CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng. Ngồi chương trình mơn tốn, hệ phương trình như một cơng cụ cho các mơn học khác như vật lý, hóa học và trong thực tiễn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là bậc đầu cho học sinh tiếp cận với hệ phương trình tuyến tính trong chương trình tốn ở cấp học cao hơn.
Định hướng dạy học ngày nay, là giúp học sinh áp dụng được những kiến thức, kĩ năng vào cuộc sống. Lịch sử phát triển các tri thức toán học giúp học sinh hiểu thêm về ý nghĩa của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong cuộc sống. Nó ra đời từ nhu cầu thực tiễn của con người.
Ví dụ 2.12 Mở đầu bài Phương trình bậc nhất hai ẩn, giáo viên có thể giới thiệu về Bài tốn Mahàvira.
Mahàvira là bài toán của người Ấn Độ với nội dung như sau: "Một đoàn lữ hành 23 người vào rừng nghỉ. Họ hái được 63 đống chuối là (chuối rừng) bằng nhau và nếu thêm 7 quả nữa thì chia đều cho từng người khơng dư quả nào. Hỏi số quả ít nhất của đống chuối?".
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng cách đặt ẩn. Đặt x là số quả chuối của mỗi đống và y là số quả chuối mỗi người nhận được.
Học sinh lập luận và đưa ra phương trình
63x+ 7 = 23y ⇔ 63x−23y = −7.
Giới thiệu, đây là một phương trình bậc nhất hai ẩn. Yêu cầu học sinh nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài toán trên tạo sự hứng thú học tập của học sinh. Học sinh nhận được một vấn đề cần giải quyết. Dựa vào những kiến thức đã có, trong q trình giải quyết vấn đề học sinh kiến thức mới. Học sinh được học tập trong hoạt động. Học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức mới.
Ví dụ 2.13 Trong bài dạy Phương trình bậc nhất hai ẩn, giáo viên giới thiệu thêm về Phương trình Diophantus.
Giáo viên có thể giới thiệu tiểu sử của nhà toán học Diophantus. Diophantus là một nhà toán học Hy Lạp sống ở Alexandria trong Thế kỷ thứ 3. Ông được gọi là cha đẻ của đại số, và đã viết một sê-ri sách có ảnh hưởng tên là Armetmetica, một tập hợp các vấn đề đại số ảnh hưởng lớn đến sự phát triển tiếp theo của lý thuyết số. Ông cũng đã đạt được những tiến bộ quan trọng trong ký hiệu toán học, và là một
trong những nhà tốn học đầu tiên đưa tính biểu tượng vào đại số, sử dụng một ký hiệu rút gọn cho các hoạt động thường xuyên xảy ra, và viết tắt cho ẩn số và sức mạnh của ẩn số. Ơng có lẽ là người đầu tiên nhận ra các phân số là số theo cách riêng của họ, cho phép các số hữu tỷ dương cho các hệ số và giải pháp của phương trình của ơng.
Diophantus đã áp dụng bản thân vào một số vấn đề đại số khá phức tạp, đặc biệt là phân tích Diophantine, liên quan đến việc tìm giải pháp số nguyên cho các loại vấn đề dẫn đến phương trình trong một số ẩn số. Phương trình Diophantine có thể được định nghĩa là phương trình đa thức với các hệ số, các nghiệm tìm được là số nguyên.
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by = c, trong đó a, b và c là các số nguyên cho trước, được gọi là Phương trình Diophantus đơn giản. Các nhà tốn học đã đặt vấn đề tìm nghiệm ngun của phương trình trên. Nhà tốn học Bramahupta (598 - khoảng 660) đưa tìm ra các nghiệm nguyên của phương trình trên.
Giúp học sinh có thêm nhiều cách nhìn về tri thức mới được học. Hướng học sinh mở rộng, nghiên cứu sâu các vấn đề liên quan, củng cố thêm bài học. Rèn luyện kỹ năng phát hiện vấn đề.
Ví dụ 2.14 Mở đầu bài Giải hệ phương trình, giáo viên có thể kể cho học sinh nghe về các phương pháp giải hệ phương trình trong lịch sử.
