fˆ ( n− 1) Đ−ờng bậc thang vẽ chấm có chú thích f 2 (n) là tín hiƯu phơc hồi khi sư dơng f(n 1).
3.5 .M hoỏ hỡnh chóp.
Một hỡnh chúp là một cấu trỳc số liệu cung cấp liờn tiếp những tin tức cụ đọng của một ảnh. Hỡnh chúp cịng có ích trong những ứng dơng vỊ xư lý ảnh kĨ cả m hố ảnh và phõn tớch ảnh.
Có nhiều cỏch biểu diễn ảnh cú thể coi nh cấu trỳc hỡnh chúp. Sau đõy là một trong những cỏch đú: Cấu trỳc hỡnh chúp gồm một ảnh gốc và một chuỗi ảnh tiếp theo, với khả năng phõn giải kém hơn (mờ hơn).
Giả sư f0(n1,n2) là một ảnh gốc N x N pixel trong đó N=2 M+1 chẳng hạn
129x129, 257x257, 513x513 ,...Có thể từ một ảnh 2Mx2M pixel tạo ra một ảnh (2M+1)x(2M+1) pixel.
chơng 4: mà hoỏ ảnh
L
Chẳng hạn chỉ cần lập lại dũng cuối và cột cuối . Để đơn giản ta giả thiết là ảnh vuụng. Ta lầy f0(n1,n2) là ảnh ở đỏy hỡnh chúp. ảnh ở mức trờn đú nhận đựơc bằng cỏch lọc thông thấp f 0(n1,n2) rồi tiến hành lấy mẫu con là f 1(n1,n2). Vì lấy mẫu con cho nên kích th−ớc ảnh f 1(n1,n2) bộ hơn ảnh f0(n1,n2) và nú là ảnh lớp trờn kề đỏy hỡnh chúp. Ta gọi f1(n1,n2) là ảnh mức 1 của hỡnh chóp. ảnh mức 2 nhận đợc bằng cỏch lọc thụng thấp ảnh mức 1 và lấy mẫu con, kết quả là f 2(n1,n2) .
Cứ thế ỏp dụng quy trỡnh cho cỏc mức cao hơn nh− f 3(n1,n2), f4(n1,n2)...Quỏ trỡnh tạo ra fi+1(n1,n2) từ fi(n1,n2) đợc biểu diễn trờn hỡnh 4.33 . Giả thiết ảnh ở mức k là fk(n1,n2) nằm trờn cựng hỡnh chúp. Càng lờn trờn kớch thớc càng nhỏ và ảnh càng mờ (độ phõn biệt trong khụng gian kém).
fi(n1,n2) f i(n1,n2) fi+1(n1,n2)
Lọc thơng thấp Lấy mẫu th−a
Hình 4.33 : Quỏ trỡnh tạo ảnh f i+1(n1,n2) ở lớp thứ i+1 từ ảnh f i(n1,n2) ở lớp thứ ị
Cỏc ảnh fi(n1,n2) với 0≤ i ≤ k coi nh những ảnh cú nhiều độ phõn biệt mà hỡnh thành hỡnh chúp.
Tuỳ theo loại lọc thụng thấp đợc dựng và cỏch lấy mẫu con kết quả lọc, có nhiỊu phơng ỏn hỡnh chúp. Trong hỡnh chúp Gauss bộ lọc thụng thấp cú 5x5 điểm đỏp ứng xung h(n1,n2). h(n 1,n2) = h(n1) h(n2) (4.44a) a, h(n) ====1 , 4 1 a −−−− , n ====0 n ====±±±±1 n ====±±2 ±± (4.44b) 4 2
Hằng số a trong (4.44b) là hằng số tự do, đợc chọn giữa 0,3 và 0,6. Hỡnh 4.34 vẽ chuỗi h(n) với a = 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 . Khi a = 0,4 h(n) cú dạng gần đỳng Gauss và do
đú gọi là hỡnh chúp Gauss. Cỏch chọn h(n 1,n2) trong (4.44) đảm bảo h(n 1,n2) có pha bằng
khụng và bộ lọc thụng suốt đối với thành phần 1 chiều:
H (0,0)= 1, ∑∑h(n1 , n2 )= 1 n1 n2 h(n) 0.3 0.25 0.25 0.1 (a) a = 0.3 0.1 n 0.05 h(n) 0.4 0.25 0.25 (b) 0.05 a = 0.4 n h(n) 0.5 a = 0.5 0.05 0.25 0.25 (c) 0.05 n h(n) 0.6 a = 0.6 0.25 0.25 -0.05 (d) n -0.05
Hình 4.34 : Đỏp ứng xung h(n) theo hàm thông số ạ Bộ lọc 2_D thông thấp h(n 1,n2)
dựng trong biểu diễn ảnh bằng hỡnh chúp Gauss nhận đợc từ h(n) theo h(n 1,n2) = h(n1) h(n2).
