thông qua nội dung bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai
2.4.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh giải quyết vấn đề mới dựa trênnền tảng vấn đề cũ. nền tảng vấn đề cũ.
Yêu cầu học sinh phải hiểu và ghi nhớ các định nghĩa, định lí, tính chất về tam thức bậc hai và các bất đẳng thức cổ điển liên quan.
Có một số vấn đề khá cơ bản, không cần nhiều tâm sức, chúng ta cũng có thể dễ dàng giải quyết được, bởi vì cái khó khăn, trở ngại trong tình huống thuộc phạm vi kiến thức đã biết. Song, yếu tố tiên quyết là phải nắm thật vững chắc kiến thức căn bản, nền tảng ban đầu.
Ta cùng xét ví dụ sau: Giả sử rằng a,b,c là các số thực. Hãy chứng minh tổng bình phương của a,b,c lớn hơn hoặc bằng ab +bc+ca. Đây là một bất đẳng thức vơ cùng quen thuộc, có thể nói, đối với học sinh khá giỏi, các em đã "thuộc lòng". Từ bất đẳng thức này, nó sẽ là cơng cụ rất có ích để chứng minh bất đẳng thức: bình phương của tổng a,b,c lớn hơn hoặc bằng3(ab+bc+ca).
Thêm một ví dụ minh họa khác: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = y(x+z) +zx−x2−y2−z2.
Cơ sở để giải quyết bài tập này chính là dựa vàox2 ≥ 0suy ra−x2 ≤ 0với mọi giá trị của x.
Khi x = y = z thì giá trị lớn nhất của Mbằng0.
2.4.2. Biện pháp 2: Xây dựng, thiết kế hệ thống các dạng bài tập và phươngpháp giải. pháp giải.
Để có thể phát hiện và giải quyết được vấn đề, học sinh cần hiểu và ghi nhớ được các kiến thức cơ bản, bài tốn đó thuộc dạng nào, phương pháp giải là gì.
Trong phần trên, tơi đã trình bày các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức dạng thuần nhất bậc hai kèm theo các bài tốn minh họa và hai loại tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng thuần nhất bậc hai. Ví dụ: Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán chox,y thỏa mãn điều kiện
x2+y2−xy = 4.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x−y)2+2xy là bao nhiêu ?
Chỉ cần ghi nhớ dạng toán và cách giải - bài toán tổng quát, rất dễ dàng, học sinh sẽ xác định được hướng giải quyết là
P 4 = (x−y)2+2xy x2+y2−xy . Vớiy = 0thì P = 4. Vớiy 6= 0 thì đặtt = x y.
Nếu giáo viên đầu tư thiết kế bài bản, khoa học thì đó sẽ là cơng cụ đắc lực giúp học sinh dễ dàng phát hiện vấn đề, hào hứng tìm cách giải quyết vấn đề hơn. Mục tiêu xa hơn là hướng tới rèn luyện khả năng tự học cho mỗi học sinh.
2.4.3. Biện pháp 3: Thiết kế tình huống vấn đề trong các bài toán bất đẳngthức. thức.
Phát triển năng lực thể hiện học sinh đã hiểu bài toán. Khi gặp một bài toán, học sinh phải xác định được những yếu tố gì đề bài đã cho, những
yếu tố nào cần xác định, yếu tố nào đã được thừa nhận, yếu tố nào cần thiết lập. Học sinh thực hiện được các nhiệm vụ này, có nghĩa là đã có sự phát triển năng lực cấu trúc. Sau khi phát hiện vấn đề học sinh đưa vào lược đồ để thực hiện. Tiếp tục, lựa chọn cách giải và tiến hành giải bài toán. Đây là khâu quan trọng, thể hiện năng lực thực hành của mỗi học sinh. Cuối cùng, kiểm tra lại kết quả, có thể mở rộng, tổng qt bài tốn hoặc tìm thêm các cách giải khác hay hơn.
Một ví dụ để minh họa như sau: Cho các số thực khơng âm a,b,c. Chứng minh rằng bình phương của tổng 3 số a,b,cluôn lớn hơn hoặc bằng 2 lần Mvới M = p2(a2+b2+c2)(ab+bc+ca).
- Tình huống ở đây là bất đẳng thức này vừa lạ lại vừa quen, quen ở chỗ, ta thấy xuất hiện(a+b+c)2 và ab+bc+ca, lạ là bất đẳng thức chứa căn thức.
- Từ đẳng thức
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
chúng ta liên hệ với bất đẳng thức AM-GM áp dụng cho hai số không âm là (a2 +b2+c2) và 2(ab +bc+ca). Rất dễ dàng thu được kết quả là bất
đẳng thức cần chứng minh.
Mặc dù đây là một bài tập khơng phức tạp, nhưng qua đó, học sinh được củng cố lại kiến thức cũ, huy động những vốn kiến thức đã biết (hằng đẳng thức, bất đẳng thức AM-GM,...) phát hiện vấn đề, tư duy và hình thành cấu trúc sơ đồ giải một bài tốn. Từ cái dễ để giải quyết được cái khó, phát triển năng lực cho học sinh.
Trong biện pháp này, đòi hỏi người dạy phải đầu tư xây dựng tình huống có vấn đề, kích thích nhu cầu muốn giải quyết vấn đề đó. Có nghĩa là, tình huống khơng được q khó, khơng được quá dễ, nếu đã biết thì học sinh sẽ chán, khơng làm, cịn q khó thì học sinh lúng túng khơng thể giải quyết được.
2.4.4. Biện pháp 4: Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bàitốn. tốn.
Tâm lý chung của học sinh là hài lịng thỏa mãn khi tìm được lời giải cho bài tốn, hầu như khơng có thói quen tìm tịi khám phá thêm các lời giải khác. Đương nhiên, việc giải được bài tốn khó là một sự thành cơng nhưng giáo viên cần rèn luyện cho học sinh ý thức khai thác bài tốn nếu có thể. Người giải tốn biết thưởng thức, nghiền ngẫm cái hay của từng bước suy luận, qua đó niềm đam mê, hứng thú với mơn học sẽ được nhân lên.
Nâng cao hơn nữa thói quen khai thác các bài tốn nâng cao cho học sinh. Trong các kì thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh vào các trường THPT nổi tiếng và kì thi tốn Olympic có nhiều bài tốn hay và đặc sắc. Và để có thể giải được chúng, học sinh cần phải biết kết hợp những phương pháp, khơng có phương pháp nào là tuyệt đối. Do vậy, để học tốt bất đẳng thức và cực trị nói riêng và học tốt mơn tốn nói chung, học sinh cần phải biết phối hợp tất cả những kiến thức đã học lại với nhau.
Tiểu kết chương 2
Trên cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn ở chương 1, chương 2 đã trình bày các kiến thức tốn học liên quan đến bất đẳng thức và cực trị dạng thuần nhất bậc hai và các kĩ thuật thường hay sử dụng để giải bài tập. Các bài tốn được nêu mang tính điển hình, vừa sức, có tác dụng kích thích sự tìm tịi giải quyết của học sinh. Hệ thống các bài tốn sẽ là tài liệu hữu ích cho các thầy cô khi soạn giáo án. Đặc biệt, tác giả cũng đã đề xuất một số biện pháp sư phạm để phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua chuyên đề này. Để minh họa tính khả thi của luận văn, tiếp theo trong chương 3, tơi trình bày kết quả quá trình thực nghiệm sư phạm.
CHƯƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Khái quát thực nghiệm sư phạm