Khoảng 4000 năm trước, người Babylon đã biết cách giải hệ phương trình hai ẩn, hai phương trình đơn giản. Ở Trung Hoa, đại số học thời Trung Cổ lại rất phát triển. Trong bộ sách "Chín chương về nghệ thuật tính tốn" xuất hiện khoảng năm 200 trước Cơng ngun đã có những ví dụ về giải hệ phương trình bậc 1. Trong bộ sách "Sách tốn chín chương" đã đề cập đến dùng ma trận để giải hệ phương trình vơ định, kể cả hệ có chứa hệ số âm.
Euler đưa ra ý tưởng rằng một hệ phương trình khơng nhất thiết phải có một phương pháp giải. Ơng nhận ra sự cần thiết phải đặt điều kiện cho các biến khơng xác định để tìm một giải pháp. Cơng việc ban đầu cho đến giai đoạn này chủ yếu liên quan đến khái niệm các giải pháp
duy nhất và ma trận vng trong đó số phương trình khớp với số khơng biết. Bước sang thế kỷ 19, Gauss đã giới thiệu một quy trình được sử dụng để giải quyết hệ phương trình tuyến tính. Cơng việc của ơng chủ yếu liên quan đến các phương trình tuyến tính và chưa mang lại trong ý tưởng của ma trận hoặc ký hiệu của chúng. Những nỗ lực của ơng đã xử lý các phương trình của các số khác nhau và các biến cũng như các tác phẩm truyền thống trước thế kỷ 19 của Euler, Leibnitz và Cramer. Phương pháp này sử dụng khái niệm kết hợp, hoán đổi hoặc nhân hàng với nhau để loại bỏ các biến từ các phương trình nhất định. Sau khi các biến được xác định, học sinh sẽ sử dụng lại thay thế để giúp tìm các biến chưa biết cịn lại.
Ví dụ 2.15 Khi dạy nội dung Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giúp học sinh hiểu hơn về Hệ toạ độ Oxy (Hệ tọa độ Descartes) giáo viên kể câu chuyện sau:
Vào năm 1619, quân đội đóng quân rải rác ở các thị trấn ven sông. Trời trong xanh, đàn tuấn mã chạy trên thảo nguyên xanh. Cảnh tượng này, làm cho chàng sĩ quan suy nghĩ làm thế nào mô tả con đường chạy của tuấn mã. Một đêm, khi đang suy nghĩ, một con nhện sa qua tằm mắt. Chàng sĩ quan suy nghĩ và liên tưởng: con nhện và điểm, hình và số, động và tĩnh,.. Sau mấy hơm, chàng sĩ quan này đã xâu chuỗi tất cả những gì mình phát hiện được. Cuối cùng đã tìm ra phương pháp có thể chuyển ngơn ngữ hình học ra ngơn ngữ đại số. Ta có thể đưa mọi vấn đề của hình học về đại số để giải. Phương pháp đó, ngày nay gọi là phương pháp hình học giải tích (phương pháp giải tích). Descartes - chàng sĩ quan đã nghĩ ra phương pháp này.
Giúp học sinh hiểu thêm về kiến thức mình đang học. Giáo viên dự đốn được những khó khăn khi học sinh biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất dưới dạng đường thẳng. Thiết kế các hoạt phù hợp, giúp học sinh dễ tiếp thu kiến thức mới. Tạo niềm tin học tập cho học sinh. Những ý tưởng mới có thể xuất hiện ngay trong khơng gian sống quanh mình. Học tập mọi lúc mọi nơi, ln có ý thức tạo ra các
phương pháp mới tốt hơn phương pháp cũ.
Khi dạy giải tốn bằng cách lập hệ phương trình, giáo viên có thể đưa một số bài toán cổ sau. Làm tăng nội dung phong phú cho các bài toán. Trong lịch sử các nhà tốn học thấy được hệ phương trình giúp chúng ta giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Ví dụ 2.16 Khi dạy giải tốn bằng cách lập hệ phương trình, giáo viên có thể đưa bài tốn cổ sau.