chơng 4: mà hoỏ ảnh
L
0 1 2
L
ảnh f 0 (n1 , n2 ) nhận đợc từ f (n ,n ) * h(n ,n ) và sau đó lấy mẫu con với hƯ số 4, 0 1 2 1 2 tức là hệ số 2 dọc n 1 và hƯ số 2 dọc n 2. ảnh đ lấy mẫu cú dạng:
f1 (n1, n 2) = f L (2n ,2n ) 0 ≤ n1 ≤ 2 M-1 ; 0 ≤ n 2 ≤ 2 M-1
(4.45)
0 ở các noi khác
Kích th−ớc cđa f 1(n1,n2) là (2M-1+1) x (2M-1+1) pixel gần bằng 1/4 kích th−ớc f0(n1,n2). Từ (4.45) thấy chỉ cần tính f 0 (n1 , n2 ) với các giỏ trị chẵn của n 1 và n2 là đợc f1(n1,n2). Cỏc ảnh ở mức cao hơn nhận đợc bằng cỏch lặp lại nhiều lần phộp lọc thụng thấp và lấy mẫu con. Một biểu diễn hỡnh học của quỏ trỡnh này với ảnh trong khụng gian 1 chiều nh trờn hỡnh (4.35).
f2(n1,n2)
f1(n1,n2)
f0(n1,n2)
Hình 4.35 : BiĨu diƠn hình học trong khụng gian 1 chiều của cỏch tạo hỡnh chúp Gauss.
Ví dơ biĨu diƠn ảnh 513 x 513 pixel bằng hỡnh chúp Gauss nh trờn hỡnh 4.36.
0 1 2
BiĨu diƠn hỡnh chúp Gauss cú thể dựng để phỏt triển 1 phơng phỏp m hoỏ ảnh. Để m hoỏ ảnh gốc f 0(n1,n2) ta đem m hoá f 1(n1,n2) và hiệu giữa f 0(n1,n2) với giỏ trị dự bỏo
của nó suy từ f 1(n1,n2). Giả sử ta dự bỏo f 0(n1,n2) bằng cách nội suy f 1(n1,n2). Gọi ảnh nội suy ra là f’1(n1,n2) ta tỡm ra sai số đ m hoỏ là e 0(n1,n2) từ :
e0 (n1 , n2 )= =
f 0 (n1 , n2 )− I [f1 (n1 , n2 )]
f 0 (n1 , n2 )− f ' (n1 , n2 ) (4.46) Trong đó I[.] là thuật toỏn nội suy khụng gian. Quỏ trỡnh nội suy làm gin kớch th−ớc f1(n1,n2) và do đú kích th−ớc f’ 1(n1,n2) bằng f0(n1,n2). Một −u điĨm cđa m hoá f1(n1,n2) và e0(n1,n2) thay cho f0(n1,n2) là có thĨ dùng bộ m hoỏ phự hợp với đặc tớnh của f1(n1,n2) và e0(n1,n2). Nếu ta khơng lợng tử hoỏ f 1(n1,n2) và e0(n1,n2) thì từ (4.46) có thĨ khơi phơc nguyên vĐn f 0(n1,n2) bằng:
f 0 (n1 , n2 ) = I [ f1 (n1 , n2 )] + e0 (n1 , n2 ) (4.47) Khi m hoá ảnh, f 1(n1,n2) và e0(n1,n2) đỊu đợc lợng tử hoỏ và ảnh phơc
ˆ
hồi f 0 (n1 , n2 ) nhận đợc từ (4.47) bằng:
fˆ 0 (n , 1 n2 )= I [fˆ 1 (n , 1 n2 )]+ eˆ0 (n , 1 n ) 2 (4.48) Trong đó fˆ (n , n ) và eˆ0 (n1 , n2 ) là f0(n1,n2) và e0(n1,n2) đ lợng tử hoỏ
Nếu ta dừng lại ở đõy thỡ cấu trỳc của phơng phỏp m hoỏ y hệt nh bộ m hoỏ 2 kờnh, ảnh f1(n1,n2) có thể coi nh− thành phần thấp đợc lấ y mẫu con fLS(n1,n2) và e0(n1,n2) coi nh thành phần cao f H(n1,n2) trong hƯ ở hình 4.31.
