Phƣơng pháp bảng Karnaugh

Bảng Karnaugh với hàm Boole hai biến:

Hai ơ gọi là kề nhau nếu các tiểu hạng mà chúng biểu diễn chỉ khác nhau một tục biến y  x 11 10 x 01 00 x x+y y x xy y x xy+xy xy y

Phần 1: Tốn rời rạc – Chƣơng 4: Đại số Bool và hàm Bool 26

Quy tắc: nếu hai ơ kề nhau cĩ giá trị 1 thì ta cĩ thể rút gọn thành 1 ơ

Ví dụ 1: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hĩa hàm Boole :

f(x,y) = xy +xy

Giải: bảng Karnaugh của hàm f

y y

x 1

x 1

Ta cĩ dạng tối thiểu hĩa f(x,y) = y

Ví dụ 2: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hĩa hàm Boole : f(x,y) = xyxyxy

Giải: bảng Karnaugh của hàm f

y y

x 1

x 1 1

Ta cĩ dạng tối thiểu hĩa f(x,y) = xy

Ví dụ 3: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hĩa hàm Boole : f(x,y,z) = xyzxyzxyzxyz

Giải: bảng Karnaugh của hàm f

yz yz yz yz

x 1 1

x 1 1

Tổ hợp 2 ơ kề nhau: xyz+xyz=xz

Tổ hợp 2 ơ kề nhau: xyz+xyz=yz

Ta cĩ dạng tối thiểu hĩa f(x,y) = xz+yz+xyz

Phƣơng pháp biểu đồ Karnaugh cho chép tìm nhanh cơng thức đa thức tối tiểu của hàm Bool 3, 4 biến. Trƣờng hợp 3 biến hồn tồn tƣơng tự nhƣ 4 biến. Do đĩ ta tập trung trình bày trƣờng hợp 4 biến. Nhắc lại một hàm Bool 4 biến là một ánh xạ B4

 B nên để cĩ thể biểu diễn bằng hình ảnh ta sử dụng một hình vuơng gồm cĩ 16 ơ

vuơng nhỏ để biểu diễn 16 phần tử của B4. Khi ấy ta cĩ thể biểu diễn một hàm Bool f: B4  B bằng cách gạch chéo các ơ ở đĩ f bằng 1.

Nhƣ vậy vấn đề chính là đánh số 16 ơ của hình vuơng tƣơng ứng với các phần tữ của B4. Ta đã biết các phần tử của B4 cĩ thể đƣợc xếp thứ tự theo thứ tự cổ điển:

Phần 1: Tốn rời rạc – Chƣơng 4: Đại số Bool và hàm Bool 27

0000, 0001, 0101, 0010, 0011, …, 1111

Ta cĩ thể xếp các phần tử cũa B4 theo thứ tự trên lần lƣợt trên các dịng của hình vuơng lớn. Tuy nhiên cách này khơng thuận tiền bằng cách của Veitch và Karnaugh nhƣ sau:

1010 1110 0110 0010

1011 1111 0111 0011

1001 1101 0101 0001

1000 1100 0100 0000

Ở đây ký hiệu x chỉ cột ở đĩ biến đầu tiên của x lấy giá trị 1, chỉ cột ở đĩ biến x lấy giá trị 0. Tƣơng tự cho biến thứ hai y. Các biến thứ ba và thứ tƣ z, t đƣợc gán với các dịng. Cách biểu diễn trên của B4 rất thuận tiện cho việc biểu diễn các đơn thức. Thật vậy ta nhận xét 2 ơ liên tiếp nhau chỉ khác nhau một thành phần. Mặt khác ơ ở dịng 1, cột 1 và dịng 4, cột 4 cũng biểu diễn 2 phần tử chỉ khác nhau ở một thành phần. Ta quy ƣớc rằng các ơ này cũng đƣợc xem nhƣ kề nhau.

Ví dụ: Biểu diễn hàm Bool 4 biến

t

Mệnh đề: Biểu đồ Karnaugh của một đơn thức cĩ dạng tích của p (1 ≤ p ≤ 4) từ đơn là một hình chữ nhật (theo nghĩa rộng) gồm 24-p

ơ, mà ta gọi là các tế bào. Thuật tốn:

Bƣớc 1: Chỉ ra tất cả các tế bào lớn của biểu đồ Karnaugh của f

Sau bƣớc 1, ta sẽ phủ dần biểu đồ Karnaugh bằng các tế bào lớn cho đến khi phủ kín.

x

z

y

Phần 1: Tốn rời rạc – Chƣơng 4: Đại số Bool và hàm Bool 28

Bƣớc 2: Nếu tồn tại một ơ chỉ nằm trong một tế bào lớn duy nhất, ta chọn tế bào này để phủ. Trong phần cịn lại của biểu đồ Karnaugh, nếu cĩ một ơ chỉ nằm trong một tế bào lớn duy nhất, ta chọn ra tế bào này để phủ và lặp lại bƣớc 2 cho đến khi khơng cịn ơ nào cĩ tính chất trên.

Bƣớc 3: Nếu các tế bào lớn chọn trong bƣớc 2 đã phủ kín biểu đồ Karnaugh của f ta qua thẳng bƣớc 4. Nếu khơng, chọn ra một số ơ cịn lại. Trong số các tế bào lớn chứa ơ này ta chọn ra một tế bào tùy ý để thêm vào phép phủ và cứ tiếp tục nhƣ trên cho phần cịn lại cho đến khi phủ kín biểu đồ Karnaugh của f.

Bƣớc 4: Ở bƣớc này ta đã chọn đƣợc một số tế bào lớn phủ kín biểu đồ Karnaugh của f. Do trong bƣớc 3 cĩ sự lựa chọn tùy ý tế bào lớn chứa một ơ, ta thƣờng cĩ nhiều hơn một phép phủ. Trong số các phép phủ nhận đƣợc, loại bỏ các phép phủ khơng tối tiểu.