Trong một lần Albert Einstein bị ốm, Alexander Moszkowski đã nêu ra cho ông một bài tốn sau:[5]
Moszkowski nói - Chúng ta lấy vị trí của kim lúc 12 giờ. Nếu ở vị trí này kim lớn và kim nhỏ đổi chỗ cho nhau thì chúng vẫn chỉ đúng giờ đấy. Nhưng ở những vị trí khác, sự hốn đổi vị trí của hai kim dẫn đến vơ lý, vì khơng một chiếc đồng hồ chạy đúng nào có các kim nằm ở vị trí như thế: kim phút khơng thể chỉ 6 giờ khi kim giờ chỉ 12. Nảy sinh ra một câu hỏi: những khi nào thì các kim ở vị trí mà sự hốn vị chúng dẫn đến một vị trí có thể có được trên một chiếc đồng hồ khơng bị hỏng?
Einstein đáp: Bài tốn này rất thích hợp với người nằm trên giường bệnh, không quá dễ và khá thú vị. Tơi sợ trị tiêu khiển khơng kéo dài, tơi đã bắt đầu giải. Ơng ngồi dậy, vạch ra một sơ đồ biểu thị dữ kiện bài toán. Để giải bài tốn, ơng khơng cần nhiều thời gian hơn thời gian phát biểu bài tốn.
Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh: Em hãy tìm lời giải cho bài tốn trên?
Ví dụ 2.17 [Bài tốn "Chia lúa mì"]
Khi dạy giải tốn bằng cách lập hệ phương trình, giáo viên có thể đưa bài toán cổ sau.
Bài toán được Alexander Henry Rhind khai quật ra vào thế kỷ XIX ở Thebes, Ai Cập trong cuốn sách bằng giấy chỉ thảo (papyrus). Cuốn chỉ thảo này được làm ra gần 2000 năm trước Công Nguyên và là bản chép lại từ một tác phẩm tốn học cổ xưa khác. Trong đó có bài tốn sau:
Chia một trăm đấu lúa mì cho năm người sao cho người thứ hai nhận được nhiều hơn người thứ nhất một số lúa bằng số lúa mà người thứ ba nhận được nhiều hơn người thứ hai, người thứ tư nhiều hơn người thứ ba và người thứ năm nhiều hơn người thứ tư. Hai người đầu tiên nhận được một số lúa bằng một phần bảy số lúa của ba người còn lại. Hỏi mỗi người nhận được bao nhiêu?
Các em hãy giải bài toán trên?
Ví dụ 2.18 [Bài tốn "Hợp tác xã cắt cỏ"]
Bài tốn của nhà vật lí nổi tiếng A.V Tsinger trong hồi ký về L.N Tolstoy đã kể bài toán sau: Một hợp tác xã làm cỏ phải cắt cỏ hai cánh đồng, cánh đồng thứ nhất rộng gấp hai lần cánh đồng thứ hai. Hợp tác xã làm việc nửa ngày trên cánh đồng lớn sau đó chia đơi: nửa thứ nhất ở lại cánh đồng lớn và làm đến tối thì xong, nửa thứ hai cắt trên cánh đồng nhỏ đến tối thì cịn một phần, hôm sau một xã viên làm một ngày nữa thì xong. Hỏi có bao nhiêu người cắt cỏ trong hợp tác xã?
Giáo viên có thể cho học sinh hoạt động nhóm giải bài tốn trên. Gọi số người cắt cỏ là x, (x nguyên dương).
Gọi y là diện tích cỏ một xã viên cắt được trong một ngày (y > 0). Ta tính diện tích cánh đồng lớn theo x và y. Tất cả xã viên làm việc
trên đó nửa ngày , họ cắt được
x.1
2.y =
xy
2
Chỉ có nửa hợp tác xã làm việc trên đó trong nửa ngày sau tức là có
x 2 xã viên, họ cắt được x 2. 1 2.y = xy 4
Vì đến tối thì họ cắt hết cỏ trên cánh đồng này, cho nên diện tích của cánh đồng này bằng: xy 2 + xy 4 = 3xy 4
Ta tính diện tích cánh đồng nhỏ. Có x
2 xã viên cắt nó trong nửa ngày và cắt được diện tích x 2. 1 2.y = xy 4 Diện tích cánh đồng nhỏ là xy 4 +y = xy + 4y 4
Cánh đồng thứ nhất rộng hơn cánh đồng thứ hai, nên ta có phương trình
3xy 4 = 2.
xy + 4y 4
Giải phương trình, ta tìm được x = 8. Vậy hợp tác xã có 8 người cắt cỏ.