Biểu đồ tăng dân số thành phố Hà Nội

dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Phác thảo tình huống):

Sau hai năm dân số tăng thêm 1 số cụ thể, cần tính đƣợc một năm dân số của thành phố Hà Nội tăng bao nhiêu phần trăm. Theo bài tốn sẽ có hai mốc thời gian: sau năm thứ nhất dân số là bao nhiêu? Sau năm thứ hai dân số là bao nhiêu? Nhƣ vậy, HS cần nắm chắc kỹ năng tính phần trăm.

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa):

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình của mỗi năm là x (% , x > 0). Xét các mối quan hệ

để biểu diễn tình huống thành một bài tốn liên quan đến phƣơng trình: Sau một năm dân số là: 2000000 2000000.

100

x

 (ngƣời).

Sau hai năm dân số là: 2000000 2000000. 2000000 2000000. .

100 100 100 x  x  x       2 2000000 40000x 200x    (ngƣời)

Từ giả thiết bài tốn ta có đƣợc phƣơng trình:

2

200000040000x200x 2020050 - Giai đoạn 3 (Giải bài toán):

29 2 2 2000000 40000 200 2020050 4 800 401 0 x x x x       

Giải phƣơng trình bậc hai, ta có:

2 1 2 ' 400 4.401 161604 400 402 400 402 ' 402 0,5; 200,5 4 4 x x                 

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm x1 0,5(thỏa mãn điều kiện); x2  200,5 (loại)

Sau năm đầu, số dân thành phố là 2000000 20000.0,5 2010000  ngƣời

Sau hai năm, số dân thành phố: 2

200000040000.0,5200.0,5 2020050 ngƣởi. Nhƣ vậy, kết quả của bài tốn thu đƣợc hồn tồn phù hợp với số liệu của tình huống thực tiễn. Vậy mỗi năm dân số trung bình của thành phố tăng 0,5%.

* Phân tích kết quả hoạt động

Phần lớn HS khơng gặp khó khăn trong giai đoạn tốn học hóa bài toán. Tuy nhiên, một số HS còn lúng túng trong kỹ năng tính phần trăm, với sự hƣớng dẫn của GV, nhóm HS đã giải quyết đƣợc vấn đề đó và đối chiếu kết quả với bài toán thực tiễn ban đầu. Kết quả thực nghiệm cho thấy, gần 90% số HS chỉ đạt đƣợc kỹ năng MHH ở cấp độ 3.

Bài toán 2.2. (Bài toán chuyển động thay đổi vận tốc) Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trƣớc. Sau khi đi đƣợc nửa quãng đƣờng, xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Thời gian xe dự định đi hết quãng đƣờng AB dài 120km là bao lâu?

* Mục tiêu hoạt động

Trong hoạt động này, HS có thể đƣợc rèn luyện đƣợc những kỹ năng sau:

- Phân tích bài tốn một vật chuyển động có vận tốc thay đổi - Giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình

* Tiến trình hoạt động

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1 (Phác thảo tình huống): Xe máy dự định đi quãng đƣờng AB với thời gian và vận tốc dự định (đều chƣa biết), đi nửa quãng đƣờng AB tức 60 km với vận tốc dự định, nửa quãng đƣờng 60 km còn lại xe đi với vận tốc lớn hơn 10 km/h, vì vậy thời gian đi nửa đoạn đƣờng đầu nhiều hơn thời gian đi nửa đoạn đƣờng sau 30 phút. Vậy có những đại lƣợng nào chƣa biết, đã biết? Quan sát và thu thập số liệu liên quan, điền vào bảng sau dựa trên các câu hỏi:

Quãng đƣờng S (km) Vận tốc v (km/h) Thời gian t (giờ) Dự định 60 ? ?? Thực tế 60 ? + 10 ?? - 1 2

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa): Xét các mối quan hệ để biểu diễn tình huống thành một bài tốn liên quan đến phƣơng trình.

Gọi ẩn trực tiếp:

Gọi thời gian dự định đi hết quãng đƣờng AB của xe máy là: x (giờ, x > 0) Vận tốc của xe trên nửa quãng đƣờng AB dài 60 km là: 120

x (km/h)

Vận tốc của xe trêm nửa quãng đƣờng 60 km còn lại là: 120 10

x  (km/h) Thời gian đi nửa quãng đƣờng đầu là

2

x

(giờ) Thời gian đi nửa quãng đƣờng sau là 60 6

120 12 10 x x x    (giờ). Bƣớc này khá phức tạp, vì vậy, thử gọi ẩn là vận tốc dự định xem sao?

