- Tính chất phân cực của anten thành phần:
3.2.3Phương pháp phần tử hữu hạn đối với các bài toán bên ngoà
Trong phần này, FEM đã được trình bày để giải các bài tốn bên trong. Để ứng dụng FEM cho các bài tốn bên ngồi hay các bài tốn khơng bị giới hạn như là các bài tốn đường truyền dạng mở (ví dụ, vi dải), tán xạ, và các bài tốn về phát xạ gặp một số khó khăn. Để vượt qua những khó khăn này, có nhiều cách tiếp cận đã được đưa ra, tất cả chúng đều có những điểm mạnh và điểm yếu. Ở đây ta sẽ kể đến 3 cách tiếp cận: Phương pháp phần tử vô hạn, phương pháp phần tử biên, và điều kiện biên hấp thụ.
a. Phương pháp phần tử vô hạn
Giả sử miền nghiệm như hình 3.9(a). Ta chia cả miền thành trường khu gần, phần bị giới hạn và trường khu xa, phần không bi giới hạn. Trường khu gần được chia thành
các phần tử tam giác hữu hạn như bình thường, cịn trường khu xa thì được chia thành các phần tử vơ hạn. Mỗi phần tử vô hạn chung 2 nút với một phần tử hữu hạn. Ở đây ta quan tâm chủ yếu tới các phần tử vơ hạn.
Hình 3. 3 (a) Cách chia miền nghiệm thành các phần tử hữu hạn và vơ hạn; (b) phần tử vơ hạn điển hình
Phần tử vơ hạn ở hình 3.9(b) với các nút 1 và 2 và các mặt tròn giao nhau tại điểm
Ta liên hệ tam giác có các tọa độ cực với các tọa độ đê các vng góc (x,y)
như sau:
(3.1 38
14) Với, .Phân bố điện thế trong phần tử này được xấp xỉ bằng biến đổi tuyến tính như sau:
Hay
(3.1 15) Với và là các điện thế ở nút 1 và 2 của các phần tử vô hạn, và là các
hàm nội suy hay hàm hình dạng, tức là,
(3.1 16) Phần tử vô hạn này phù hợp với phần tử hữu hạn bậc 1 gốc và thỏa mãn các điều kiện biên ở vơ hạn. Với các hàm hình dạng ở phương trình 3.116, ta có thể thu được các ma trân và . Ta thu được nghiệm cho bài tốn bên ngồi bằng cách sử
dụng chương trình phần tử hữu hạn chuẩn với các ma trận và của
các phần tử vô hạn được cộng vào các ma trận [C] và [T] của trường khu gần.
b. Phương pháp phần tử biên
Bảng 3.1 so sánh phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp mô-men (MoM).
Một trong những phương pháp kết hợp 2 loại này gọi là phương pháp phần tử biên (BEM). Đây là một cách tiếp cận phần tử hữu hạn để giải các bài tốn bên ngồi. Một cách cơ bản, BEM bao gồm việc thu được các phương trình tích phân của các bài tốn giá trị biên, và việc giải nó bằng các q trình rời rạc hóa tương tự như những gì đã sử
dụng trong phân tích phần tử hữu hạn thơng thường. Vì BEM dựa trên phương trình tích phân tương đương với phương trình vi phân chủ đạo, nên chỉ có bề mặt của miền bài tốn cần làm mẫu. Do đó kích thước của bài tốn giảm như kích thước trong MoM. Với các bài tốn hai chiều, các phần tử biên được chọn là các đoạn thẳng, còn trong các bài toán ba chiều, các phần tử biên được chọn là các phần tử tam giác. Do đó hàm hình dạng hay hàm nội suy tương ứng với các phần phụ sẽ dựa trên MoM được sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn.
Bảng 3.1: So sánh giữa phương pháp mô-men và phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp mô-men Phương pháp phần tử hữu hạn
Khái niệm đơn giản Khái niệm phức tạp
Yêu cầu các hàm Green phụ thuộc bài tốn
Tránh những khó khăn kết hợp với sự duy nhất của các hàm Green
Ít phương trình; cho 2
chiều, cho 3 chiều
Nhiều phương trình;
cho 2 chiều, cho 3 chiều Chỉ rời rạc hóa đường biên Rời rạc hóa tồn miền
Dễ dàng mở rộng biên Khó mở rộng biên
Các trường theo tích phân Các trường theo đạo hàm Mô tả tốt điều kiện trường khu xa Mô tả tốt các điều kiện biên Kết quả ma trận đầy đủ Kết quả ma trận thưa
Khơng tuyến tính, khơng đồng nhất, khó
Khơng tuyến tính, khơng đồng nhất, dễ
c. Các điều kiện biên hấp thụ
Để áp dụng cách tiếp cận phần tử hữu hạn tới các bài toán miền mở như với tán xạ, phát xạ, hay biên tự tạo, được đưa ra để giới hạn miền và giới hạn số lượng ẩn số cho một kích thước quản lý được. Người ta đốn rằng biên tiến tới vơ cùng, nghiệm xấp xỉ
sẽ tiến tới một giá trị chính xác. Nhưng các biên càng gần các vật thể phát xạ hay tán xạ, thì bộ nhớ máy tính u cầu càng ít. Để tránh những lỗi gây ra bởi việc cắt giảm này, điều kiện biên hấp thụ (ABC) được áp dụng trên biên tự tạo , như được mơ tả
trên hình 3.10. ABC tối thiểu hóa những phản xạ phi vật lý từ biên. Vài điều kiện biên hấp thụ đã được đưa ra. Thử thách lớn của những điều kiện biên hấp thụ này là đưa các biên cắt càng gần vật thể càng tốt mà khơng phá hỏng sự chính xác và để hấp thụ các sóng đi ra ngồi mà có ít hoặc khơng phản xạ. Một cách tiếp cận phổ biến là điều kiện biên hấp thụ dựa trên PML. Kỹ thuật phần tử hữu hạn được dùng để ép buộc điều kiện này như một công cụ cho việc cắt lưới.
Hình 3. 4 Vật thể phát xạ (hoặc tán xạ) được bao bởi một biên hấp thụ
Một ABC thông dụng nữa được suy ra từ Bayliss, Gunzburger và Turkel (BGT) tận dụng phân tích tiệm cận. Ví dụ, với nghiệm của bài toán 3 chiều, một mở rộng của phương trình Helmholtz vơ hướng là:
(3.1 17) Dãy tốn tử BGT thu được bằng quan hệ đệ quy:
(3.1 18) 41
Vì thỏa mãn điều kiện phát xạ bậc cao hơn:
(3.1 19) Áp dụng điều kiện biên bậc
trên (3.1
20) Sẽ bắt nghiệm phải phù hợp với 2m số hạng đầu tiên của phần mở rộng trong
phương trình 3.117. Phương trình 3.120 cùng với các phương trình thích hợp khác được giải với sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
d Kết luận
Với tính linh hoạt của mình, phương pháp phần tử hữu hạn đã trở thành một dụng cụ mạnh. FEM có thể được áp dụng thành cơng với rất nhiều bài tốn liên quan đến trường điện từ. Các ứng dụng của FEM:
- Các bài toán về đường truyền,
- Các bài tốn về ống dẫn sóng quang học và vi ba, - Các máy điện,
- Các bài tốn về tán xạ,
- Giải thích ảnh hưởng của bức xạ điện tử đến con người, v.v…