thực tiễn sang bài toán

toán học, nghĩa là thiết lập đƣợc phƣơng trình tốn học nhƣng khơng thể làm việc với bài toán bằng kiến thức toán học.

- Cấp độ 3: HS thiết lập đƣợc phƣơng trình tốn học, làm việc với bài toán

với kiến thức tốn học và có kết quả cụ thể.

- Cấp độ 4: HS có thể trải nghiệm q trình MHH tốn học và quay lại kiểm

nghiệm lời giải bài tốn trong mối quan hệ với tình huống (bài tốn) thực tiễn đã cho.

Trong các cấp độ trên, nếu HS vƣợt qua đƣợc cấp độ 1 và 2 là hai cấp độ quan trọng và mấu chốt. Chính vì vậy, GV cần có hệ thống bài tập phù hợp với trình độ của HS, cũng nhƣ có phƣơng pháp cụ thể dẫn dắt HS đạt đƣợc hai cấp độ này. Vì vậy, tùy từng đối tƣợng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp,

27

vừa sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH vấn đề thực tiễn trong dạy học mơn Tốn.

2.2. Thiết kế hoạt động mơ hình hóa tốn học chủ đề phƣơng trình bậc hai

Thiết kế hoạt động MHH toán học là nhiệm vụ của GV cần làm để HS thực hiện hoạt động MHH toán học, qua đó HS khơng chỉ nắm đƣợc kiến thức, kỹ năng toán học đƣợc cài đặt trong hoạt động đã nêu, mà HS cịn có thể rèn luyện và phát triển năng lực MHH toán học.

Để xây dựng những hoạt động MHH có ý nghĩa và phù hợp đối với HS, chúng ta có thể thực hiện theo các bƣớc sau:

 Bắt đầu với một tình huống thực tiễn hoặc tình huống phỏng thực tiễn, tình huống đó phải thích hợp với đối tƣợng HS và chứa đựng nội dung toán học các em đã đƣợc học.

 Dự kiến những kiến thức, kỹ năng toán học mà HS cần sử dụng để thiết lập mơ hình tốn học và giải bài tốn.

 Làm cho tình huống rõ ràng hơn, tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế và tốn học bằng cách:

+ Đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa vấn đề. + Đƣa ra các giả thiết phù hợp.

+ Nhận ra các biến trong tình huống để biểu diễn các đặc điểm cần thiết. + Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thơng tin cho tình huống, những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mơ hình tốn phù hợp với tình huống.

 Đối chiếu mơ hình với thực tế và rút ra kết luận cần thiết.

Bài toán 2.1. (Bài toán dân số)

Sau hai năm số dân của thành phố Hà Nội tăng từ 2 000 000 ngƣời lên 2 020 050 ngƣời. Hỏi trung bình mỗi năm

dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Phác thảo tình huống):

Sau hai năm dân số tăng thêm 1 số cụ thể, cần tính đƣợc một năm dân số của thành phố Hà Nội tăng bao nhiêu phần trăm. Theo bài tốn sẽ có hai mốc thời gian: sau năm thứ nhất dân số là bao nhiêu? Sau năm thứ hai dân số là bao nhiêu? Nhƣ vậy, HS cần nắm chắc kỹ năng tính phần trăm.

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa):

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình của mỗi năm là x (% , x > 0). Xét các mối quan hệ

để biểu diễn tình huống thành một bài tốn liên quan đến phƣơng trình: Sau một năm dân số là: 2000000 2000000.

100

x

 (ngƣời).

Sau hai năm dân số là: 2000000 2000000. 2000000 2000000. .

100 100 100 x  x  x       2 2000000 40000x 200x    (ngƣời)

Từ giả thiết bài tốn ta có đƣợc phƣơng trình:

2

200000040000x200x 2020050 - Giai đoạn 3 (Giải bài toán):

29 2 2 2000000 40000 200 2020050 4 800 401 0 x x x x       

Giải phƣơng trình bậc hai, ta có:

2 1 2 ' 400 4.401 161604 400 402 400 402 ' 402 0,5; 200,5 4 4 x x                 

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm x1 0,5(thỏa mãn điều kiện); x2  200,5 (loại)

Sau năm đầu, số dân thành phố là 2000000 20000.0,5 2010000  ngƣời

Sau hai năm, số dân thành phố: 2

200000040000.0,5200.0,5 2020050 ngƣởi. Nhƣ vậy, kết quả của bài tốn thu đƣợc hồn toàn phù hợp với số liệu của tình huống thực tiễn. Vậy mỗi năm dân số trung bình của thành phố tăng 0,5%.