31

Gọi vận tốc dự định (vận tốc nửa quãng đƣờng đầu) của xe máy là x (km/h, x > 0) Vận tốc nửa quãng đƣờng sau của xe máy là x + 10 (km/h)

Thời gian xe máy đi 60 km đầu là 60

x giờ. Thời gian xe máy đi 60 km sau là 60

10

x giờ.

Vì xe máy đến B sớm hơn nửa giờ, tức là thời gian đi nửa quãng đƣờng sau ít hơn thời gian đi nửa quãng đƣờng trƣớc nửa giờ, do đó ta có PT: 60 60 1

10 2

x  x 



- Giai đoạn 3 (Giải bài tốn):

Giải phƣơng trình: 60 60 1 60( 10) 60 1 2 10 1200 0 10 2 ( 10) 2 x x x x x x x x            

Giải phƣơng trình bậc hai: 2

10 1200 0

x  x 

Ta có: ' 25 1200 1225    ' 35   x 5 3530; x  5 35 40 - Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm x1 30(thỏa mãn điều kiện); x2  400 (loại) Thời gian xe máy đi 60 km đầu là: 60 : 30 = 2 (giờ)

Thời gian xe máy đi 60 km sau là: 60 : (30 + 10) = 1,5 (giờ) Thời gian dự định là: 2 + 1,5 + 0,5 = 4 (giờ)

Nhƣ vậy, kết quả của bài tốn thu đƣợc hồn toàn phù hợp với số liệu của tình huống thực tiễn.

Vậy thời gian xe dự định đi hết quãng đƣờng AB dài 120km là 4 giờ.

* Phân tích kết quả hoạt động

Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn tốn học hóa bài tốn. Ở bài toán này, câu hỏi bài tốn đƣa ra là tính thời gian dự định xe máy đi hết quãng đƣờng AB chứ khơng phải tính vận tốc dự định của xe máy. Chính vì vậy, nhiều HS “máy móc” đặt ẩn trực tiếp là “thời gian dự định” dẫn đến bƣớc tốn học hóa trở nên khó khăn và phức tạp. Cách đặt ẩn này vẫn cho ra đƣợc phƣơng trình và đáp số, tuy

nhiên khá khó khăn và dễ sai sót. Vì vậy, GV dự đốn trƣớc đƣợc và hƣớng HS cách đặt ẩn gián tiếp là “vận tốc dự định”. Nhƣ vậy, bài toán dễ dàng đƣợc giải quyết. GV so sánh hai cách đặt ẩn và chốt lại mơ hình tốn học tối ƣu.

Bài toán 2.3. (Bài toán chuyển động ngược chiều) Hai ô tô khởi hành ngƣợc

chiều cùng một lúc ở hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Sau 1,2 giờ thì gặp nhau. Tìm vận tốc mỗi xe. Biết thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 1 giờ. Giả sử hai xe chuyển động đều.

* Mục tiêu hoạt động

Trong hoạt động này, HS có thể đƣợc rèn luyện đƣợc những kỹ năng sau:

- Phân tích bài tốn hai vật chuyển động ngƣợc chiều

- Giải bài tốn bằng cách lập phƣơng trình

- Liên hệ toán học với các vấn đề thực tiễn về chuyển động

* Tiến trình hoạt động

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1: (Phác thảo tình huống): Hai ơ tơ chuyển động ngƣợc chiều nên khi gặp nhau, tổng quãng đƣờng hai xe đi đƣợc chính bằng quãng đƣờng AB. Vì vậy cần xác định đƣợc quãng đƣờng mỗi xe đi đƣợc là bao nhiêu?

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa): Chƣa có dự kiện nào nói đến mối quan hệ giữa vận tốc của hai xe, vì vậy để đơn giản hóa cần phải đặt hai ẩn: Gọi x là vận tốc xe

thứ nhất, y là vận tốc xe thứ hai (x, y > 0, km/h). Quãng đƣờng ô tô thứ nhất đi đƣợc là 1,2x (km) Quãng đƣờng ô tô thứ hai đi đƣợc là 1,2y (km)

Hai ô chuyển động ngƣợc chiều nên khi gặp nhau, tổng quãng đƣờng hai xe đi đƣợc chính bằng qng đƣờng AB, do đó ta có phƣơng trình:

1, 2x1, 2y 90  x y 75 x 75 y (1) (Đk: y < 75) Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB là 90 (giờ)

33

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 90

y (giờ)

Vì thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 1 giờ nên ta có phƣơng trình:

90 90

1 90x 90y xy 90(x y) xy(2)

y  x       

- Giai đoạn 3 (Giải bài toán):

Thế (1) vào (2) ta đƣợc: 2 90(75 y y)(75y y)  y 255y67500 Ta có: 2 255 195 255 195 255 4.6750 38025 195 225; 30 2 2 y  y             

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Nghiệm y = 30 (thỏa mãn điều kiện); y = 225 > 75 (loại) Sau 1,2 giờ ô tô thứ nhất đi đƣợc: 45 . 1,2 = 54 (km) Sau 1,2 giờ ô tô thứ hai đi đƣợc: 30 . 1,2 = 36 (km)

Tổng quãng đƣờng 2 xe đi đƣợc là: 54 + 36 = 90 km. Đúng bằng quãng đƣờng AB. Nhƣ vậy kết quả trên phù hợp với dữ kiện của tình huống thực tiễn.

