CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.2. Biện pháp để phát triển năng lực giải toán hình học không gian cho học sinh
2.2.2. Xây dựng hệ thống bài tập
Từ những dạng tốn được nêu và phân tích ở trên, thì việc rèn luyện cho các em học sinh là cần thiết, một số bài toán sau đây cùng với hướng dẫn ở phần phụ lục giúp các em nâng cao kỹ năng ở từng dạng toán cũng như kỹ năng giải quyết các bài tốn hình học khơng gian.
2.2.2.1. Bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
BT1. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC), một điểm I thuộc đoạn SA. Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J, K. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a. Mặt phẳng (I,a) và mặt phẳng (SAC). b. Mặt phẳng (I,a) và mặt phẳng (SAB). c. Mặt phẳng (I,a) và mặt phẳng (SBC).
BT2. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P) và a là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và không song song với AB và AC. S là một điểm ở ngoài
mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a. Mặt phẳng (A’,a) và (SAB). b. Mặt phẳng (A’,a) và (SAC). c. Mặt phẳng (A’,a) và (SBC).
BT3. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a. (AMN) và (BCD). b. (DMN) và (ABC).
2.2.2.2. Bài tập xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
BT4. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn AB lấy một điểm M, trên đoạn SC lấy một điểm N (M, N khơng trùng với các đầu mút).
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD). b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD).
BT5. Cho một mặt phẳng () và một đường thẳng m cắt mặt phẳng () tại C. Trên
m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian. Biết giao điểm của đường
thẳng SA với mặt phẳng () là điểm A’. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng ().
2.2.2.3. Bài tập chứng minh hai đường thẳng song song
BT6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh: IJ ∕ ∕ CD.
BT7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC, K là điểm trên cạnh SB sao cho SN=2
3SB. a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK).
b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành.
BT8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC,SC,SD,AD sao cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD.
a. Chứng minh: PQ//SA. b. Gọi K=MNPQ.
Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
2.2.2.4. Bài tập chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
BT9. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy trung điểm M, trên cạnh BC lấy trung điểm N bất kỳ. Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD.
a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng () với tứ diện ABCD. b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành.
BT10. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngồi mặt phẳng của hình thang. Gọi M là một điểm của CD; () là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC.
a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng () với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì?
b. Tìm giao tuyến của () với mặt phẳng (SAD).
BT11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm trên cạnh SC và () là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng () lần lượt với các cạnh SB, SD.
b. Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm I, J, A thẳng hàng.
BT12. Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông tại A, B =60ˆ 0, AB=a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng () sao cho SB=a và SB OA. Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB, mặt phẳng () qua M song song với SB và OA, cắt BC,SC,SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0<x<a).
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vng.
BT13. Cho hình vng cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x. Mặt phẳng () qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q.
a. Tứ giác MNPQ là hình gì?
b. Cho SA = a. Tính diện tích MNPQ theo a và x. Tính x để diện tích lớn nhất.
2.2.2.5. Bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song
BT14. Cho các hình bình hành ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho MC=2AM, NF=2BN. Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M1, N1. Chứng minh rằng:
a. MN/ /DE . b. M N1 1/ /(DEF . ) c. (MNM N1 1) / /(DEF).
BT15. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a. Trên AB lấy một điểm M với AM = x. Gọi () là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P, Q.
a. Tìm thiết diện của () với mặt phẳng hình chóp. Thiết diện là hình gì? b. Tìm quĩ tích giao điểm I của MN và PQ khi M di động trên đoạn AB.
c. Cho 0
90
SAD và SA = a. Tính diện tích của thiết diện theo a và x. Tính x để diện tích bằng 2 3 8 a .
BT16. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và I, J, K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF, ADC, BCE. Chứng minh (IJK)//(CDFE).
BT17. Cho tứ diện ABCD. GọiG G G1, 2, 3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
a. Chứng minh: (G G G1 2 3) / /(BCD).
Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD là S.
BT18. Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. Hai điểm M, N lần lượt di động trên Ax, By sao cho AM = BN. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
BT19. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Một mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M.
a. Cho trước điểm M, hãy trình bày cách dựng điểm N. Xét trường hợp đặc biệt khi M là trung điểm của BC.
b. Gọi K là giao của MN và IJ. Chứng minh rằng: KM = KN.
2.2.2.6. Bài tập chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
BT20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD. Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE (SCD) và SF (SAB).