Phần 2: Lý thuyết đồ thị – Chƣơng 1: Đồ thị 29

Chƣơng 1

ĐỒ THỊ

I. Định nghĩa

Đồ thị (graph) G = (V, E) là một bộ gồm 2 tập hợp V và E, trong đĩ V  , các phần tử của E gọi là các đỉnh (vertices), các phần tử của E gọi là các cạnh (edges), mỗi cạnh tƣơng ứng với 2 đỉnh.

Nếu cạnh e tƣơng ứng với 2 đỉnh v, w thì ta nĩi v và w là 2 đỉnh kề hay liên kiết(adjacent) với nhau, ta nĩi cạnh e tới (incident) các đỉnh v và w. Ký hiệu e = hay v

Cạnh tƣơng ứng với 2 đỉnh trùng nhau gọi là vịng (loop) tại v.

Hai cạnh phân biệt cùng tƣơng úng với 1 cặp đỉnh gọi là 2 cạnh song song

(parallel edges).

Đồ thị khơng cĩ cạnh song song và cũng khơng cĩ vịng gọi là đơn đồ thị

(simple graph), ngƣợc lại là đa đồ thị (multigraph).

Đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nĩ đều kề nhau gọi là đồ thị đầy đủ (complete

graph).

Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là 1 đồ thị con (subgraph) của đồ thị G= (V, E) nếu V’  V và E’ E.

Đồ thị cĩ số đỉnh và số cạnh hữu hạn gọi là đồ thị hữu hạn (infinite graph). Trong những phần sau ta chỉ khảo sát các đồ thị hữu hạn.

II. Biểu đồ

Một đồ thị thƣờng đƣợc biểu diễn bằng một biểu đồ nhƣ sau:

Mỗi đỉnh biểu diễn 1 điểm và mỗi cạnh biểu diễn thành 1 đoạn nối 2 đỉnh tƣơng ứng với nĩ.

Ví dụ 1: Dƣới đây là biểu đồ của vài đồ thị

4 B A C D 1 2 3 4 x y z

Phần 2: Lý thuyết đồ thị – Chƣơng 1: Đồ thị 30

Ví dụ 2: Ta dùng ký hiệu Kn để chỉ đơn đồ thị đầy đủ cĩ đỉnh. Biểu đồ của Kn vĩi 1 ≤ n ≤ 5 nhƣ sau:

K1 K2 K3

III. Bậc của một đỉnh

Xét một đỉnh v trong đồ thị G. Số cạnh tới v, trong đĩ mỗi vịng tại v đƣợc kể là 2 cạnh tới v, gọi là bậc (degree) của v ký hiệu là d (v).

Đỉnh cĩ bậc 0 gọi là đỉnh cơ lập (isolated vertex).

Đỉnh cĩ bậc 1 gọi là đỉnh treo (pendant vertex), cạnh tới đỉnh treo gọi là cạnh

treo ( pendant edge).

Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cơ lập gọi là đồ thị rỗng (null graph).

1. Định lý

Với mọi đồ thị G=(V, E), ta cĩ:

2. Hệ luận 1 Tổng số bậc của các đỉnh bậc lẻ trong 1 đồ thị là 1 số chẵn 3. Hệ luận 2 Mọi đồ thị đều cĩ một số chẵn các đỉnh bậc lẻ 4. Hệ luận 3 Đồ thị Kn cĩ cạnh

Ví dụ: Một đồ thị G = (V, E) cĩ 24 cạnh và mỗi đỉnh của G đều cĩ bậc 4. Tìm số đỉnh

của G. Ta cĩ: 2.24 = 4|V|  |V| = 12 11 0 12 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 36 E A D C B

Phần 2: Lý thuyết đồ thị – Chƣơng 1: Đồ thị 31

IV. Ma trận liên kết

Cho đồ thị G cĩ n đỉnh là v1, v2, …, vn. Ma trận liên kết của G, với thứ tự là v1, v2, …, vn là ma trận vuơng nxn

[mij]

Trong đĩ, mij = số cạnh nối đỉnh vi với đỉnh vj (1 i, j  n) Lƣu ý: Cạnh vịng đƣợc tính là 2 cạnh

Ví dụ:

Cĩ ma trận liên kết là:

Định lý: Tổng các phần tử trên hàng (hoặc cột) thứ i của ma trận liên kết bằng bậc của

đỉnh vi, nghĩa là:

d(vi) =

V. Đƣờng và chu trình

Cho một đồ thị G. Một đƣờng (path) P trong G là một dãy các đỉnh v0, v1, …, vk sao cho ei = (1  i  k) là các cạnh đơi một khác nhau.

Ta ký hiệu: P = v0 Hay P = v0v1…vk

Số k (là số cạnh tạo thành P) gọi là chiều dài của đƣờng P. Ký hiệu: l(P) = k

Ta nĩi đƣờng P nối 2 đỉnh v0 và vk, các đỉnh vi (0  i  k) và các cạnh ei (0  i  k) gọi là nằm trên đƣờng P.

Một đỉnh xem là một đƣờng cĩ chiều dài bằng 0. A B C D E A B C D E

Phần 2: Lý thuyết đồ thị – Chƣơng 1: Đồ thị 32

Một chu trình trong G là một đƣờng trong G cĩ dạng c = v0v1…vk-1v0 với l(c) 1.

Khơng cần chú ý đến đỉnh nào bắt đầu (và cũng là đỉnh kết thúc) của chu trình. Một đƣờng (hay chu trình) gọi là đơn giản nếu nĩ khơng đi qua đỉnh nào quá một lần.