Vận tốc của ô tô thứ nhất là 45 km/h, vận tốc của ô tô thứ hai là 30 km/h.

* Phân tích kết quả hoạt động

Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn tốn học hóa bài tốn. HS chƣa hình dung đƣợc rằng khi hai xe chuyển động ngƣợc chiều thì khi gặp nhau tổng quãng đƣờng hai xe đi đƣợc chính là quãng đƣờng ban đầu đề bài cho. Tuy nhiên, với sự hƣớng dẫn của GV bằng cách vẽ sơ đồ và phân tích bài tốn, HS đã giải quyết đƣợc vấn đề đó và đối chiếu bài tốn ở thực tế. Sau khi HS đƣa ra đƣợc kiểu MHH nhƣ trên, GV hƣớng dẫn HS một “phƣơng án” khác cho bài toán. HS tự so sánh và lựa chọn “phƣơng án” tối ƣu cho mỗi em.

Một mơ hình hóa kiểu khác thách thức hơn với một ẩn số:

Quãng đƣờng ô tô thứ nhất đi đƣợc là 1,2x (km) Quãng đƣờng ô tô thứ hai đi đƣợc là 90 – 1,2x (km) Vận tốc của ô tô thứ hai là 90 1, 2 75

1, 2

x

x

  

(km/h) Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đƣờng AB là 90

x (giờ)

Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đƣờng AB là 90 1

x  (giờ) Theo đề bài ta có phƣơng trình:

  2 2 90 6750 75 1 90 90 75 90 6750 15 90 105 6750 0 x x x x x x x x x                     

Giải PT bậc hai ta đƣợc y = 45 thỏa mãn điều kiện.

Vận tốc của ô tô thứ nhất là 45 km/h, vận tốc của ô tơ thứ hai là 30 km/h.

Bài tốn 2.4. (Bài toán gửi tiết kiệm) Một ngƣời gửi tiết kiệm 200 triệu đồng

vào tài khoản ngân hàng Nam Á. Có 2 sự lựa chọn: Ngƣời gửi có thể nhận lãi suất 7% một năm hoặc nhận tiền thƣởng ngay là 3 triệu với lãi suất 6% một năm. Lựa chọn nào tốt hơn sau 1 năm? Sau 2 năm?

* Mục tiêu hoạt động:

Trong hoạt động này, HS có thể đƣợc rèn luyện đƣợc những kỹ năng sau:

- Kỹ năng tính lãi suất ngân hàng

- Giải bài tốn bằng cách lập phƣơng trình

- Liên hệ toán học với các vấn đề kinh tế và tối ƣu tốn học

* Tiến trình hoạt động:

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1: (Phác thảo tình huống): Chọn một trong hai loại lãi suất sao cho hiệu quả kinh tế cao nhất sau 1 năm hoặc 2 năm. HS cần nắm rõ: lãi suất là gì?

35

Kỳ hạn là gì? Làm sao để tính số tiền lãi khi gửi tiền trong một kỳ hạn? Số tiền nhận đƣợc cuối kỳ hạn gồm vốn và lãi tính nhƣ thế nào? Lãi kép là gì?

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa):

Gọi a (đồng) là số tiền vốn ban đầu (a > 0) lãi suất x%/năm. Số tiền lãi nhận đƣợc sau 1 năm là: x a.

Số tiền nhận đƣợc sau 1 năm gồm cả vốn lẫn lãi là: ax a. a x( 1) Số tiền lãi nhận đƣợc sau 2 năm là: . (x a x1)

Số tiền nhận đƣợc sau 2 năm gồm cả vốn lẫn lãi là: 2

. ( 1) ( 1) ( 1)

x a x a x a x - Giai đoạn 3 (Giải bài toán):

Với lãi suất 7%:

Số tiền nhận đƣợc sau 1 năm gồm cả vốn lẫn lãi là:

200 000 000.(7% + 1) = 214 000 000 (đồng) Số tiền nhận đƣợc sau 2 năm gồm cả vốn lẫn lãi là:

200 000 000.(7% + 1)2 = 228 980 000 (đồng) Với lãi suất 6%:

Số tiền nhận đƣợc sau 1 năm gồm cả vốn lẫn lãi và tiền thƣởng là: 200 000 000.(6% + 1) + 3 000 000 = 215 000 000 (đồng) Số tiền nhận đƣợc sau 2 năm gồm cả vốn lẫn lãi và tiền thƣởng là:

200 000 000.(6% + 1)2 + 3 000 000 = 227 720 000 (đồng)

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Từ kết quả nhận đƣợc HS thấy rằng nếu ngƣời đó gửi 200 triệu với hai kiểu lãi suất khác nhau sẽ cho những hiệu quả kinh tế khác nhau.