2.2.2.7. Bài tập xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
BT21. Cho hình chóp S.ABC. ABC vng tại A, góc B = 600
, AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vng góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH SA (HSA); BK SC (K SC). Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
BT22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD.
a. Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE (SCD) và SF(SAB).
b. Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên EF. Chứng minh: SH AC. c. Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD).
2.2.2.8. Bài tập xác định khoảng cách
BT23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
(Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006)
BT24. Trình bày cách dựng đường vng góc chung với hai đường thẳng chéo nhau và vng góc với nhau.
BT25. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
(ĐH khối B năm 2002)
BT26. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a =6 2cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
2.2.2.9. Bài tập xác định thể tích khối đa diện
BT27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, có BC=a. Mặt bên SAC vng góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng trung điểm cạnh AC. b) Tính thể tích khối chóp SABC.
BT28. Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác cân tại A có trung tuyến AD=a, hai mặt bên SAB và SAC cùng vng góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy một góc và hợp với mặt phẳng SAD một góc . Tính thể tích khối chóp SABC theo a, , .
BT29. Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.
BT30. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng AB’D’cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAB’C’D’ và SABCD.
BT31. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
BT32. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau xuất phát từ một đỉnh là . Tính thể tích của lăng trụ.
BT33. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
BT34. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB= 3 , AD= 7 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1.
2.2.2.10. Bài tập xác định diện tích hình trịn xoay – Thể tích khối trịn xoay
BT35. Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là . a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.
b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 600 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB. Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.
BT36. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Tính thể tích và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
BT37. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC vng góc với nhau từng đơi một và SA=a, SB=b, SC=c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
BT38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh bên SA vng góc với đáy.
a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc với SC cắt AB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng tỏ rằng bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên một mặt cầu. BT39. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
2.2.3. Tổ chức hoạt động cho học sinh tham gia thảo luận nhóm, làm bài tập nhóm
Nói đến phương pháp dạy học hiện nay, điều phải quan tâm trước tiên đó là kích thích được tính tích cực, chủ động của học sinh. Để làm được điều đó, việc tổ chức hoạt động nhóm cho học sinh là một vấn đề khơng thể thiếu nếu khơng muốn nói là rất cần thiết. Nói như thế khơng có nghĩa là bất cứ tiết dạy nào chúng ta cũng phải tổ chức cho học sinh hoạt động nhóm. Tuy nhiên, phải thừa nhận rằng khi tham gia hoạt động nhóm thì bản thân mỗi học sinh ln chủ động tư duy. Vấn đề ở chỗ là phải tổ chức như thế nào cho phù hợp với đặc điểm, tình hình lớp mà chúng ta đang trực tiếp giảng dạy?
Mục đích của hoạt động nhóm là giúp học sinh:
- Học sinh có thể học hỏi được nhiều cách giải một bài toán theo nhiều hướng khác nhau, có thể mỗi em làm một phần trong bài tốn theo cách hay nhất. Sau đó trưởng nhóm có thể quyết định phương án cuối cùng để trình bày cho cả nhóm.
- Việc học nhóm sẽ giúp các em học yếu hơn các bạn trong nhóm có thể theo kịp với kiến thức trên lớp, học sinh khá sẽ có nhiều cách giải một bài tốn.
- Biết cách làm việc đồng đội, thấy được sự cần thiết phải phối hợp với nhau để giải quyết một vần đề, biết cách phân cơng, chia việc. Từ đó tạo cho học sinh tình đồn kết giữa các thành viên.
- Tích cực tư duy, khắc phục được tính tự ti, kích thích sự năng động, sáng tạo ở học sinh. Biết thảo luận, có thể tranh luận, biểu quyết từ đó đi đến thống nhất. Trên cơ sở đó học sinh nhớ bài được lâu hơn.
- Học hỏi được lẫn nhau, học sinh có sự so sánh bản thân với bạn bè. Từ đó tạo động lực thúc đẩy các em phấn đấu vươn lên trong học tập.
- Có phong cách nhanh nhẹn, làm việc có khoa học hơn.
Cách tổ chức hoạt động nhóm theo hai hướng, trong các tiết giảng dạy, người giáo viên sẽ chia lớp theo 4 nhóm hoặc 8 nhóm, sau đó cho các em thực hiện việc trình bày lời giải của mình đối với những bài toán củng cố của tiết học. Giáo viên có thể giao bài tập về nhà cho học sinh theo hệ thống bài tập trong luận văn này. Khi học sinh làm xong giáo viên cho nhóm này nhận xét cách làm và cách giải
quyết bài tốn của nhóm kia, việc nhận xét như vậy giúp các em có thể tổng hợp được tồn bộ các dạng toán.