* Phân tích kết quả hoạt động

Phần lớn HS khơng gặp khó khăn trong giai đoạn tốn học hóa bài toán. Tuy nhiên, một số HS còn lúng túng trong kỹ năng tính phần trăm, với sự hƣớng dẫn của GV, nhóm HS đã giải quyết đƣợc vấn đề đó và đối chiếu kết quả với bài toán thực tiễn ban đầu. Kết quả thực nghiệm cho thấy, gần 90% số HS chỉ đạt đƣợc kỹ năng MHH ở cấp độ 3.

Bài toán 2.2. (Bài toán chuyển động thay đổi vận tốc) Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trƣớc. Sau khi đi đƣợc nửa quãng đƣờng, xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Thời gian xe dự định đi hết quãng đƣờng AB dài 120km là bao lâu?

* Mục tiêu hoạt động

Trong hoạt động này, HS có thể đƣợc rèn luyện đƣợc những kỹ năng sau:

- Phân tích bài tốn một vật chuyển động có vận tốc thay đổi - Giải bài tốn bằng cách lập phƣơng trình

* Tiến trình hoạt động

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Phác thảo tình huống): Xe máy dự định đi quãng đƣờng AB với thời gian và vận tốc dự định (đều chƣa biết), đi nửa quãng đƣờng AB tức 60 km với vận tốc dự định, nửa quãng đƣờng 60 km còn lại xe đi với vận tốc lớn hơn 10 km/h, vì vậy thời gian đi nửa đoạn đƣờng đầu nhiều hơn thời gian đi nửa đoạn đƣờng sau 30 phút. Vậy có những đại lƣợng nào chƣa biết, đã biết? Quan sát và thu thập số liệu liên quan, điền vào bảng sau dựa trên các câu hỏi:

Quãng đƣờng S (km) Vận tốc v (km/h) Thời gian t (giờ) Dự định 60 ? ?? Thực tế 60 ? + 10 ?? - 1 2

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa): Xét các mối quan hệ để biểu diễn tình huống thành một bài tốn liên quan đến phƣơng trình.

Gọi ẩn trực tiếp:

Gọi thời gian dự định đi hết quãng đƣờng AB của xe máy là: x (giờ, x > 0) Vận tốc của xe trên nửa quãng đƣờng AB dài 60 km là: 120

x (km/h)

Vận tốc của xe trêm nửa quãng đƣờng 60 km còn lại là: 120 10

x  (km/h) Thời gian đi nửa quãng đƣờng đầu là

2

x

(giờ) Thời gian đi nửa quãng đƣờng sau là 60 6

120 12 10 x x x    (giờ). Bƣớc này khá phức tạp, vì vậy, thử gọi ẩn là vận tốc dự định xem sao?

31

Gọi vận tốc dự định (vận tốc nửa quãng đƣờng đầu) của xe máy là x (km/h, x > 0) Vận tốc nửa quãng đƣờng sau của xe máy là x + 10 (km/h)

Thời gian xe máy đi 60 km đầu là 60

x giờ. Thời gian xe máy đi 60 km sau là 60

10

x giờ.

Vì xe máy đến B sớm hơn nửa giờ, tức là thời gian đi nửa quãng đƣờng sau ít hơn thời gian đi nửa quãng đƣờng trƣớc nửa giờ, do đó ta có PT: 60 60 1

10 2

x  x 



- Giai đoạn 3 (Giải bài tốn):

Giải phƣơng trình: 60 60 1 60( 10) 60 1 2 10 1200 0 10 2 ( 10) 2 x x x x x x x x            

Giải phƣơng trình bậc hai: 2

10 1200 0

x  x 

Ta có: ' 25 1200 1225    ' 35   x 5 3530; x  5 35 40 - Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm x1 30(thỏa mãn điều kiện); x2  400 (loại) Thời gian xe máy đi 60 km đầu là: 60 : 30 = 2 (giờ)

Thời gian xe máy đi 60 km sau là: 60 : (30 + 10) = 1,5 (giờ) Thời gian dự định là: 2 + 1,5 + 0,5 = 4 (giờ)

Nhƣ vậy, kết quả của bài tốn thu đƣợc hồn toàn phù hợp với số liệu của tình huống thực tiễn.

Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đƣờng AB dài 120km là 4 giờ.