ý t−ởng cho rằng 1 ảnh có thĨ phõn tớch thành 2 thành phần cú đặc tớnh rất khác nhau cịng có thĨ áp dụng cho m hoá f 1(n1,n2) ta m hoá f2(n1,n2) và e1 (n1,n2) theo :
e1 (n1 , n2 ) = f1 (n1 , n2 )− I [f 2 (n1 , n2 )] (4.49) Quỏ trỡnh này cú thể đợc lặp lạ Thay vỡ m hoỏ f i(n1,n2) ta có thể m hoá
fi+1(n1,n2) và ei(n1,n2) theo :
ei (n1 , n2 ) = f i (n1 , n2 )− I [ f i +1 (n1 , n2 )] (4.50) Nếu ta khụng lợng tử hoỏ f i+1(n1,n2) và ei(n1,n2)thỡ dựa vào (4.50) ta cú thể phục
hồi chính xác fi(n1,n2) từ fi+1(n1,n2)và ei(n1,n2) nhờ :
ch−ơng 4: mà hoỏ ảnh
Chúng ta cứ thế lặp lại quỏ trỡnh cho đến khi đến đỉnh hỡnh chúp, nh trờn hỡnh 4.37. Thay vỡ cho m hoỏ f 0(n1,n2) ta m hoá ei(n1,n2) với : 0 ≤ i ≤ k-1 và fk(n1,n2). Một ví dơ cđa ei(n1,n2) với : 0 ≤ i ≤ k-1 và fk(n1,n2) trong tr−ờng hợp ảnh gốc f 0(n1,n2) có 513 x 513 pixel với k = 4 đợc vẽ trờn hỡnh 4.38. f0(n1,n2) Nội suy f1(n1,n2) e0(n1,n2 Nội suy f2(n1,n2) e1(n1,n2 fK-1(n1,n2) eK-2(n1,n2) Nội suy fK(n1,n2) eK-1(n1,n2)
Nếu ei(n1,n2) và fk(n1,n2) không đợc lợng tử hoỏ thỡ cú thể phục hồi hồn tồn
f0(n1,n2) bằng phép tính đệ quy phơng trỡnh (4.51) cho cỏc giỏ trị i = k -1, k-2, ...,0.
Hình 4.38 : Ví dơ biĨu diƠn ảnh bằng hình chóp Laplacẹ ảnh gốc là ảnh
f0(n1,n2) với 513 x 513 pixel ở hình 4.36. e i(n1,n2) với 0 ≤ i ≤ 3, và f4(n1,n2).
L−u ý rằng phơng trỡnh (4.51) độc lập với cách chọn tht toán nội suy I[ .] phơng trỡnh (4.51) có thĨ dùng đĨ ph ơc hồi f0(n1,n2) từ giỏ trị lợng tử hoỏ của e i(n1,n2) và fk(n1,n2). Cỏc ảnh fk(n1,n2) và ei(n1,n2) với 0≤ i ≤ k-1 hình thành 1 hỡnh chúp gọi là chóp Laplacian trong đó e i(n1,n2) là ảnh ở mức thứ i của hỡnh chúp và f k(n1,n2) là ảnh ở trờn đỉnh chúp.
e0(n1,n2) = f0(n1,n2) - I[ f1(n1,n2)] (4.52) Trờn hỡnh 4.33 f 1(n1,n2) là kết quả lấy mẫu con f 0(n1,n2) * h(n1,n2). Lấy gần đỳng thật toỏn nội suy I[ .], coi nh phộp toỏn ngợc của lấy mẫu con.
e0(n1,n2) ≈ f0(n1,n2) - f0(n1,n2) * h(n1,n2)
= f0(n1,n2) * (f0(n1,n2) - h(n1,n2)) (4.53) Bởi vì h(n3,n3) cú đặc tớnh thụng thấp cho nờn e 0(n1,n2) có tính thơng caọ Ta xét e(n1,n2) là ở mức thứ nhất cđa hình chóp L aplacian. Theo 1 b−ớc giống nh− b−ớc đ đa tới phơng trỡnh (4.53) và thờm một số giả thiết ta nhận đợc :
chơng 4: mà hoỏ ảnh
Trong đó : h1(n1,n2) = h(n1,n2) - h(n1,n2) * h(n1,n2) (4.55) Từ phơng trỡnh (4.54) kết quả nội suy e 1(n1,n2) sao cho kích th−ớc cđa nó giống f0(n1,n2) là gần đỳng với kết quả lọc f 0(n1,n2) bằng h(n1,n2).