+ Trƣờng hợp 1: Nếu thời gian gửi là 1 năm gửi với lãi suất 6% có lợi hơn. + Trƣờng hợp 2: Nếu thời gian gửi là 2 năm gửi với lãi suất 7% có lợi hơn.

* Phân tích kết quả hoạt động

Đa số HS gặp khó khăn trong giai đoạn tốn học hóa bài tốn. HS chƣa hiểu rõ: lãi suất là gì? Kỳ hạn là gì? Làm sao để tính số tiền lãi khi gửi tiền trong một kỳ

hạn? Số tiền nhận đƣợc cuối kỳ hạn gồm vốn và lãi tính nhƣ thế nào? Lãi kép là gì? Sau khi GV đƣa ra giải thích và phân tích, HS đã chủ động lập đƣợc phƣơng trình và giải chính xác bài tốn.

Bài toán 2.5. (Bài toán trồng cây cảnh) Anh An vừa khánh thành ngơi nhà

của mình, diện tích mảnh đất làm nhà là 600m2, phải dùng 95m lƣới sắt để làm rào chắn. Anh An muốn trồng cây xanh và hoa để ngôi nhà thêm đẹp. Dọc theo ngôi nhà trồng cây tùng, trƣớc và sau nhà trồng cây vạn tuế. Khoảng cách mỗi cây phải đảm bảo kỹ thuật. Nếu bạn nhận nhiệm vụ này bạn sẽ làm nhƣ thế nào? Biết cổng dài 5m và khu vƣờn ngơi nhà có dạng hình chữ nhật.

* Mục tiêu hoạt động

Cần tính số cây cảnh để trơng trong khu vƣờn theo ý của giám đốc. Do vậy, chúng ta cần quan tâm đến khoảng cách của mỗi loại cây cảnh theo chiều dài và chiều rộng của khu vƣờn. Trong hoạt động này, HS có thể đƣợc rèn luyện đƣợc những kỹ năng sau đây:

- Kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề

- Thiết lập phƣơng trình và hệ phƣơng trình hàm số bậc nhất

- Liên hệ toán học với các vấn đề kinh tế và tối ƣu tốn học

* Tiến trình hoạt động

GV chia lớp thành các nhóm HS và tổ chức cho các nhóm giải quyết bài tốn theo các giai đoạn sau: Cần tính số cây cảnh để trồng trong khu vƣờn. Do vậy, chúng ta cần quan tâm đến khoảng cách của mỗi loại cây cảnh, chiều dài, chiều rộng của khu vƣờn.

- Giai đoạn 1 (Phác thảo tình huống): Ngƣời trồng cây khơng cần tính tốn mà mua số cây một cách ƣớc chừng và trồng theo đúng khoảng cách kỹ thuật của cây cảnh, nếu thiếu cây thì mua thêm, nếu thừa cây thì trả lại nơi bán.

37

Tuy nhiên phƣơng án này khơng hợp lý vì vừa mất thời gian lại tốn thêm chi phí vận chuyển. Do đó, ngƣời trồng cây sẽ tính tốn số cây cần trƣớc khi mua. Vì vậy, chúng ta cần quan tâm chiều dài và chiều rộng của khu vƣờn.

- Giai đoạn 2 (Tốn học hóa):

Gọi x (x > 0, m) là chiều dài của khu vƣờn. Vì diện tích khu vƣờn là 600m2 nên chiều rộng của khu vƣờn là 600

x (m).

Phân tích: Phải dùng 95m lƣới sắt làm rào chắn xung quanh 4 cạnh của khu vƣờn, cộng thêm chiều dài của cổng là 5m nên thực chất chu vi của khu vƣờn là 95 + 5 = 100 (m)

Từ đó ta có phƣơng trình: x 600 50

x

 

- Giai đoạn 3 (Giải bài tốn): Giải phƣơng trình: 2 2 2 600 600 50 50 600 50 50 600 0 x x x x x x x x            

Giải phƣơng trình bậc hai, ta có: 2

1 2

' 25 600 25 ' 5 x 30; x 20