* Phân tích kết quả hoạt động

Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn tốn học hóa bài tốn. Ở bài toán này, câu hỏi bài tốn đƣa ra là tính thời gian dự định xe máy đi hết quãng đƣờng AB chứ khơng phải tính vận tốc dự định của xe máy. Chính vì vậy, nhiều HS “máy móc” đặt ẩn trực tiếp là “thời gian dự định” dẫn đến bƣớc tốn học hóa trở nên khó khăn và phức tạp. Cách đặt ẩn này vẫn cho ra đƣợc phƣơng trình và đáp số, tuy

nhiên khá khó khăn và dễ sai sót. Vì vậy, GV dự đốn trƣớc đƣợc và hƣớng HS cách đặt ẩn gián tiếp là “vận tốc dự định”. Nhƣ vậy, bài toán dễ dàng đƣợc giải quyết. GV so sánh hai cách đặt ẩn và chốt lại mơ hình tốn học tối ƣu.

Bài toán 2.3. (Bài toán chuyển động ngược chiều) Hai ô tô khởi hành ngƣợc

chiều cùng một lúc ở hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Sau 1,2 giờ thì gặp nhau. Tìm vận tốc mỗi xe. Biết thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 1 giờ. Giả sử hai xe chuyển động đều.

* Mục tiêu hoạt động

Trong hoạt động này, HS có thể đƣợc rèn luyện đƣợc những kỹ năng sau:

- Phân tích bài tốn hai vật chuyển động ngƣợc chiều

- Giải bài tốn bằng cách lập phƣơng trình

- Liên hệ toán học với các vấn đề thực tiễn về chuyển động

* Tiến trình hoạt động

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1: (Phác thảo tình huống): Hai ơ tơ chuyển động ngƣợc chiều nên khi gặp nhau, tổng quãng đƣờng hai xe đi đƣợc chính bằng quãng đƣờng AB. Vì vậy cần xác định đƣợc quãng đƣờng mỗi xe đi đƣợc là bao nhiêu?

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa): Chƣa có dự kiện nào nói đến mối quan hệ giữa vận tốc của hai xe, vì vậy để đơn giản hóa cần phải đặt hai ẩn: Gọi x là vận tốc xe

thứ nhất, y là vận tốc xe thứ hai (x, y > 0, km/h). Quãng đƣờng ô tô thứ nhất đi đƣợc là 1,2x (km) Quãng đƣờng ô tô thứ hai đi đƣợc là 1,2y (km)

Hai ô chuyển động ngƣợc chiều nên khi gặp nhau, tổng quãng đƣờng hai xe đi đƣợc chính bằng qng đƣờng AB, do đó ta có phƣơng trình:

1, 2x1, 2y 90  x y 75 x 75 y (1) (Đk: y < 75) Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB là 90 (giờ)

33

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 90

y (giờ)

Vì thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 1 giờ nên ta có phƣơng trình:

90 90

1 90x 90y xy 90(x y) xy(2)

y  x       

- Giai đoạn 3 (Giải bài toán):

Thế (1) vào (2) ta đƣợc: 2 90(75 y y)(75y y)  y 255y67500 Ta có: 2 255 195 255 195 255 4.6750 38025 195 225; 30 2 2 y  y             

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm y = 30 (thỏa mãn điều kiện); y = 225 > 75 (loại) Sau 1,2 giờ ô tô thứ nhất đi đƣợc: 45 . 1,2 = 54 (km) Sau 1,2 giờ ô tô thứ hai đi đƣợc: 30 . 1,2 = 36 (km)

Tổng quãng đƣờng 2 xe đi đƣợc là: 54 + 36 = 90 km. Đúng bằng quãng đƣờng AB. Nhƣ vậy kết quả trên phù hợp với dữ kiện của tình huống thực tiễn.

Vận tốc của ô tô thứ nhất là 45 km/h, vận tốc của ô tô thứ hai là 30 km/h.

* Phân tích kết quả hoạt động

Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn tốn học hóa bài tốn. HS chƣa hình dung đƣợc rằng khi hai xe chuyển động ngƣợc chiều thì khi gặp nhau tổng quãng đƣờng hai xe đi đƣợc chính là quãng đƣờng ban đầu đề bài cho. Tuy nhiên, với sự hƣớng dẫn của GV bằng cách vẽ sơ đồ và phân tích bài tốn, HS đã giải quyết đƣợc vấn đề đó và đối chiếu bài tốn ở thực tế. Sau khi HS đƣa ra đƣợc kiểu MHH nhƣ trên, GV hƣớng dẫn HS một “phƣơng án” khác cho bài toán. HS tự so sánh và lựa chọn “phƣơng án” tối ƣu cho mỗi em.

Một mơ hình hóa kiểu khác thách thức hơn với một ẩn số:

Quãng đƣờng ô tô thứ nhất đi đƣợc là 1,2x (km) Quãng đƣờng ô tô thứ hai đi đƣợc là 90 – 1,2x (km) Vận tốc của ô tô thứ hai là 90 1, 2 75

1, 2

x

x

  

(km/h) Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB là 90

x (giờ)

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 90 1