Bởi vì h(n1,n2) là bộ lọc thụng thấp, h 1(n1,n2) trong (4.55) là bộ lọc thụng dả Nếu ta tiếp tơc cứ thế phân tích ta sẽ nhận thấy kết quả nội suy liờn tiếp e i(n1,n2) với 1 ≤ i ≤ k-1 là 1 chuỗi lọc f 0(n1,n2) qua nhiều bộ lọc thụng dả Khi ta tăng i từ 1 đến k -1 đỏp tuyến tần số của bộ lọc thụng dải cú dải thụng ngày càng hẹp với tần số của dải thụn g thấp ngày càng giảm thấp xuống. Nếu h(n 1,n2) cú dạng Gauss thỡ h(n 1,n2) * h(n1,n2) cũng có dạng Gauss. Nếu h(n 1,n2) cú dạng Gauss thỡ theo phơng trỡnh (4.55) bộ lọc thụng dải
sẽ cú đỏp ứng xung bằng hiệu của 2 hàm Gauss. Hiệu của 2 hàm Gauss gần đỳng bằ ng Laplacian của Gauss, do đú cú tờn gọi là hỡnh chúp Laplacian.
Từ sự thảo luận trờn thấy rằng phơng phỏp m hoỏ hỡnh chúp cú thể coi nh m hoỏ nhiều kờnh. Trong m hoỏ nhiều kờnh ảnh đợc chia ra nhiều dải tầng hẹp và mỗi dải m hoỏ bằng thiết bị phự hợp với nú.
Hình 4.39: Ví dơ cđa bộ m hoỏ hỡnh chúp Laplacian với K=4 tại
ảnh gốc sư dơng là 513x513 pixel f 0(n1,n2) trong hình 4.36.
1
bít/pixel.
2
Trong phơng phỏp m hoỏ hỡnh chúp cũng là sự lọc thụng dải dới dạng ẩn và cỏc bộ lọc thụng dải nhận đợc 1 cỏch ngẫu nhiờn, cũn trong bộ m hoỏ nhiều kờnh thỡ cỏc bộ lọc thụng dải đợc thiết kế bằng lý thuyết.
Hình 4.39 cho thấy chất lợng của 1 hệ m hoỏ ảnh trong đó f k(n1,n2) và ei(n1,n2)
với 0 ≤ i ≤ k-1 đợc m hoỏ bằng những t hiết bị phự hợp với đặc tớnh tớn hiệ Núi 1
cỏch định tớnh là những ảnh ở mức cao có ph−ơng sai lớn hơn và đợc gỏn nhiều bit/pixel hơn. May mắn là chỳng lại cú kớch thớc bộ. Hỡnh 4.39 cho thấy 1 ảnh m hoá ở tỷ lƯ 1/2 bit /pixel. ảnh gốc f 0(n1,n2) có 513 x513 pixel nh trờn hỡnh 4.36. Trong vớ dụ này tỷ lƯ bit thấp 1 bit/pixel có thể thực hiện bằng phép m hoỏ entropy và khai thỏc nhận xét rằng phần lớn pixel cđa ảnh e 0(n1,n2) với kích th−ớc 513 x513 pixel đợc lợng tử hoỏ bằng khụng. Một u điểm chớnh của phơng phỏp m hoỏ hỡnh chúp là cú thể truyền đi tuần tự. Thoạt tiờn truyền ảnh f k(n1,n2) ở đỉnh hỡnh chúp và nội suy nú ở đầu thu ta đợc 1 ảnh rất mờ. Sau đú truyền e k-1(n1,n2) tái cấu trúc fk-1(n1,n2) có độ nét cao hơn fk(n1,n1). Cứ nh thế lặp đi lặp lại quỏ trỡnh thỡ ảnh tỏi cấu trỳc ở đầu thu ngày càng cú độ nột cao hơn và nh vậy cú khi khụng cần truyền tới ảnh gốc cịng đ có thĨ dừng việc truyền tớn hiệ Chẳng hạn nhỡn trờn 1 ảnh mờ mờ ta đ cú thể xỏc định xem cú phải là cỏi ta cần đến hay k hụng, nếu khụng cần thỡ khụng truyền tiếp. Cỏc ảnh từ đỉnh đến đỏy hỡnh chúp cú kớch thớc ngày càng lớn dần, cỏi sau gấp 4 cỏi trớc và khi dừng ở những ảnh kớch thớc nhỏ thỡ cụng tớnh toỏn cũng cha nhiề
Ngoài việc m hoỏ ảnh, hỡnh chúp Laplacian cũn đợc sư dơng trong những ứng dơng khỏc. Chẳng hạn, nh đ thảo luận ở trờn, kết quả quy trỡnh lặp phộp nội suy e 1(n1, n2) sao cho kích cỡ cđa nó cịng nh− f 0(n1, n2) có thể coi nh là xấp xỉ với kết quả lọc f 0(n1,
n2) bằng Laplacian cđa một hàm Gauss. Nh− đ thảo luận ở tiết 3.3 chơng 2, những điểm đi qua giỏ trị khụng cđa kết quả lọc f 0(n1, n2) bằng Laplacian của một hàm Gauss là những điểm biờn trong phơng phỏp dũ biờn của Marr và Hildreth